Máximos y mínimos 1

Cuando decimos que vamos a maximizar o minimizar una cantidad, nos referimos a encontrar el mayor o el menor valor que puede tomar dentro de las condiciones del problema.

En todo problema de optimización hay tres elementos:

• Variables: aquello que podemos elegir o controlar.
• Restricciones: condiciones que deben cumplirse.
• Función objetivo: la cantidad que deseamos maximizar o minimizar.

Por ejemplo, si queremos maximizar el área de un rectángulo cuyo perímetro es 20 m, las variables son la base y la altura; la restricción es $2(\text{base}+\text{altura})=20$; la función objetivo es $\text{base}\times\text{altura}$.

Un error frecuente es confundir el valor de la variable que optimiza con el valor máximo o mínimo de la función objetivo. Si en un problema se obtiene que la base óptima es 5 m, eso no significa que el área máxima sea 5 m². Debemos evaluar la función objetivo en ese valor.

En general, para resolver un problema de máximos y mínimos seguiremos este orden:

1. Identificar qué se pide maximizar o minimizar.
2. Definir una o más variables.
3. Escribir la función objetivo en términos de esas variables.
4. Usar las restricciones para reducir el número de variables.
5. Aplicar el método adecuado (función cuadrática, desigualdades, desarrollo de superficies, reflexión, análisis de casos).
6. Verificar que la solución sea factible (valores no negativos, enteros si corresponde, etc.).

2.1. Forma general y vértice

Toda función cuadrática tiene la forma $$F(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0.$$ Su gráfica es una parábola. Lo que nos interesa es su vértice, porque allí se encuentra el valor máximo o mínimo.

• Si $a>0$, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
• Si $a<0$, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es un máximo.

La coordenada $x$ del vértice es $$x_0=\frac{-b}{2a}.$$ El valor máximo o mínimo de la función es $$F_{\text{extremo}}=F(x_0).$$

Ejemplo breve 1: Para $F(x)=5x^2-30x+41$, tenemos $a=5$, $b=-30$. Entonces $$x_0=\frac{-(-30)}{2(5)}=3.$$ El valor mínimo es $F(3)=5(3)^2-30(3)+41=45-90+41=-4$.

Ejemplo breve 2: Para $G(x)=-2x^2+8x+10$, $a=-2$, $b=8$. Entonces $$x_0=\frac{-8}{2(-2)}=2.$$ El valor máximo es $G(2)=-2(2)^2+8(2)+10=-8+16+10=18$.

2.2. Completación de cuadrados como justificación

¿Por qué el vértice da el extremo? Porque toda cuadrática puede escribirse así: $$F(x)=a(x-h)^2+k,$$ donde $h=-b/(2a)$ y $k=F(h)$.

Si $a>0$, el término $a(x-h)^2$ siempre es mayor o igual a cero. Por tanto: $$F(x)=a(x-h)^2+k\ge k.$$ El mínimo es $k$, y se alcanza cuando $x=h$.

Si $a<0$, el término $a(x-h)^2$ siempre es menor o igual a cero. Por tanto: $$F(x)=a(x-h)^2+k\le k.$$ El máximo es $k$, y se alcanza cuando $x=h$.

Esta forma de escribir la función es muy útil en problemas donde no se reconoce de inmediato la cuadrática.

2.3. Aplicación a problemas de ingresos, utilidades y producción

Muchos problemas verbales se modelan con una función cuadrática. El patrón típico es:

$$\text{Total} = (\text{cantidad})\times(\text{valor unitario}).$$

Al variar el valor unitario, la cantidad también cambia, y el producto suele quedar cuadrático.

Ejemplo breve 3: Un comerciante vende 80 artículos al mes a S/15 cada uno. Por cada sol de aumento en el precio, vende 2 artículos menos. Si $x$ es el número de soles de aumento, el nuevo precio es $15+x$ y la nueva cantidad vendida es $80-2x$. El ingreso es $$I(x)=(15+x)(80-2x)=-2x^2+50x+1200.$$ Como $a=-2<0$, el ingreso máximo se da en $$x_0=\frac{-50}{2(-2)}=12.5.$$ El precio óptimo sería $15+12.5=27.5$ soles. Si el problema exige precios enteros, se evaluarían los enteros cercanos.

Al resolver este tipo de problemas, siempre hay que verificar el dominio de la variable. Por ejemplo, el precio no puede ser negativo y la cantidad no puede ser negativa.

2.4. Optimización de áreas con función cuadrática

El área de regiones rectangulares suele expresarse como una función cuadrática de una de sus dimensiones, usando la restricción del perímetro.

Ejemplo breve 4: Se desea cercar un terreno rectangular con 1000 m de cerca y un lado del terreno limita con un río, por lo que ese lado no requiere cerca. Si llamamos $a$ al ancho perpendicular al río y $b$ al largo paralelo al río, la restricción es $$2a+b=1000.$$ El área es $A=a b$. Despejando $b=1000-2a$, se obtiene $$A(a)=a(1000-2a)=1000a-2a^2.$$ Como $a=-2<0$, el máximo se da en $$a=\frac{-1000}{2(-2)}=250.$$ Entonces $b=1000-2(250)=500$, y el área máxima es $$A=250\times 500=125000\text{ m}^2.$$

2.5. Problemas con figuras compuestas

A veces la función cuadrática aparece después de expresar el área o el perímetro de una figura compuesta por varias formas.

Ejemplo breve 5: Una ventana está formada por un rectángulo y una semicircunferencia superior. Si el radio de la semicircunferencia es $r$, la base del rectángulo es $2r$. Si la altura del rectángulo es $h$, el perímetro total es $$2r+2h+\pi r = \text{constante}.$$ El área total es $$A=2rh+\frac{\pi r^2}{2}.$$ Despejando $h$ del perímetro y sustituyendo en $A$, se obtiene una función cuadrática en $r$ con coeficiente principal negativo. El radio que maximiza el área se encuentra en el vértice.

Muchas veces la expresión a optimizar no viene escrita como una simple cuadrática en una variable, sino como una suma de términos con dos o más variables. La técnica de completar cuadrados permite transformarla en una suma de cuadrados más una constante.

3.1. Idea fundamental

Para cualquier número real $x$, $$x^2\ge 0.$$ Si tenemos una expresión de la forma $$E=( \text{expresión}_1 )^2 + ( \text{expresión}_2 )^2 + \cdots + C,$$ entonces el valor mínimo de $E$ es $C$, y se alcanza cuando cada expresión elevada al cuadrado vale cero.

Ejemplo breve 6: Minimizar $$P(x,y)=4x^2+y^2-12x+8y+13.$$ Completamos cuadrados: $$\begin{aligned} P &=(4x^2-12x)+(y^2+8y)+13\\ &=(2x-3)^2-9+(y+4)^2-16+13\\ &=(2x-3)^2+(y+4)^2-12. \end{aligned}$$ Como los cuadrados son no negativos, $$P\ge -12.$$ El mínimo es $-12$, y ocurre cuando $$2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{2},$$ $$y+4=0 \quad\Rightarrow\quad y=-4.$$

3.2. Cotas y desigualdades

La completación de cuadrados también sirve para hallar cotas. Por ejemplo, si se pide el mayor número real $r$ tal que $$r\le x^2+4x+6$$ para todo $x\in\mathbb{R}$, lo que se busca es el mínimo de $x^2+4x+6$, porque $r$ debe ser menor o igual que todos los valores de esa expresión. Completando cuadrados: $$x^2+4x+6=(x+2)^2+2.$$ El mínimo es 2, por lo que el mayor $r$ que cumple la desigualdad para todo $x$ es $2$.

Existe una técnica muy poderosa para maximizar productos o minimizar sumas sin necesidad de usar la fórmula del vértice. Se basa en una desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica.

4.1. Media aritmética y media geométrica

Para dos números reales positivos $a$ y $b$, $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$ La igualdad se cumple únicamente cuando $a=b$.

Esta desigualdad se generaliza: para $n$ números positivos $x_1,x_2,\dots,x_n$, $$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}.$$ La igualdad también se alcanza cuando todos son iguales.

4.2. Producto máximo con suma constante

Si $a+b=S$ es constante, de la desigualdad se deduce que $$ab\le \left(\frac{S}{2}\right)^2.$$ El producto $ab$ es máximo cuando $a=b=S/2$.

Ejemplo breve 7: Si $x+y=10$, con $x,y>0$, el producto $xy$ es máximo cuando $x=y=5$, y el máximo es $25$.

4.3. Suma mínima con producto constante

Si $ab=P$ es constante, entonces $$a+b\ge 2\sqrt{P}.$$ La suma $a+b$ es mínima cuando $a=b=\sqrt{P}$.

Ejemplo breve 8: Si $x>0$, la expresión $x+\frac{1}{x}$ tiene la forma de una suma con producto constante: $$x\cdot \frac{1}{x}=1.$$ Entonces $$x+\frac{1}{x}\ge 2.$$ El mínimo es 2 y ocurre cuando $x=1$.

4.4. Extensión a sumas con coeficientes

Muchas restricciones no son exactamente $a+b=S$, sino $ka+lb=S$. Por ejemplo, si $2a+b=100$, queremos maximizar $a b$. No podemos decir directamente que el máximo ocurre cuando $a=b$, porque la suma de $a+b$ no es constante; la suma de $2a+b$ sí lo es.

La solución es considerar el producto $(2a)(b)$, cuya suma $2a+b=100$ es constante. Entonces $(2a)(b)$ es máximo cuando $$2a=b=\frac{100}{2}=50.$$ Así, $a=25$, $b=50$, y el producto $ab=1250$.

Este truco es muy útil en problemas de áreas con perímetros de tres lados.

Algunos problemas de máximos presentan una función objetivo lineal y restricciones lineales. No se resuelven con el vértice de una cuadrática, sino evaluando los vértices de la región factible.

5.1. Método de evaluación de vértices

Cuando se maximiza una expresión lineal como $F(x,y)=ax+by$ sujeta a restricciones lineales, el óptimo (si existe) se encuentra en un vértice de la región factible. En problemas con dos variables y pocas restricciones, basta evaluar los puntos de intersección.

Ejemplo breve 9: Un estacionamiento rectangular de $1200\text{ m}^2$ puede atender un máximo de 100 vehículos entre autos y camiones. Cada auto necesita $10\text{ m}^2$ y cada camión $20\text{ m}^2$. La tarifa es S/8 por auto y S/15 por camión. Se desea maximizar la recaudación.

Sean:

• $A$: número de autos.
• $C$: número de camiones.

Restricciones: $$10A+20C\le 1200,$$ $$A+C\le 100,$$ $$A\ge 0,\quad C\ge 0.$$

Función objetivo: $$R=8A+15C.$$

Los puntos candidatos son las intersecciones de las rectas límite:

• $A=0$, $C=60$: $R=8(0)+15(60)=900$.
• $C=0$, $A=100$: $R=8(100)+15(0)=800$.
• Intersección de $10A+20C=1200$ y $A+C=100$: resolviendo, $A+2C=120$ y $A+C=100$; restando, $C=20$, luego $A=80$. Entonces $R=8(80)+15(20)=640+300=940$.

La máxima recaudación es S/940.

Un grupo importante de preguntas de admisión pide hallar el camino más corto que un insecto, una hormiga o una partícula debe seguir sobre la superficie de un sólido (cilindro, paralelepípedo) o sobre una lámina plana, a veces con condiciones de pasar por ciertos bordes.

6.1. Idea general: desarrollar la superficie

Cuando el recorrido es sobre una superficie curva, como la de un cilindro, no podemos usar directamente la distancia en el espacio tridimensional. La técnica consiste en desarrollar la superficie, es decir, aplanarla mentalmente hasta convertirla en un rectángulo o en una figura plana.

En un plano, el camino más corto entre dos puntos es la línea recta. Entonces, una vez desarrollada la superficie, la longitud mínima sobre ella es la longitud del segmento de recta que une los puntos en el desarrollo.

6.2. Cilindro circular recto

La superficie lateral de un cilindro de radio $r$ y altura $h$ se desarrolla como un rectángulo de:

• base $2\pi r$ (la circunferencia de la base),
• altura $h$.

Si una hormiga parte de un punto P en la base inferior y debe llegar a un punto Q en la base superior, ubicamos P y Q en el rectángulo desarrollado y trazamos la diagonal.

Ejemplo breve 10: Un cilindro tiene radio $3$ cm y altura $8$ cm. Una hormiga en el borde de la base inferior, en P, debe llegar al borde de la base superior, en Q, diametralmente opuesto. En el desarrollo, la distancia horizontal entre P y Q es media circunferencia, $\pi r=3\pi$ cm. La distancia vertical es $8$ cm. La longitud mínima es $$\sqrt{(3\pi)^2+8^2}\text{ cm}.$$

6.3. Recorridos con varias vueltas

Si la partícula da varias vueltas alrededor del cilindro antes de llegar al punto de arriba, en el desarrollo se replican las bases. Por ejemplo, si da tres vueltas completas, el desarrollo equivalente es un rectángulo de base $$3(2\pi r)$$ y altura $h$. El punto final queda en la misma vertical que el inicial, pero desplazado tres anchos.

Ejemplo breve 11: Cilindro de radio $5$ cm y altura $40\pi$ cm. Una partícula da tres vueltas por la superficie lateral para ir de N a M, que están en la misma línea vertical. El desarrollo es un rectángulo de base $$3(2\pi\cdot 5)=30\pi$$ y altura $40\pi$. La distancia mínima es $$\sqrt{(30\pi)^2+(40\pi)^2}=50\pi\text{ cm}.$$

6.4. Cilindros pegados y superficies múltiples

Cuando hay varios cilindros congruentes pegados, la idea es desarrollar cada superficie lateral y “pegarlas” en el plano para formar un solo rectángulo más grande. El camino mínimo es la línea recta entre los puntos en ese desarrollo combinado.

6.5. Láminas planas y reflexión

Cuando una hormiga debe ir de un punto a otro sobre una lámina plana y está obligada a pasar por uno o más bordes, se usa la reflexión.

Principio de reflexión: Para ir de A a B tocando un borde recto $L$, el camino más corto es equivalente a la recta entre A y el reflejo de B respecto a $L$. El punto donde la recta cruza $L$ indica por dónde debe pasar.

Si debe pasar por dos bordes, se aplica la reflexión dos veces. En general, se refleja el punto de destino sucesivamente respecto a los bordes que el camino debe tocar, en orden inverso, y luego se mide la distancia recta entre el punto inicial y la imagen final.

Ejemplo breve 12: En una lámina rectangular, una hormiga en P debe llegar a Q tocando el lado CD y luego el lado BC. Se refleja Q respecto a BC obteniendo Q', y luego se refleja Q' respecto a CD obteniendo Q''. La distancia mínima es la distancia entre P y Q''. El punto de cruce con cada lado indica el punto por donde debe pasar.

Además de los problemas algebraicos y geométricos, hay preguntas donde se pide el mínimo o máximo número de objetos, personas, movimientos o gastos, y la solución es puramente lógica o aritmética.

7.1. Mínimo número de personas con parentescos

En problemas de parentescos, la idea es buscar la configuración más compacta en la que una persona pueda cumplir varios roles a la vez.

Ejemplo breve 13: En una reunión hay “dos padres y dos hijos”. El mínimo número de personas es 3: un abuelo, su hijo y su nieto. El abuelo es padre, el hijo es padre e hijo a la vez, y el nieto es hijo. Así se tienen dos padres y dos hijos con solo tres personas.

La estrategia es dibujar un árbol genealógico mínimo y verificar que se cumplan todos los parentescos.

7.2. Mínima cantidad de extracciones

En problemas de urnas con bolas de colores, se suele preguntar cuántas extracciones son necesarias para garantizar al menos una bola de cada color o de un color específico.

La idea es suponer el peor caso: primero salen todas las bolas de los colores no deseados en su máxima cantidad, y luego una más del color deseado.

Ejemplo breve 14: Una urna tiene 15 bolas negras, 12 rojas y 9 amarillas. Para garantizar al menos una de cada color, el peor caso es extraer primero las 15 negras y las 12 rojas; la siguiente extracción será necesariamente amarilla. Total: $15+12+1=28$.

7.3. Promociones y obsequios

En problemas de promociones tipo “por cada 10 comprados, 2 de obsequio”, hay que razonar en bloques.

Ejemplo breve 15: Un fabricante obsequia 2 polos por cada 10 polos comprados. Si un cliente lleva un total de 200 polos entre comprados y obsequiados, ¿cuál es la máxima cantidad de polos que recibe como obsequio?

Cada bloque de 12 polos entregados al cliente contiene 10 comprados y 2 de obsequio. En 200 polos hay $$\left\lfloor \frac{200}{12}\right\rfloor = 16$$ bloques completos. Por tanto, el cliente recibe $16\times 2=32$ polos de obsequio. Los polos restantes no completan un bloque de obsequio.

7.4. Mínimo gasto con productos por cajas

A veces la cantidad calculada no coincide con la unidad de venta (por cajas, por paquetes), y hay que redondear hacia arriba.

Ejemplo breve 16: Un paciente debe tomar una pastilla cada 3 horas durante una semana exacta, comenzando en el instante inicial. En 7 días hay 168 horas. Las tomas son en los instantes $0,3,6,\dots,168$. El número total de tomas es $$\frac{168}{3}+1=57.$$ Si cada caja contiene 20 pastillas y solo se vende por caja, necesita $3$ cajas, que contienen $60$ pastillas. El gasto es $3\times 30=S/90$.