Suficiencia de datos

Un dato es suficiente si, junto con la información inicial del problema, permite obtener una única respuesta para lo que se pide.

Por ejemplo:

Se desea saber si un número entero positivo $n$ es mayor que 8.
Información: $n$ es múltiplo de 5 y es menor que 12.

Al analizar el dato, los múltiplos de 5 menores que 12 son: $$5,\ 10$$ Si $n=5$, no es mayor que 8; si $n=10$, sí lo es. Como hay dos posibilidades, el dato no es suficiente.

Pero si el dato fuera:

$n$ es 12.

Entonces sabríamos con certeza que $n>8$. Este dato sí es suficiente.

Esto nos lleva a una idea central:

La suficiencia no depende de que la respuesta sea "sí" o "no", sino de que se pueda decidir con certeza y sin ambigüedad.

Un dato que permite responder "no es mayor que 8" de manera segura también es suficiente.

Aunque cada pregunta puede variar, la estructura general es la siguiente.

1. Enunciado del problema

Contiene:

• información inicial o condiciones previas;
• una pregunta o algo que se desea determinar.

Ejemplo:

Se desea determinar la edad de una persona.
Se sabe que es mayor de edad.

2. Datos adicionales

Se presentan como informaciones separadas:

• Dato I
• Dato II
• Dato III, etc.

Ejemplo:

I. La persona nació en 1999.
II. La persona tiene el doble de la edad de su hermano menor, que tiene 10 años.

3. Alternativas

Las alternativas suelen referirse a qué dato o combinación de datos es suficiente.

Cuando hay dos datos, las alternativas frecuentes son:

En problemas con tres o más datos, las alternativas pueden ser combinaciones, por ejemplo:

• Solo I
• Solo II
• Solo III
• I y II
• I y III
• II y III
• Todas
• Ninguna

No memorices las letras; entiende el razonamiento. En San Marcos, lo esencial es saber analizar las posibilidades.

Este método es la base del tema. Se aplica a la mayoría de problemas, tengan dos o tres datos.

Paso 1: Analizar el enunciado sin datos adicionales

Primero identifica:

• ¿Qué se pide hallar?
• ¿Cuántas incógnitas hay?
• ¿La información inicial ya es suficiente?

Normalmente el enunciado inicial no es suficiente; por eso se añaden datos.

Paso 2: Analizar el dato I por separado

Incorpora únicamente el dato I al enunciado.

Pregúntate:

¿Con esta información obtengo una única respuesta?

Si la respuesta es sí, entonces el dato I es suficiente.
Si es no, entonces el dato I no es suficiente por sí solo.

Paso 3: Analizar el dato II por separado

Haz lo mismo con el dato II, sin usar el dato I.

Si el dato II por sí solo también permite resolver el problema, entonces es suficiente.

Paso 4: Decidir según los resultados

• Si I es suficiente y II no → respuesta: solo I.
• Si II es suficiente y I no → respuesta: solo II.
• Si ambos son suficientes por separado → respuesta: cada uno por separado.
• Si ninguno es suficiente por separado, analiza I y II juntos.
  • Si juntos permiten resolver → respuesta: es necesario usar ambos.
  • Si juntos tampoco permiten resolver → respuesta: información insuficiente.

Esquema de decisión

Puedes representarlo así:

1. ¿I por sí solo es suficiente?
   • Sí → ¿II por sí solo es suficiente?
     • Sí → Ambas por separado.
     • No → Solo I.
   • No → ¿II por sí solo es suficiente?
     • Sí → Solo II.
     • No → ¿I y II juntos son suficientes?
       • Sí → Ambas juntas.
       • No → Insuficiente.

No es necesario que resuelvas todo el problema, pero sí debes comprobar si el dato cierra todas las posibilidades.

Criterio de unicidad

Un dato es suficiente si, al usarlo, todas las soluciones posibles conducen a la misma respuesta para lo que se pide.

Un dato es insuficiente si permite dos o más respuestas posibles para lo que se pide.

Cómo comprobar insuficiencia rápidamente

Para demostrar que un dato no es suficiente, muchas veces basta encontrar dos casos diferentes que cumplan el dato y den respuestas distintas.

Ejemplo:

Se desea hallar $x$ sabiendo que $x$ es entero positivo.
Dato I: $x^2=9$.

Si $x$ entero positivo, entonces $x=3$.
Aquí el dato es suficiente.

Pero si no dijeran que es positivo:

Se desea hallar $x$.
Dato I: $x^2=9$.

Entonces $x=3$ o $x=-3$. Dos soluciones posibles, por lo tanto el dato no es suficiente.

Por eso, las condiciones iniciales del problema importan muchísimo.

Muchos problemas de este tema se resuelven planteando ecuaciones.

Número de incógnitas y número de ecuaciones

Una idea muy útil es comparar la cantidad de incógnitas con la cantidad de ecuaciones independientes.

• Si hay una incógnita y se obtiene una ecuación lineal independiente, muchas veces es suficiente.
• Si hay dos incógnitas, se necesitan dos ecuaciones independientes.
• Si hay tres incógnitas, se necesitan tres ecuaciones independientes.

Pero esto es solo una guía. Hay que tener cuidado con los sistemas no lineales, las restricciones y los datos redundantes.

Expresiones algebraicas

A veces no se pide hallar cada incógnita, sino una expresión.

Ejemplo:

Se desea hallar $x^2+y^2$.
Dato I: $x+y=10$.
Dato II: $xy=24$.

Con el dato I por separado, hay muchas combinaciones de $x$ e $y$ que suman 10, y no sabemos cuánto vale $x^2+y^2$.

Con el dato II por separado, hay muchos pares cuyo producto es 24, y tampoco se puede hallar $x^2+y^2$.

Usando ambos: $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$$ $$x^2+y^2=10^2-2(24)=100-48=52$$

Por lo tanto, se requieren ambos datos. Este tipo de identidades es muy común.

Cuidado con las restricciones

Un mismo dato puede ser suficiente o insuficiente según las restricciones del problema.

Ejemplo:

Se desea hallar $x$.
Dato I: $x^2=16$.

• Si no hay restricciones, $x$ puede ser $4$ o $-4$; dato insuficiente.
• Si se sabe que $x$ es un número natural, entonces $x=4$; dato suficiente.

Por eso es tan importante leer las condiciones iniciales.

Promedios de subgrupos

En algunos problemas se dan promedios de subgrupos y se pide el promedio total.

Si un conjunto se divide en dos grupos:

• Grupo A con $n_A$ elementos y promedio $p_A$.
• Grupo B con $n_B$ elementos y promedio $p_B$.

El promedio total es: $$P = \frac{n_A p_A + n_B p_B}{n_A+n_B}$$

Para hallar el promedio total se necesita conocer ambos promedios y las cantidades de cada grupo.

Si solo se conoce un promedio, no se puede saber el promedio total, porque la información del otro grupo falta.

Edades con referencia al pasado o al futuro

Si se desea conocer la suma actual de las edades de dos personas, se puede representar como $S$.

• Hace 5 años, la suma era $S-10$, porque cada persona tenía 5 años menos.
• Dentro de 5 años, la suma será $S+10$, porque cada persona tendrá 5 años más.

Así, si un dato da la suma de las edades hace algunos años, se puede despejar la suma actual.

Múltiplos consecutivos

Cuando un problema dice que tres edades son múltiplos consecutivos de cierto número, se pueden representar así:

$$kn,\quad k(n+1),\quad k(n+2)$$

Donde $k$ es el número del cual son múltiplos.

Propiedades que se cumplen automáticamente:

• La diferencia entre el mayor y el menor es $2k$.
• El término intermedio es el promedio aritmético de los otros dos.

Esto significa que si un dato dice "la diferencia entre el mayor y el menor es $2k$" o "uno de ellos es el promedio de los otros dos", ese dato no aporta información nueva, porque ya se cumple para cualquier terna de múltiplos consecutivos.

En geometría, para determinar un área, un volumen o una medida, se necesitan dos tipos de información:

• Información sobre la forma: ángulos, proporciones, relaciones geométricas.
• Información sobre el tamaño: una longitud, un perímetro, un área, un volumen.

Si solo se tiene la forma, se conoce la figura a escala relativa, pero no su tamaño real.
Si solo se tiene el tamaño, no se sabe la forma exacta.

Ejemplo: cubo

Para hallar el volumen de un cubo basta conocer su arista $a$, porque: $$V=a^3$$

Dos datos pueden ser suficientes por separado:

• Si se conoce el área total $A_T = 6a^2$, se despeja $a$.
• Si se conoce la diagonal $d=a\sqrt{3}$, también se despeja $a$.

Ambos datos, por separado, permiten calcular el volumen.

Ejemplo: región sombreada en una semicircunferencia

Considera una semicircunferencia de diámetro $AB$ y un punto $C$ sobre la curva. Se forma el triángulo $ABC$, que es rectángulo en $C$.

Si se pide hallar el área de la región sombreada entre el arco $AC$ y el segmento $AC$, se necesita:

• la posición de $C$ sobre la semicircunferencia, que viene dada por la medida del arco $AC$;
• el tamaño de la semicircunferencia, que viene dado por una longitud como $BC$, $AB$ o el radio.

Un dato que solo da el arco $AC$ permite saber la forma de la región, pero no su tamaño real.
Un dato que solo da la longitud de $BC$ permite saber el tamaño, pero no la posición de $C$.

Por lo tanto, se necesitan ambos datos.

No todos los problemas de suficiencia de datos son algebraicos o aritméticos. También hay problemas de ordenamiento, posiciones o comparaciones.

Ejemplo de ordenamiento

Se sabe que Ana es mayor que Beto. Se desea saber quién es el mayor entre Ana, Beto y Carmen.
Dato I: Carmen es mayor que Ana.
Dato II: Beto es mayor que Carmen.

Con el dato I: $$\text{Carmen} > \text{Ana} > \text{Beto}$$ Carmen es la mayor; dato suficiente.

Con el dato II: $$\text{Ana} > \text{Beto} > \text{Carmen}$$ Ana es la mayor; dato suficiente.

Ambos datos por separado permiten responder quién es el mayor. No interesa la edad exacta.

Problemas de balance

En los problemas de balanzas, se iguala el peso total de un platillo con el del otro.

Si se colocan en un platillo $q$ pesas de 1 kg y $p$ pesas desconocidas de peso $w$, y en el otro platillo $s$ pesas de 1 kg y $r$ pesas desconocidas de peso $w$, la ecuación de equilibrio es:

$$q + pw = s + rw$$

Reordenando:

$$(p-r)w = s-q$$

Si $p\neq r$, se puede despejar: $$w = \frac{s-q}{p-r}$$

Entonces, para saber si un dato es suficiente, hay que analizar si permite obtener una relación útil entre $p-r$ y $s-q$, o si da valores concretos para las cantidades.

En algunos problemas, especialmente los de conteos o compras, se presentan tres o más datos y las alternativas piden combinaciones.

Estrategia general

1. Identifica cuántas incógnitas hay.
2. Escribe las ecuaciones que se obtienen del enunciado.
3. Analiza cada dato y descarta los que no aportan información nueva.
4. Cuenta ecuaciones independientes.

Por ejemplo, si hay tres incógnitas y solo una ecuación inicial, necesitarás dos ecuaciones independientes adicionales para resolver la pregunta.

Dato redundante

Un dato redundante es aquel que se deduce de otros datos o del enunciado.

Ejemplo:

Un producto cuesta $S/10$.
Dato: Cinco productos cuestan $S/50$.

Ese dato no aporta información nueva, porque ya se sabía el precio unitario.

En suficiencia de datos, los datos redundantes no ayudan a determinar incógnitas.

Ejemplo de compras

Supón que se compran tres tipos de artículos: M, N y P, con precios conocidos. Se desea saber cuántos artículos de cada tipo se compraron.

Incógnitas: $$m,\quad n,\quad p$$

Si se conocen:

• cantidad total de artículos: $m+n+p=T$;
• costo total: $a m + b n + c p = C$.

Hay dos ecuaciones y tres incógnitas. Falta una relación más.

Un tercer dato que relacione $m,n,p$ de forma independiente será necesario.

Un dato que solo repita un precio unitario será redundante.