Ruedas, poleas y engranajes 2 (poleas con bloques que suben y bajan, puntos que distan en algún)

El primer paso clave es entender qué significa que un bloque suba o baje cuando una polea gira.

Imagina una polea fija de radio $r$, con una cuerda enrollada o colgando de su borde. En el extremo de la cuerda está un bloque.

Cuando la polea gira un ángulo $\theta$, por su borde pasa una cierta longitud de cuerda. Como la cuerda no resbala, esa longitud es exactamente el arco de la polea:

$$d_{\text{bloque}} = r\theta.$$

Si la cuerda se enrolla en la polea, el bloque sube; si se desenrolla, el bloque baja.

En función del número de vueltas:

$$d_{\text{bloque}} = 2\pi r n.$$

Esta fórmula es la base de casi todo el tema: la distancia vertical que se mueve un bloque es igual a la longitud de arco que giró la polea en la que está enrollada su cuerda.

Ejemplo breve

Una polea de radio $10$ cm gira tres cuartos de vuelta. Como $3/4$ de vuelta equivale a

$$n=\frac{3}{4},$$

la longitud de cuerda recogida es

$$2\pi(10)\left(\frac34\right)=15\pi\text{ cm}.$$

Por lo tanto, si la cuerda se enrolla, el bloque sube $15\pi$ cm.

La mayoría de preguntas de admisión no trabajan con una sola polea, sino con sistemas mixtos. En ellos hay que recorrer el sistema paso a paso.

El método general es:

1. Identificar la polea de la que cuelga cada bloque.
2. Convertir el movimiento del bloque conocido en su ángulo de giro: $$\theta = \frac{d_{\text{bloque}}}{r}.$$
3. Transmitir ese ángulo a las demás poleas usando:
   • mismo ángulo, si están en el mismo eje o son concéntricas;
   • igual arco, si están en contacto o unidas por faja;
   • igual número de dientes por ángulo, si son engranajes.
4. Convertir el ángulo obtenido en la otra polea en subida o bajada del otro bloque: $$d_{\text{bloque}} = r\theta.$$

Un caso que debes distinguir

Si dos poleas están unidas por faja o contacto, entonces los arcos girados son iguales:

$$r_A\theta_A = r_B\theta_B.$$

Eso significa que, si ambas cuerdas de los bloques están sobre esas poleas, los desplazamientos de los bloques serán iguales en magnitud.

En cambio, si dos poleas están en el mismo eje, giran el mismo ángulo:

$$\theta_A = \theta_B.$$

Entonces los bloques colgados de ellas se desplazan distancias proporcionales a sus radios:

$$d_A = r_A\theta,\qquad d_B = r_B\theta.$$

Muchas preguntas combinan ambas cosas.

Otro tipo frecuente es el de dos bloques que inicialmente están a cierta altura y, después de que el sistema gira, se pide la diferencia de alturas entre sus centros.

Para resolverlo conviene usar desplazamientos con signo:

• si un bloque sube, su desplazamiento será positivo;
• si baja, será negativo.

Si ambos centros parten de la misma altura, la diferencia final de alturas será:

$$|\Delta h| = |d_Q - d_R|,$$

donde $d_Q$ y $d_R$ son los desplazamientos con signo.

Así, si $Q$ sube $6\pi$ cm y $R$ baja $4\pi$ cm, tomando como positivas las subidas:

$$d_Q = +6\pi,\qquad d_R = -4\pi.$$

Entonces

$$|\Delta h| = |6\pi - (-4\pi)| = 10\pi\text{ cm}.$$

Ese tipo de cálculo es muy común: cuando uno sube y el otro baja, las distancias se suman para hallar la diferencia de alturas.

Si inicialmente los bloques no están a la misma altura, simplemente se agrega esa diferencia inicial:

$$\text{diferencia final} = \left\vert \text{diferencia inicial} + d_Q - d_R \right\vert.$$

Cuando entre las poleas con bloques hay engranajes, la lógica es la misma, solo que en lugar de igualar arcos usando radios, se emplea el número de dientes.

Si un engranaje de $D_A$ dientes gira un ángulo $\theta_A$, la cantidad de dientes que pasan por el contacto es proporcional a

$$D_A \theta_A.$$

Como los dientes encajan sin resbalar, esa cantidad debe ser igual para el engranaje con el que está engranado:

$$D_A\theta_A = D_B\theta_B.$$

Luego, si cada engranaje tiene una polea asociada de radio $r$, la distancia que sube o baja el bloque correspondiente será:

$$d = r\theta.$$

Ejemplo breve

Supongamos que dos engranajes $M$ y $N$ tienen $30$ y $40$ dientes, respectivamente. El bloque $B$ está asociado a una polea de radio $10$ cm y baja $60$ cm.

• Para la polea de $B$: $$60 = 10\theta_N \Rightarrow \theta_N = 6\text{ rad}.$$
• Por engranajes: $$30\theta_M = 40(6) \Rightarrow \theta_M = 8\text{ rad}.$$
• Si el bloque $A$ está asociado a una polea de radio $4$ cm, entonces: $$d_A = 4(8) = 32\text{ cm}.$$

Así se combina la relación de engranajes con la fórmula de bloque.

También hay preguntas en las que no se preguntan bloques, sino la altura de un punto marcado sobre la polea respecto del piso.

Un caso típico es este:

• Una polea de radio $r$ tiene su centro a una altura $H$ del piso.
• Un punto $P$ está inicialmente en la parte más baja de la polea.
• La polea gira un ángulo $\theta$ y se pregunta a qué altura queda $P$.

Si medimos el ángulo $\theta$ desde la posición más baja, la altura de $P$ sobre el piso es:

$$y = H - r\cos\theta.$$

Esto se interpreta así:

• Para $\theta = 0$, el punto sigue abajo: $$y = H - r.$$
• Para $\theta = \pi$, el punto queda arriba: $$y = H + r.$$
• Para $\theta = \frac{\pi}{2}$, el punto queda a la altura del centro: $$y = H.$$

Si en el problema la posición inicial no es la parte más baja, se cambia la referencia.

Ejemplo breve

Una polea de radio $4$ cm tiene su centro a $14$ cm del piso. El punto $P$ está inicialmente en la parte más baja. Si se desea que $P$ quede a $16$ cm del piso:

$$16 = 14 - 4\cos\theta$$

$$4\cos\theta = -2$$

$$\cos\theta = -\frac12.$$

El menor ángulo positivo que cumple eso es

$$\theta = \frac{2\pi}{3}.$$

Como una vuelta completa es $2\pi$, el número de vueltas es

$$n = \frac{2\pi/3}{2\pi} = \frac13.$$

Por lo tanto, basta un tercio de vuelta.

Algunas preguntas de admisión son más abstractas: se marcan puntos sobre las poleas y se pregunta cuántas vueltas debe dar una polea para que ciertos puntos queden en las posiciones iniciales de otros.

La idea es de coincidencia periódica.

Supongamos que en una polea están marcados dos puntos $P$ y $S$. Ambos giran con la polea. Si queremos que $P$ quede, en el espacio, donde inicialmente estaba $S$, la polea debe girar el ángulo que separa inicialmente a $P$ de $S$, más un número entero de vueltas completas.

En vueltas:

$$n_{\text{polea}} \equiv \alpha_{P\to S} \pmod{1},$$

donde $\alpha_{P\to S}$ es la separación angular inicial entre $P$ y $S$, expresada como fracción de vuelta, en el sentido de giro.

Cuando hay dos poleas conectadas, se plantea una congruencia para cada punto y luego se relacionan las vueltas de ambas poleas mediante la transmisión.

Esquema general

Para dos poleas $A$ y $B$ unidas por faja directa:

$$r_A n_A = r_B n_B.$$

Además, si los puntos $P$ y $S$ están en $A$, y los puntos $Q$ y $T$ están en $B$, se debe cumplir simultáneamente:

$$n_A \equiv \alpha_A \pmod{1},$$

$$n_B \equiv \alpha_B \pmod{1}.$$

Se sustituye la relación de transmisión y se resuelve la congruencia.

Lo importante es que las vueltas no necesariamente son enteras: una polea puede dar $7.5$ vueltas o $6.75$ vueltas.

Otro grupo de preguntas, como la de la lámina cuadrada que rueda sobre un hexágono, ya no trata de poleas con bloques, sino de un punto que pertenece a una figura que gira sin resbalar.

La idea clave es esta:

Cuando una figura rueda sin deslizarse apoyándose en un vértice, ese vértice de apoyo actúa momentáneamente como centro de giro. Por lo tanto, los demás puntos de la figura describen arcos de circunferencia.

En el caso de un cuadrado de lado $a$:

• Si gira alrededor de uno de sus vértices, un vértice adyacente describe un cuarto de circunferencia de radio $a$.
• El vértice opuesto describe un cuarto de circunferencia de radio $a\sqrt{2}$, que es la diagonal del cuadrado.
• El vértice que sirve de apoyo no se mueve durante ese giro.

Entonces, para hallar la longitud recorrida por un punto $P$, se debe descomponer todo el movimiento en giros. En cada giro se identifica:

1. cuál es el centro de giro, es decir, el vértice de apoyo;
2. cuál es la distancia desde ese centro hasta $P$;
3. cuál es el ángulo girado, usualmente $90^\circ$ o $\frac{\pi}{2}$ en un cuadrado.

La longitud de cada arco será:

$$L_{\text{arco}} = r_{\text{giro}} \cdot \frac{\pi}{2}.$$

Finalmente se suman todos los arcos.

Ejemplo breve

Un cuadrado de lado $6$ cm gira $90^\circ$ alrededor de su vértice $A$. Si $P$ es el vértice opuesto a $A$, entonces la distancia de $A$ a $P$ es la diagonal:

$$AP = 6\sqrt{2}\text{ cm}.$$

En el giro de $90^\circ$, el punto $P$ recorre:

$$L = (6\sqrt{2})\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\pi\sqrt{2}\text{ cm}.$$

Si en otro tramo $P$ es el vértice de apoyo, entonces en ese giro $P$ no recorre longitud.