Visualización de figuras en el espacio

1.1 ¿Qué es una vista ortogonal?

Una vista ortogonal es la proyección de un sólido sobre un plano mediante rayos perpendiculares a ese plano. Dicho de forma intuitiva: es la “sombra” que dejaría el objeto si los rayos de luz vinieran todos paralelos y perpendiculares a una pared.

A diferencia de una foto en perspectiva, donde las líneas paralelas pueden converger, en una proyección ortogonal las líneas paralelas siguen siendo paralelas. Por eso, si una cara es paralela al plano de proyección, su forma y sus dimensiones se conservan. Si la cara es oblicua, se verá “achatada”.

1.2 Las tres vistas principales

Para describir un sólido se usan tres planos de proyección perpendiculares entre sí, como las paredes y el piso de una habitación:

• Vista horizontal ($H$): también llamada vista superior o de planta. Se obtiene mirando el sólido desde arriba. Muestra el ancho y la profundidad.
• Vista frontal ($F$): se obtiene mirando el sólido desde el frente. Muestra el ancho y la altura.
• Vista de perfil derecho ($P$): se obtiene mirando el sólido desde su lado derecho. Muestra la profundidad y la altura.

Si se mira desde el lado izquierdo, se habla de perfil izquierdo. Para un sólido simétrico, el perfil izquierdo y el derecho pueden coincidir, pero en general no.

1.3 Correspondencia entre las vistas: el depurado

Las vistas no se dibujan en cualquier orden. En el sistema normalizado, llamado también depurado, se colocan así:

• $H$ arriba.
• $F$ debajo de $H$.
• $P$ a la derecha de $F$.

Esto permite alinear mentalmente las medidas:

• $H$ y $F$ comparten el ancho.
• $H$ y $P$ comparten la profundidad.
• $F$ y $P$ comparten la altura.

Esta correspondencia es fundamental para reconstruir sólidos. Si una vista frontal tiene una altura de $2$ en cierta columna, esa misma altura debe respetarse en el perfil para las filas correspondientes.

1.4 Líneas visibles y ocultas

En dibujo técnico, cuando una arista del sólido es visible desde la dirección de observación, se dibuja con línea continua. Si está oculta detrás de una cara más cercana, se dibuja con línea discontinua.

En los problemas de examen, normalmente las vistas aparecen con trazos continuos; las líneas internas que se muestran representan aristas visibles o cambios de plano. No debes asumir que la ausencia de líneas significa ausencia de aristas; a veces una arista queda oculta.

Si te dan un sólido dibujado en perspectiva, puedes hallar sus vistas principales con este procedimiento:

1. Elige la dirección de observación.
2. Dibuja el contorno exterior de todo lo que se ve desde esa dirección.
3. Agrega líneas internas visibles donde haya cambios de plano, escalones o aristas que no queden tapadas.
4. Marca con línea discontinua las aristas ocultas, si el problema las pide.

Por ejemplo, si tienes un prisma rectangular de ancho $3$, profundidad $2$ y altura $2$, su vista horizontal será un rectángulo de $3 \times 2$, su vista frontal un rectángulo de $3 \times 2$ y su perfil derecho un rectángulo de $2 \times 2$. En este caso, las vistas son rectángulos porque el sólido es un paralelepípedo.

Cuando el sólido tiene escalones, las vistas dejan de ser simples rectángulos y aparecen siluetas escalonadas.

Este es el corazón de las preguntas de admisión.

3.1 ¿Las tres vistas determinan un único sólido?

No siempre. Las vistas son proyecciones; un hueco interior que no sea visible desde ninguna de las tres direcciones podría existir sin ser detectado. Por ejemplo, si miras de frente, de arriba y de lado un bloque rectangular macizo, las tres vistas serían rectángulos; pero también podrías quitar un cubo interior invisible y las mismas vistas no cambiarían.

Para eliminar esta ambigüedad, los exámenes suelen decir “sólido de volumen máximo”. Esto significa que no se dejan huecos evitables: se construye el sólido más lleno posible que sea compatible con las vistas dadas.

3.2 Método de las extrusiones: intersección de las tres proyecciones

Una manera potente de entender el volumen máximo es esta:

• Toma la vista horizontal y extrúyela verticalmente: imagina que la sombra $H$ se levanta hacia arriba formando un prisma de planta $H$.
• Toma la vista frontal y extrúyela en profundidad: forma un prisma alargado hacia atrás.
• Toma el perfil y extrúyelo a lo ancho.

Cualquier sólido que tenga esas tres vistas debe estar contenido en cada uno de esos tres prismas. Por lo tanto, debe estar contenido en la intersección de los tres. Esa intersección también tiene esas vistas; por eso es el sólido de volumen máximo.

Este método convierte la adivinanza en un filtro geométrico: el sólido buscado es exactamente lo que queda al intersecar las tres extrusiones.

3.3 Método práctico de celdas

En la práctica, para exámenes con cubos, se trabaja así:

1. Identifica el ancho, la profundidad y la altura máximas a partir de H, F y P.
2. Imagina una caja rectangular dividida en cubitos unitarios: $a$ cubitos de ancho, $b$ de profundidad y $c$ de altura.
3. Asigna coordenadas:
   • $x$: ancho, de izquierda a derecha.
   • $y$: profundidad, de adelante hacia atrás.
   • $z$: altura, de abajo hacia arriba.
4. Coloca un cubo en la celda $(x,y,z)$ si se cumplen a la vez:
   • su posición $(x,y)$ está dentro de la vista horizontal;
   • su posición $(x,z)$ está dentro de la vista frontal;
   • su posición $(y,z)$ está dentro del perfil.

Esto no es más que aplicar la intersección de extrusiones celda por celda. Al final, dibujas o imaginas el sólido formado por todos los cubitos que pasaron el filtro.

3.4 Atajo para casos de “columnas”

Muchos problemas de San Marcos se pueden simplificar si las vistas son como gráficos de alturas. En estos casos:

• La vista frontal te dice, para cada columna $x$, la altura máxima $F(x)$ que puede tener esa columna.
• El perfil derecho te dice, para cada fila $y$, la altura máxima $P(y)$ que puede tener esa fila.
• La vista horizontal te da el mapa de celdas que pueden estar ocupadas.

Entonces, la altura máxima permitida en la celda $(x,y)$ es:

$$h(x,y) = \min \{ F(x), P(y) \}$$

Se usa el mínimo porque la celda no puede superar lo que dice la vista frontal ni lo que dice el perfil.

Ejemplo inmediato: si $F(1)=2$, $F(2)=1$ y $P(1)=1$, $P(2)=2$, para una base de $2 \times 2$, la altura de celda $(x,y)$ sería:

$$h(x,y) = \begin{pmatrix} \min(2,1) & \min(1,1) \\ \min(2,2) & \min(1,2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Esto corresponde a una base $2 \times 2 \times 1$ con un cubo adicional encima de la celda trasera izquierda.

Este atajo funciona cuando el sólido puede describirse como columnas independientes, sin voladizos extraños. Si las vistas tienen huecos o formas no equivalentes a alturas, conviene usar el método de celdas completo.

4.1 ¿Qué se cuenta como una cara?

En un poliedro, una cara es una superficie plana conexa. Dos cuadrados que están en el mismo plano y comparten una arista completa no son dos caras separadas del poliedro; son parte de una misma región plana.

Por ejemplo, si dos cubos están pegados uno al lado del otro, su cara superior forma un rectángulo $2 \times 1$. Ese rectángulo se cuenta como una sola cara, no como dos.

En los problemas de San Marcos se pregunta por las caras del poliedro, no por las caras de cada cubito por separado.

4.2 Conteo por planos

Un método ordenado para no perder caras es dividir el conteo según la orientación de las superficies:

1. Caras horizontales:
   Cuenta las superficies superiores expuestas en cada altura o nivel $z$, y la superficie inferior.
   Cada componente conexa en un mismo plano horizontal se cuenta como una cara.

2. Caras verticales en planos $x = \text{constante}$:
   Son las caras que miran hacia la izquierda o hacia la derecha.
   Recorre todos los planos verticales paralelos a la vista de perfil. En cada plano, cada componente conexa expuesta es una cara.

3. Caras verticales en planos $y = \text{constante}$:
   Son las caras que miran hacia el frente o hacia atrás.
   Se cuentan de manera análoga.

Este conteo puede parecer tedioso al inicio, pero con práctica se convierte en un rápido repaso mental por los lados del sólido.

4.3 Verificación con la fórmula de Euler

Si el sólido no tiene agujeros pasantes, puede usarse la relación de Euler como comprobación:

$$V - A + C = 2$$

donde $V$ es el número de vértices, $A$ el de aristas y $C$ el de caras.

No siempre es la vía más rápida, pero sirve para detectar errores. Si ya contaste $V$, $A$ y $C$, los tres deben cumplir la fórmula.

5.1 Cantidad mínima de cubitos

Muchos problemas muestran un sólido formado por cubitos y preguntan por la menor cantidad de cubitos utilizada. La palabra mínima aparece porque en un dibujo en perspectiva no siempre se ven los cubos ocultos.

Una manera eficiente de resolver es pensar en un plano de columnas:

• Mira el sólido desde arriba e identifica su huella: en cada celda de la planta, escribe cuántos cubos de altura hay en esa columna.
• La suma de todas las alturas es el total de cubos.
• Si un cubo está “flotando” en el dibujo, para que sea una construcción real con cubitos sueltos debe haber cubos debajo que lo sostengan.

Cuando se dice “mínima cantidad”, debes quitar todos los cubos ocultos que no sean necesarios para sostener a los visibles. Por eso, muchas veces se halla primero el mapa de columnas a partir de las alturas visibles y luego se suman solo los cubos indispensables.

5.2 Cuántos cubitos faltan para completar un cubo

Si se pregunta cuántos cubitos faltan, como mínimo, para completar un cubo compacto:

1. Halla la mayor dimensión de la estructura: la mayor entre su largo, su profundidad y su altura, medida en cubitos.
2. Esa será la arista $L$ del cubo completo que envuelve a la estructura.
3. El cubo completo tendrá $L^3$ cubitos.
4. Resta los cubitos que ya tiene la estructura.

$$\text{Faltantes} = L^3 - \text{cubitos actuales}$$

No olvides que también puede ser necesario añadir cubos en la base para completar una planta cuadrada de $L \times L$.

5.3 Pintura de cubitos

Si un sólido formado por cubitos se pinta por fuera, la cantidad de caras pintadas de un cubo depende de cuántos de sus seis lados están expuestos.

Para un paralelepípedo rectangular compacto de dimensiones $m \times n \times p$ cubitos, se usan estas fórmulas:

• Cubitos con 3 caras pintadas: son las esquinas: $8$.
• Cubitos con 2 caras pintadas: están en las aristas, sin contar las esquinas:
  $$4\big[(m-2)+(n-2)+(p-2)\big]$$
• Cubitos con 1 cara pintada: están en el centro de cada cara:
  $$2\big[(m-2)(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2)\big]$$
• Cubitos con 0 caras pintadas: están en el interior:
  $$(m-2)(n-2)(p-2)$$

Para sólidos irregulares con escalones, las fórmulas anteriores no se aplican directamente. En esos casos, lo más seguro es contar por capas y por contactos: cada cubo tiene $6$ caras; si está en contacto con $k$ caras de otros cubos, sus caras expuestas son $6-k$. Si el sólido se sumerge en pintura, todas las caras expuestas se pintan, incluidas las inferiores.

5.4 Desarrollos o plantillas

A veces se confunden las vistas con los desarrollos. Un desarrollo es una plantilla plana que al doblarse forma el sólido. Por ejemplo, el desarrollo de un cubo es una cruz formada por seis cuadrados.

Para verificar si un desarrollo arma un cubo:

• Elige una cara como base.
• Dobla mentalmente las demás.
• Verifica que no haya caras superpuestas ni queden huecos.

No es lo mismo una vista (proyección) que un desarrollo (molde recortado).

Aunque el núcleo del tema son las vistas y los cubos, algunas ediciones del examen han combinado la visualización con áreas de sólidos.

6.1 Área lateral y total de cilindros y prismas

Para un cilindro circular recto de radio $r$ y altura $h$:

$$A_{\text{lateral}} = 2\pi r h$$

$$A_{\text{total}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$

Si un rodillo cilíndrico da una vuelta, el área de superficie que aplana es precisamente su área lateral.

Para un prisma:

$$A_{\text{lateral}} = P_{\text{base}} \times h$$

$$A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + 2A_{\text{base}}$$

donde $P_{\text{base}}$ es el perímetro de la base y $A_{\text{base}}$ su área.

En un prisma hexagonal regular de lado $s$, el área de la base es:

$$A_{\text{base}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2$$

y el perímetro de la base es $6s$.

6.2 Distancias en el cubo

En un cubo de arista $a$, conviene recordar:

• Diagonal de una cara:
  $$a\sqrt{2}$$
• Diagonal del espacio (del cubo):
  $$a\sqrt{3}$$

Si se pide la distancia de un vértice a una diagonal del espacio que no lo contiene, una forma segura es colocar el cubo en coordenadas y aplicar distancia de un punto a una recta. En el caso usual, esa distancia es:

$$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$

De ahí se puede despejar la arista y hallar el volumen $a^3$.