Calendarios 1: relación de días, semanas y meses

Expresiones cotidianas y su traducción numérica

En los problemas de calendarios aparecen constantemente expresiones como ayer, mañana, anteayer, pasado mañana, hace 3 días, dentro de 5 días, etc. Para no perdernos, conviene traducirlas a números.

Tomemos como referencia el día de hoy, que llamaremos $H$. Entonces:

Así, una frase como:

“el ayer del mañana de pasado mañana”

se traduce así:

• pasado mañana: $+2$
• mañana de pasado mañana: $+2 + 1 = +3$
• ayer de eso: $+3 - 1 = +2$

Por lo tanto, “el ayer del mañana de pasado mañana” es igual a pasado mañana ($+2$).

Este mecanismo es fundamental: las frases encadenadas no son más que sumas y restas de números pequeños.

El atajo de los múltiplos de 7

Cuando un desplazamiento es múltiplo de 7, el día no cambia. Por ejemplo, si hoy es miércoles, dentro de 21 días será miércoles, porque $21 = 7 \cdot 3$.

Si el desplazamiento no es múltiplo de 7, se divide entre 7 y se toma el residuo. El cociente no interesa, solo el residuo.

Ejemplo.
Si hoy es sábado, ¿qué día será dentro de 94 días?

$$94 = 7 \cdot 13 + 3$$

Ignoramos las 13 semanas completas y solo avanzamos 3 días:

$$\text{sábado} + 3 = \text{martes}$$

Por lo tanto, será martes.

Método paso a paso para frases encadenadas

Cuando un problema dice: “Si el ayer del mañana de pasado mañana del día que sigue es viernes, ¿qué día es hoy?” conviene seguir estos pasos:

1. Llamar $H$ al día de hoy.
2. Traducir la frase dada a una expresión $H + k$.
3. Igualar $H + k$ al día conocido y despejar $H$.
4. Traducir la pregunta y reemplazar $H$.

Por ejemplo, supongamos que nos dicen:

“El ayer del mañana de pasado mañana del día que sigue es viernes.”

Traducimos:

• “día que sigue” a hoy: $+1$
• “pasado mañana del día que sigue”: $+2$ más: $+1 + 2 = +3$
• “mañana de eso”: $+1$ más: $+3 + 1 = +4$
• “ayer de eso”: $-1$: $+4 - 1 = +3$

Entonces $H + 3 = \text{viernes}$, luego $H = \text{martes}$. Así, hoy es martes.

Estos ejercicios parecen enredados, pero son puro manejo de signos.

¿Cuántos días trae cada mes?

En el calendario gregoriano que usamos en el Perú y en casi todo el mundo, los meses tienen las siguientes duraciones:

Para recordar qué meses tienen 31 días, se usa la regla de los nudillos: se cierran los puños y se van contando los meses sobre los nudillos y los valles. Los meses que caen en nudillo tienen 31 días; los que caen en valle tienen 30, excepto febrero, que es el mes corto.

Equivalencias en semanas

Es útil expresar la duración de los meses en semanas y días sobrantes:

$$28 = 7 \cdot 4$$

$$29 = 7 \cdot 4 + 1$$

$$30 = 7 \cdot 4 + 2$$

$$31 = 7 \cdot 4 + 3$$

Esto significa que:

• Un mes de 28 días tiene exactamente 4 semanas.
• Un mes de 29 días tiene 4 semanas y 1 día.
• Un mes de 30 días tiene 4 semanas y 2 días.
• Un mes de 31 días tiene 4 semanas y 3 días.

Relación entre el primer día y el último día de un mes

Si un mes tiene $n$ días, entonces del día 1 al día $n$ transcurren $n-1$ días. Por lo tanto, el último día del mes no es el mismo día que el primero, salvo en el caso de un mes de 29 días.

Veamos la relación:

Ejemplo.
Si un mes de 31 días inicia un lunes:

• día 1: lunes
• día 31: miércoles

Porque del día 1 al 31 transcurren 30 días, y $30 = 7 \cdot 4 + 2$. Entonces lunes $+2$ = miércoles.

Si un mes de 30 días inicia un lunes:

• día 1: lunes
• día 30: martes

Porque $30-1 = 29 = 7 \cdot 4 + 1$.

Si febrero tiene 28 días e inicia un lunes:

• día 1: lunes
• día 28: domingo

Porque $28-1 = 27 = 7 \cdot 3 + 6$, es decir, un día antes de lunes.

Si febrero tiene 29 días e inicia un lunes:

• día 1: lunes
• día 29: lunes

Porque $29-1 = 28 = 7 \cdot 4$.

Un mes de 28 días tiene exactamente 4 semanas completas, por lo que todos los días de la semana aparecen exactamente 4 veces.

Un mes de 29 días tiene 4 semanas y 1 día sobrante. Ese día sobrante corresponde al día 1, así que un solo día de la semana aparece 5 veces, y los demás 4.

Un mes de 30 días tiene 4 semanas y 2 días sobrantes. Los días 1 y 2 del mes aparecen 5 veces, y los otros 5 días aparecen 4.

Un mes de 31 días tiene 4 semanas y 3 días sobrantes. Los días 1, 2 y 3 del mes aparecen 5 veces, y los otros 4 días aparecen 4.

Esta es una regla de oro para los problemas de meses:

Ejemplo.
Si en un mes de 31 días hay cinco martes, cinco miércoles y cinco jueves, entonces los días 1, 2 y 3 del mes son martes, miércoles y jueves respectivamente. Por lo tanto, el día 1 fue martes.

A partir de allí se puede calcular cualquier fecha del mes. Esta técnica fue usada en varios problemas reales de admisión.

Aunque el subtema de «Calendarios 1» enfatiza días, semanas y meses, los problemas de admisión con fechas históricas o cumpleaños casi siempre exigen comparar fechas en años distintos. Por eso es imprescindible introducir aquí el comportamiento del año.

Un año común tiene 365 días:

$$365 = 7 \cdot 52 + 1$$

Es decir, 52 semanas y 1 día. Por lo tanto, una misma fecha se desplaza 1 día de la semana al año siguiente.

Un año bisiesto tiene 366 días:

$$366 = 7 \cdot 52 + 2$$

Es decir, 52 semanas y 2 días. Por lo tanto, una fecha se desplaza 2 días de la semana en un año bisiesto.

Reconocimiento de años bisiestos:
Un año es bisiesto si es divisible por 4, con una excepción: los años que terminan en 00 deben ser divisibles por 400 para ser bisiestos.

Ejemplos:

• 2020: las dos últimas cifras son 20, y $20 \div 4 = 5$; es bisiesto.
• 1900: termina en 00, y $1900 \div 400$ no es exacto; no es bisiesto.
• 2000: termina en 00, y $2000 \div 400 = 5$; sí es bisiesto.

Esta regla es muy importante, porque en varios problemas de San Marcos aparece el año 2100, que no es bisiesto.

Desplazamiento de una fecha al pasar de un año a otro

Si comparamos una misma fecha en dos años distintos, el desplazamiento en días de la semana se calcula con la fórmula:

$$\Delta = A + B$$

donde:

• $A$ es el número de años transcurridos.
• $B$ es el número de años bisiestos cuyo 29 de febrero quedó entre las dos fechas.

Luego, se reduce $\Delta$ módulo 7 y se avanza o retrocede ese número de días.

¿Cómo contar $B$ correctamente?
Supongamos que comparamos la misma fecha, por ejemplo un 9 de mayo, entre dos años. Como el 9 de mayo es posterior al 29 de febrero, el 29 de febrero del año inicial ya pasó, así que no influye; en cambio, el 29 de febrero del año final sí influye si el año final es bisiesto. Entonces, para fechas posteriores a febrero, se cuentan los años bisiestos desde el año siguiente al de partida hasta el año de llegada inclusive.

Si la fecha es anterior al 29 de febrero (por ejemplo, un 14 de febrero), el 29 de febrero del año inicial sí influye, y el del año final no. Entonces, para fechas anteriores a marzo, se cuentan los años bisiestos desde el año de partida hasta el año anterior al de llegada.

En la práctica, la mayoría de fechas de los problemas son posteriores a febrero.

Ejemplo.
Si el 9 de mayo de 2028 es martes, ¿qué día será el 9 de mayo de 2104?

Años transcurridos:

$$2104 - 2028 = 76$$

Como la fecha es después de febrero, contamos bisiestos desde 2029 hasta 2104 inclusive. Los años bisiestos en ese rango son:

$$2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092, 2096, 2104$$

Hay que notar que 2100 no es bisiesto. Contando, hay 18 bisiestos.

Entonces:

$$\Delta = 76 + 18 = 94$$

Reducimos módulo 7:

$$94 = 7 \cdot 13 + 3$$

Martes $+3$ = viernes.

Para ir hacia atrás o hacia adelante en el tiempo, conviene fijar un procedimiento ordenado.

Paso 1. Identificar la fecha de referencia y el día que se conoce.
Paso 2. Calcular los años transcurridos $A$.
Paso 3. Contar los años bisiestos $B$ cuyo 29 de febrero está entre las dos fechas, con la regla explicada según la fecha sea antes o después de febrero.
Paso 4. Hallar $\Delta = A + B$ y reducirlo módulo 7.
Paso 5. Si se va hacia el futuro, sumar el residuo al día de referencia; si se va hacia el pasado, restarlo.

Ejemplo de avance.
Si el 12 de octubre de 2021 fue martes, ¿qué día será el 12 de octubre de 2061?

• $A = 2061 - 2021 = 40$
• Como la fecha es posterior a febrero, se cuentan bisiestos desde el año siguiente a 2021 hasta 2061 inclusive.
• Primer bisiesto: 2024; último bisiesto: 2060.
• Número de bisiestos:

$$B = \frac{2060 - 2024}{4} + 1 = 10$$

• $\Delta = 40 + 10 = 50 = 7 \cdot 7 + 1$
• Martes $+1$ = miércoles.

Por lo tanto, el 12 de octubre de 2061 será miércoles.

Ejemplo de retroceso.
Si el 15 de agosto de 2025 fue viernes, ¿qué día fue el 15 de agosto de 1995?

• $A = 2025 - 1995 = 30$
• Fecha posterior a febrero, contamos bisiestos desde 1996 hasta 2025 inclusive.
• Bisiestos: 1996, 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024. Total $B = 8$.
• $\Delta = 30 + 8 = 38 = 7 \cdot 5 + 3$
• Como retrocedemos, viernes $-3$ = martes.

El resultado es martes.

Este método es muy potente y es la base de muchos problemas reales.

El 29 de febrero solo existe en años bisiestos. Si hoy es un 29 de febrero de cierto año bisiesto, el próximo 29 de febrero ocurrirá 4 años después.

Entre dos 29 de febrero consecutivos, ¿cuántos días transcurren?
Son 4 años, de los cuales solo el primero es bisiesto (el siguiente bisiesto es 4 años después, pero su 29 de febrero está al final de ese período). Entonces:

• Años transcurridos: 4
• Bisiestos cuyo 29 de febrero cae entre las dos fechas: 1 (el primero)

$$\Delta = 4 + 1 = 5$$

Es decir, el 29 de febrero se desplaza 5 días en la semana cada 4 años.

Para que vuelva a caer el mismo día, el desplazamiento total debe ser múltiplo de 7. Como cada salto de 4 años suma 5 días, buscamos:

$$5k \text{ sea múltiplo de } 7$$

El menor $k$ es 7, porque $5 \cdot 7 = 35 = 7 \cdot 5$. Por lo tanto, después de $7 \cdot 4 = 28$ años, el 29 de febrero cae el mismo día de la semana.

Esta regla de los 28 años se cumple siempre que no se cruce un año de fin de siglo no bisiesto, como 2100, que rompe la secuencia.

Cuando las dos fechas están en el mismo año, no necesitamos contar bisiestos; solo contamos los días transcurridos entre ambas fechas.

El procedimiento es:

1. Colocar la fecha inicial con su día conocido.
2. Calcular cuántos días faltan para terminar el mes de la fecha inicial.
3. Sumar los días de los meses intermedios completos.
4. Sumar los días transcurridos del mes final hasta la fecha deseada.
5. Reducir el total módulo 7 y desplazar el día.

Ejemplo.
Si el 15 de marzo de 2024 fue viernes, ¿qué día será el 20 de julio del mismo año?

Días transcurridos:

• Del 15 de marzo al 31 de marzo: 16 días
• Abril: 30
• Mayo: 31
• Junio: 30
• Julio: 20

Total:

$$16 + 30 + 31 + 30 + 20 = 127$$

Reducimos:

$$127 = 7 \cdot 18 + 1$$

Viernes $+1$ = sábado.

Por lo tanto, el 20 de julio será sábado.

Atajo con restos de meses.
Como 30 días equivalen a $+2$ días y 31 días a $+3$ días, se puede trabajar solo con los residuos:

• De 15 a 31 de marzo: 16 días = $7 \cdot 2 + 2$, así que $+2$
• Abril: 30 días, $+2$
• Mayo: 31 días, $+3$
• Junio: 30 días, $+2$
• Julio: 20 días, $20 = 7 \cdot 2 + 6$, $+6$

Suma de residuos: $2+2+3+2+6 = 15 = 7 \cdot 2 + 1$, lo que da $+1$. Es el mismo resultado.

Este atajo ahorra grandes multiplicaciones y es muy usado.

Un tipo especial de problemas combina el calendario con secuencias de trabajo, descanso o visitas. La idea central es que una actividad que se repite cada cierto número de días forma un ciclo.

Por ejemplo, si un empleado trabaja 5 días y descansa 3, su ciclo completo es de 8 días. Al iniciar un martes, trabaja martes, miércoles, jueves, viernes y sábado; descansa domingo, lunes y martes; luego repite.

Como el ciclo es de 8 días, y $8 = 7 + 1$, cada ciclo se desplaza un día de la semana. Esto permite predecir en qué días caerán los descansos.

Para resolver estos problemas, se puede seguir el ciclo día a día o usar la aritmética modular. La clave es identificar el período del ciclo y cómo se relaciona con los días de la semana.