Máximos y mínimos 2

La idea central: producto máximo con suma fija

Comencemos con un ejemplo muy simple. Si dos números positivos suman $10$, ¿cuándo su producto es máximo?

Veamos algunas posibilidades:

El máximo producto se obtiene cuando los dos números son iguales: $5$ y $5$.

Esto no es casualidad. Si $a+b=10$, sabemos que:

$$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}=5$$

Entonces:

$$ab \le 25$$

Y la igualdad se logra cuando $a=b=5$.

Esta idea se generaliza: si varios números positivos tienen una suma fija, su producto es máximo cuando todos son iguales.

La desigualdad $x+\frac{1}{x}\ge 2$

Un caso particular muy útil se obtiene al aplicar la desigualdad anterior a $x$ y $\frac{1}{x}$, cuando $x>0$.

Como el producto de $x$ y $\frac{1}{x}$ es $1$, tenemos:

$$\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge \sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=\sqrt{1}=1$$

Por lo tanto:

$$x+\frac{1}{x}\ge 2$$

La igualdad se da cuando $x=1$.

Esta desigualdad permite resolver rápidamente expresiones fraccionarias donde aparece una variable y su inversa.

Ejemplo breve

Si $x>0$, ¿cuál es el mínimo valor de $x+\frac{4}{x}$?

No podemos aplicar directamente $x+\frac{1}{x}$, pero sí podemos aplicar la desigualdad entre $x$ y $\frac{4}{x}$. O bien reescribimos:

$$x+\frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=2\sqrt{4}=4$$

El mínimo es $4$ y se obtiene cuando $x=\frac{4}{x}$, es decir, $x=2$.

Aplicación a expresiones fraccionarias

Muchos ejercicios de examen consisten en hallar el máximo o mínimo de una expresión de la forma:

$$\frac{kx^2}{ax^4+bx^2+c}$$

La estrategia típica es dividir el numerador y el denominador entre $x^2$, para que aparezca la suma $x^2+\frac{1}{x^2}$.

Ejemplo breve

Hallemos el máximo de:

$$M=\frac{15x^2}{x^4+3x^2+1}$$

para $x\neq 0$.

Dividimos numerador y denominador entre $x^2$:

$$M=\frac{15}{x^2+3+\frac{1}{x^2}}$$

Reagrupamos el denominador:

$$M=\frac{15}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+3}$$

Ahora, como $x^2>0$:

$$x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$$

Por lo tanto, el mínimo valor del denominador completo es:

$$2+3=5$$

Así, cuando el denominador es mínimo, la fracción $M$ es máxima:

$$M_{\text{máx}}=\frac{15}{5}=3$$

Este procedimiento es muy importante: no se trata de “derivar”, sino de buscar una suma que tenga producto constante y acotarla por la desigualdad.

Máximos y mínimos con productos de expresiones lineales

En problemas de áreas, perímetros o volúmenes, a menudo se llega a una expresión como:

$$a+2b=6$$

y se pide maximizar algo como $ab$.

No debemos maximizar $ab$ directamente con la condición $a+2b=6$, porque los términos que suman no son $a$ y $b$, sino $a$ y $2b$. Por eso conviene hacer aparecer los mismos términos de la suma dentro del producto.

Si $a+2b=6$, entonces $a$ y $2b$ son dos cantidades positivas de suma fija. Luego:

$$a(2b) \text{ es máximo cuando } a=2b$$

Como la suma es $6$:

$$a=2b=3$$

Entonces:

$$a=3,\qquad 2b=3,\qquad b=1{,}5$$

Y el producto $ab=3\times 1{,}5=4{,}5$ es máximo. Si la expresión a maximizar fuera $22ab$, bastaría multiplicar.

Esta idea de aparear los factores con los sumandos de la condición fija es una de las claves del tema.

Situaciones aritméticas con divisibilidad: recipientes de igual capacidad

Hay otra clase de problemas aritméticos que también son de máximos y mínimos, aunque no usan la desigualdad anterior: son los problemas en los que se deben repartir dos o más cantidades en recipientes iguales.

Supongamos que tenemos dos cantidades $A$ y $B$ de líquidos distintos y queremos envasarlas por separado en recipientes de igual capacidad, de modo que:

• todos los recipientes queden completamente llenos;
• no se mezclen los líquidos;
• el número total de recipientes sea el menor posible.

¿Qué capacidad deben tener los recipientes?

Para que cada barril se reparta en recipientes llenos, la capacidad $c$ debe dividir exactamente a $A$ y a $B$. Es decir, $c$ debe ser un divisor común de $A$ y $B$.

Como queremos usar el menor número de recipientes, necesitamos la mayor capacidad posible. Por lo tanto:

$$c = \operatorname{MCD}(A,B)$$

Una vez hallado el MCD, el número de recipientes para cada líquido se calcula dividiendo:

$$\text{Número de recipientes para }A=\frac{A}{\operatorname{MCD}(A,B)}$$

$$\text{Número de recipientes para }B=\frac{B}{\operatorname{MCD}(A,B)}$$

Un error muy común es usar el MCM. Pero el MCM de $A$ y $B$ es un múltiplo, no un divisor: no permitiría llenar recipientes exactos con las cantidades dadas.

Este tipo de problemas es muy concreto y aparece en el área de habilidad lógico-matemática.

La distancia mínima entre dos puntos

La base de casi todas las situaciones geométricas de recorrido mínimo es un principio muy simple:

La distancia más corta entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une.

Pero los problemas se complican cuando el camino no puede ser una línea recta porque hay una pared, un piso, un borde o una superficie que obliga a seguir ciertas condiciones.

Caminos en un mismo plano: simetría para tocar una recta

Imaginemos un ave que está en el punto $A$, debe tocar el piso en algún punto $X$ y luego ir a su nido en el punto $B$. ¿Cuál es el camino más corto?

El truco consiste en reflejar $B$ respecto del piso, obteniendo $B'$ al otro lado. Cualquier camino $A\to X\to B$ tiene la misma longitud que $A\to X\to B'$, porque el piso es la mediatriz de $BB'$ y, por lo tanto, $XB=XB'$.

Entonces, minimizar $AX+XB$ equivale a minimizar $AX+XB'$, y el mínimo se logra cuando $A$, $X$ y $B'$ están alineados. La distancia mínima es simplemente la longitud de $AB'$.

En el ejemplo de la figura, los catetos del triángulo rectángulo son $5+3=8$ m y $6$ m:

$$d_{\text{mín}}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10\text{ m}$$

Este método se aplica igual en mesas de billar, en pelotas que rebotan en una pared o en cualquier recorrido que deba tocar una recta intermedia.

Caminos con dos o más paredes

Cuando el recorrido debe tocar dos o más rectas, la idea es la misma, pero se aplica la simetría varias veces.

Por ejemplo, si una pelota parte de $A$, golpea la pared $L_1$, luego la pared $L_2$ y finalmente llega a $B$, conviene reflejar $A$ respecto de $L_1$ y $B$ respecto de $L_2$. Al unir las imágenes con una recta, las intersecciones con las paredes originales indican los puntos de impacto.

La longitud de ese segmento entre imágenes es el recorrido mínimo. Al sumar los tramos reales, la distancia total coincide con la distancia entre las imágenes, porque cada tramo reflejado conserva su longitud.

Este procedimiento también se usa en problemas con más de dos rebotes, siempre que el orden de las paredes esté definido.

Caminos sobre la superficie de un sólido: el desarrollo

Cuando los puntos están en caras o superficies distintas de un sólido, el camino no se puede trazar directamente en el plano. La estrategia es desarrollar el sólido, es decir, abrir su superficie.

Paralelepípedo rectangular

En una caja o ladrillo, si una hormiga debe ir de un punto $A$ a otro $B$ por la superficie, se despliegan las caras que va a recorrer.

Por ejemplo, en un paralelepípedo de dimensiones $30$, $20$ y $10$ cm, para ir de un vértice inferior a un vértice opuesto superior, se puede:

• abrir por dos caras laterales,
• abrir por una cara lateral y la tapa,
• o abrir por la otra cara lateral y la tapa.

En cada desarrollo, el camino mínimo es una línea recta cuya longitud se calcula con Pitágoras. Como hay varios desarrollos posibles, se deben comparar las longitudes y elegir la menor.

Es muy importante no asumir que el primer desarrollo que se dibuja es el óptimo.

Cilindro

En un cilindro recto, la superficie lateral se desarrolla como un rectángulo cuya base mide $2\pi r$ y cuya altura mide $h$. Si dos puntos están sobre la superficie lateral, se ubican en ese rectángulo y se traza la línea recta entre ellos.

Cono

En un cono, la superficie lateral se desarrolla como un sector circular. El radio del sector es la generatriz del cono y la longitud del arco es $2\pi r$. Para hallar un recorrido mínimo sobre el cono entre dos puntos, se dibuja el sector y se traza la recta correspondiente.

Rectángulos con perímetro fijo

Si un rectángulo tiene lados $x$ e $y$, su perímetro es $2x+2y$ y su área es $xy$.

Si el perímetro es fijo, por ejemplo $2x+2y=P$, entonces $x+y=\frac{P}{2}$ es constante. Aplicando la desigualdad entre $x$ e $y$:

$$xy \le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$$

El área máxima se obtiene cuando $x=y$, es decir, cuando el rectángulo es un cuadrado.

Un caso muy frecuente en los exámenes es el rectángulo con un lado libre, por ejemplo, un terreno que limita con un río. Si se cercan solo tres lados con una longitud total $L$, y llamamos $x$ al lado paralelo al río e $y$ a cada uno de los otros dos lados, entonces:

$$x+2y=L$$

El área es:

$$xy$$

Para usar la condición de suma fija, conviene escribir el área como:

$$xy=\frac{1}{2}x(2y)$$

Como $x+(2y)=L$, el producto $x(2y)$ es máximo cuando:

$$x=2y$$

Entonces:

$$x=2y=\frac{L}{2}$$

De donde:

$$x=\frac{L}{2},\qquad y=\frac{L}{4}$$

El área máxima es:

$$xy=\frac{L}{2}\cdot \frac{L}{4}=\frac{L^2}{8}$$

Regiones poligonales compuestas

Muchas figuras de área máxima no son rectángulos simples, sino regiones con escalones o formas compuestas. El procedimiento es el mismo:

1. Expresar el perímetro en función de las variables dadas.
2. Expresar el área en función de las mismas variables.
3. Usar la condición del perímetro para obtener una suma fija.
4. Hacer que el producto relacionado con el área sea máximo, igualando los factores adecuados.

Ejemplo breve de región compuesta

Consideremos una región cuyo perímetro se puede expresar como:

$$9x+8y=30$$

y cuya área resulta, al sumar los rectángulos parciales, igual a:

$$56xy$$

No podemos maximizar $xy$ directamente porque la condición fija involucra a $9x$ y $8y$, no a $x$ e $y$.

La solución es usar los mismos términos de la suma:

$$9x+8y=30$$

Entonces $9x$ y $8y$ suman $30$, por lo que su producto es máximo cuando son iguales:

$$9x=8y=15$$

De ahí:

$$x=\frac{15}{9},\qquad y=\frac{15}{8}$$

Y:

$$xy=\frac{15}{9}\cdot \frac{15}{8}=\frac{225}{72}=\frac{25}{8}$$

Finalmente, el área máxima es:

$$56xy=56\cdot \frac{25}{8}=175$$

Volúmenes de paralelepípedos y cajas

La misma lógica se aplica a volúmenes.

Si un paralelepípedo rectangular tiene una dimensión fija $c$ y las otras dos dimensiones $x$ e $y$ suman una constante $S$, es decir:

$$x+y=S$$

entonces el volumen es:

$$V=cxy$$

Como $c$ es fijo, maximizar $V$ equivale a maximizar $xy$. El máximo se da cuando $x=y=\frac{S}{2}$.

Ejemplo breve

Una caja tiene una arista de $12$ cm y las otras dos aristas suman $40$ cm. Si las aristas variables son $x$ y $40-x$, el volumen es:

$$V=12x(40-x)$$

El producto $x(40-x)$ es máximo cuando $x=40-x=20$. Entonces:

$$V_{\text{máx}}=12\cdot 20\cdot 20=4800\ \text{cm}^3$$

Cajas o canaletas construidas a partir de planchas

Un tipo especial de problema de volumen máximo es aquel en el que se parte de una plancha rectangular y se dobla para formar una caja o una canaleta.

En una canaleta sin tapas, por ejemplo, si se dobla una plancha de ancho $L$ en tres partes: una base de ancho $x$ y dos paredes laterales de altura $y$, se cumple:

$$x+2y=L$$

El área de la sección transversal (que determina cuánta agua puede pasar) es:

$$A=xy$$

El máximo de $A$ se obtiene cuando $x=2y$, como vimos antes.

Si la plancha tiene además una longitud fija $l$ a lo largo de la canaleta, el volumen máximo será:

$$V=l\cdot A_{\text{máx}}$$