Cronometría II: situaciones con relojes de manecillas (adelantos y atrasos)

Imagina que tienes dos relojes: uno exacto y otro defectuoso.

• El reloj exacto marca la hora real.
• El reloj defectuoso marca la hora marcada.

Si un reloj se adelanta, significa que marca más de lo que debería.
Si un reloj se atrasa, significa que marca menos de lo que debería.

Por ejemplo:

• Si son las $10:00$ a.m. en la hora real y un reloj se adelanta $7$ minutos, entonces su hora marcada es $10:07$ a.m.
• Si son las $10:00$ a.m. y un reloj se atrasa $7$ minutos, su hora marcada es $9:53$ a.m.

Este pequeño ejemplo encierra la relación fundamental:

$$\text{hora marcada} = \text{hora real} + \text{adelanto}$$

cuando el reloj se adelanta, y

$$\text{hora marcada} = \text{hora real} - \text{atraso}$$

cuando el reloj se atrasa.

De aquí se despejan las relaciones que más se utilizan:

$$\text{hora real} = \text{hora marcada} - \text{adelanto}$$

$$\text{hora real} = \text{hora marcada} + \text{atraso}$$

Estas dos fórmulas son la base de casi todo el tema.

En los problemas de adelantos y atrasos, los datos suelen referirse a:

• Una hora inicial, que es aquella en la que el reloj comenzó a fallar o fue sincronizado con la hora correcta.
• Un tiempo real transcurrido desde esa hora inicial.
• Una desviación acumulada: cuántos minutos se ha adelantado o atrasado en total.
• La hora real actual.
• La hora marcada actual por el reloj defectuoso.

El esquema mental debe ser el siguiente: desde la hora inicial transcurre un tiempo real. En ese tiempo, el reloj defectuoso acumula un adelanto o un atraso. Al sumar o restar esa desviación a la hora real, se obtiene la hora marcada.

En este esquema se observa que:

• Si un reloj se adelanta $15$ minutos durante $5$ horas, entonces a las $12:00$ p.m. de hora real marcará $12:15$ p.m.
• Si otro reloj se atrasa $20$ minutos en esas mismas $5$ horas, marcará $11:40$ a.m.

No importa si el problema te da todos los datos o uno de ellos es la incógnita: la forma de razonar es la misma.

La desviación de un reloj defectuoso se produce a un ritmo constante. Por ejemplo:

• Un reloj se atrasa $4$ minutos cada $3$ horas.
• Un reloj se adelanta $2$ minutos cada $5$ horas.

Para calcular cuánto se ha desviado en un tiempo mayor o menor, usamos regla de tres simple directa.

Si un reloj se atrasa $d$ minutos cada $p$ horas, entonces en $t$ horas reales se atrasa:

$$\text{atraso} = \frac{d}{p} \cdot t$$

Lo mismo aplica para adelantos:

$$\text{adelanto} = \frac{d}{p} \cdot t$$

Donde:

• $d$: desviación conocida en minutos.
• $p$: tiempo base en horas.
• $t$: tiempo real transcurrido, en horas.

Ejemplo breve:
Un reloj se atrasa $3$ minutos cada $2$ horas. ¿Cuánto se atrasará en $10$ horas?

$$\text{atraso} = \frac{3}{2} \times 10 = 15\text{ minutos}$$

Si el reloj se atrasa $3$ minutos cada $2$ horas, su ritmo de atraso es de $1.5$ minutos por hora. Multiplicado por $10$ horas, da $15$ minutos.

Este cálculo es muy importante porque casi siempre la desviación acumulada no se da directamente; se da como un ritmo.

Combinando el ritmo de desviación con la relación entre hora real y hora marcada, podemos resolver la mayoría de problemas.

Sean:

• $H_0$: hora inicial, cuando el reloj se sincroniza.
• $H_r$: hora real actual.
• $H_m$: hora marcada actual.
• $t$: tiempo real transcurrido desde $H_0$.
• $A$: adelanto acumulado.
• $R$: atraso acumulado.

Las relaciones básicas son:

En muchos problemas, la incógnita es la hora real. Para hallarla:

1. Calcula el tiempo real transcurrido $t$.
2. Calcula la desviación acumulada $A$ o $R$.
3. Aplica el despeje correspondiente.

Ejemplo breve:
Un reloj se atrasa $4$ minutos cada hora. Se malogró hace $5$ horas. Si ahora marca $7:00$ p.m., ¿qué hora es realmente?

El atraso acumulado es:

$$R = 4 \times 5 = 20\text{ minutos}$$

Como el reloj se atrasa, su hora marcada es menor que la real. Entonces:

$$H_r = H_m + R = 7:00\text{ p.m.} + 20\text{ min} = 7:20\text{ p.m.}$$

Esta es una de las preguntas más típicas del tema.

Un reloj de manecillas repite la misma posición de sus agujas cada $12$ horas. Por eso, si un reloj defectuoso se adelanta o atrasa exactamente $12$ horas, sus manecillas estarán en la misma posición que las del reloj exacto. Es decir, volverá a marcar la hora correcta.

La vuelta completa es:

$$12\text{ horas} = 12 \times 60 = 720\text{ minutos}$$

Entonces, para que un reloj defectuoso marque nuevamente la hora correcta por primera vez, debe acumular una desviación total de $720$ minutos.

Si el reloj se adelanta o atrasa a un ritmo de $r$ minutos por hora, el tiempo necesario es:

$$t = \frac{720}{r}\text{ horas}$$

Si el ritmo es $d$ minutos cada $p$ horas, entonces:

$$t = \frac{720 \cdot p}{d}\text{ horas}$$

Ejemplo breve:
Un reloj se atrasa $12$ minutos cada $5$ horas. Si en este momento marca la hora correcta, ¿cuánto tiempo debe pasar para que vuelva a marcar la hora correcta por primera vez?

Necesitamos que se atrase $720$ minutos. El ritmo es $12$ minutos cada $5$ horas, es decir, $12/5$ minutos por hora. Entonces:

$$t = \frac{720}{12/5} = \frac{720 \times 5}{12} = 300\text{ horas}$$

Después de $300$ horas, se habrá atrasado una vuelta completa y sus manecillas volverán a coincidir con la hora real.

Este tipo de problema puede pedir el resultado en horas, días y horas, o incluso en una fecha futura.

Los problemas con dos relojes defectuosos tienen dos variantes principales: que marquen la misma hora o que marquen la hora correcta simultáneamente. Son dos preguntas distintas y no deben confundirse.

6.1. Marcar la misma hora

Dos relojes defectuosos marcan la misma hora cuando sus manecillas están en la misma posición. Si están sincronizados al inicio, la diferencia entre sus lecturas aumenta con el tiempo.

• Si un reloj se adelanta y el otro se atrasa, la diferencia entre sus lecturas crece a la suma de sus ritmos.
• Si ambos se adelantan o ambos se atrasan con distinto ritmo, la diferencia crece a la resta de sus ritmos.

Para que marquen la misma hora por primera vez, la diferencia entre sus lecturas debe ser exactamente $12$ horas, es decir, $720$ minutos.

Entonces, si un reloj se adelanta $p$ minutos por hora y el otro se atrasa $q$ minutos por hora:

$$t = \frac{720}{p+q}\text{ horas}$$

Ejemplo breve:
Un reloj A se adelanta $5$ minutos cada hora y un reloj B se atrasa $3$ minutos cada hora. Si ambos se sincronizan a las $8:00$ a.m., ¿cuándo marcarán por primera vez la misma hora?

La diferencia entre sus lecturas crece:

$$5 + 3 = 8\text{ minutos por hora}$$

El tiempo necesario para que la diferencia sea $720$ minutos es:

$$t = \frac{720}{8} = 90\text{ horas}$$

6.2. Marcar la hora correcta simultáneamente

Para que cada reloj defectuoso marque la hora correcta, debe haberse desviado $720$ minutos. Ese tiempo es distinto para cada reloj, según su ritmo.

Así, un reloj que se desvía $r$ minutos por hora marcará la hora correcta cada:

$$T = \frac{720}{r}\text{ horas}$$

Para que dos relojes marquen la hora correcta al mismo tiempo, buscamos el primer múltiplo común de sus períodos. Es decir:

$$t_{\text{simultáneo}} = \operatorname{MCM}(T_1, T_2)$$

Ejemplo breve:
Un reloj se atrasa $12$ minutos cada hora y otro se adelanta $20$ minutos cada hora. Si se sincronizan a las $8:00$ a.m., ¿después de cuánto tiempo ambos marcarán la hora correcta simultáneamente?

Para el reloj que se atrasa $12$ min/h:

$$T_1 = \frac{720}{12} = 60\text{ horas}$$

Para el reloj que se adelanta $20$ min/h:

$$T_2 = \frac{720}{20} = 36\text{ horas}$$

Entonces ambos marcarán la hora correcta simultáneamente después de:

$$\operatorname{MCM}(60, 36) = 180\text{ horas}$$

Esto significa que el primer reloj marca la hora correcta cada $60$ horas y el segundo cada $36$ horas. Coinciden en el mínimo común múltiplo de ambos períodos.

Hay una forma alternativa de entender estos problemas, muy útil cuando la pregunta involucra cuánto tiempo transcurrió según el reloj defectuoso.

Un reloj exacto avanza $60$ minutos por cada hora real. Un reloj que se adelanta $r$ minutos por hora avanza $60 + r$ minutos por cada hora real. Un reloj que se atrasa $r$ minutos por hora avanza $60 - r$ minutos por cada hora real.

Por lo tanto:

$$\frac{\text{tiempo marcado}}{\text{tiempo real}} = \frac{60 + r}{60}$$

si el reloj se adelanta, y

$$\frac{\text{tiempo marcado}}{\text{tiempo real}} = \frac{60 - r}{60}$$

si el reloj se atrasa.

Ejemplo breve:
Un reloj se adelanta $10$ minutos cada hora. Si en un intervalo marcó $3$ horas y $30$ minutos, ¿cuánto tiempo real transcurrió?

El reloj marcó:

$$3\text{ h } 30\text{ min} = 210\text{ minutos}$$

Como se adelanta $10$ minutos por hora, por cada $60$ minutos reales marca $70$ minutos. Entonces:

$$\frac{210}{t_{\text{real}}} = \frac{70}{60}$$

$$t_{\text{real}} = 210 \times \frac{60}{70} = 180\text{ minutos} = 3\text{ horas}$$

Este método no es imprescindible para la mayoría de preguntas, pero ayuda a entender por qué la desviación acumulada se calcula sobre el tiempo real.