Situaciones sobre edades

Casi todos los problemas de edades tienen tres elementos:

1. Sujetos: las personas cuyas edades intervienen.
2. Tiempos: el pasado, el presente o el futuro en que se ubica cada edad.
3. Condiciones: las relaciones entre edades en distintos tiempos.

Por ejemplo, en la frase:

“Cuando yo tenía lo que tú tienes, tú tenías 10 años”

los sujetos son “yo” y “tú”; los tiempos son el pasado y el presente; y la condición es la relación entre las edades.

La clave para resolver estos problemas es organizar la información en un cuadro de doble entrada, donde las filas son los sujetos y las columnas son los tiempos. A partir de ese cuadro se plantean las ecuaciones.

Cuando interviene una sola persona, conviene trabajar con una línea de tiempo simple.

Si la edad actual de una persona es $E$:

• Hace $m$ años tenía $E-m$.
• Dentro de $n$ años tendrá $E+n$.

Esquema:

$$\text{Edad actual: } E$$

$$\begin{array}{ccc} \text{Pasado} & \text{Presente} & \text{Futuro} \\ E-m & E & E+n \end{array}$$

Además, entre “hace $m$ años” y “dentro de $n$ años” transcurren $m+n$ años.

Ejemplo breve:

Si la edad actual de una persona es $E$, dentro de 12 años tendrá $E+12$ y hace 5 años tenía $E-5$. Si se dice que la edad futura es el doble de la pasada, se plantea:

$$E+12 = 2(E-5)$$

y se resuelve.

2.1 “Si hubiera nacido $x$ años antes o después”

Este tipo de condiciones suele aparecer en problemas de un solo sujeto y conviene entenderlo bien:

• Si una persona tiene actualmente $E$ años y hubiera nacido $x$ años antes, habría vivido $x$ años más de lo que ha vivido, por lo que tendría $E+x$ años.
• Si hubiera nacido $x$ años después, habría vivido $x$ años menos, por lo que tendría $E-x$ años.

Esto es contraintuitivo, pero se explica fácil: nacer antes significa ser mayor ahora; nacer después significa ser menor ahora.

Ejemplo breve:

Si Joaquín hubiera nacido 4 años antes, tendría el doble de la edad que tendría si hubiera nacido 6 años después. ¿Qué edad tiene?

Sea $E$ su edad actual.

Si hubiera nacido 4 años antes: $E+4$.

Si hubiera nacido 6 años después: $E-6$.

Planteamos:

$$E+4 = 2(E-6)$$

$$E+4 = 2E - 12$$

$$E = 16$$

Luego, Joaquín tiene 16 años.

Cuando intervienen dos o más personas, lo más recomendable es usar un cuadro como este:

$$\begin{array}{c|ccc} & \text{Pasado} & \text{Presente} & \text{Futuro} \\ \hline \text{Persona A} & & & \\ \text{Persona B} & & & \\ \end{array}$$

Cada celda se va llenando con expresiones algebraicas que representan las edades.

3.1 La diferencia de edades es constante

Esta es la propiedad más importante de todo el tema:

La diferencia de edades entre dos personas no cambia con el paso del tiempo.

Si una persona tiene 30 años y otra 20, la diferencia es 10. Hace 7 años tenían 23 y 13; la diferencia sigue siendo 10. Dentro de 15 años tendrán 45 y 35; la diferencia continúa siendo 10.

Esta propiedad permite igualar diferencias entre distintas columnas del cuadro.

Ejemplo breve:

Si en el presente dos personas tienen edades $A$ y $B$, con $A>B$, la diferencia es $A-B$. Si retrocedemos $t$ años, sus edades serán $A-t$ y $B-t$. La nueva diferencia será:

$$(A-t)-(B-t)=A-B$$

Es decir, la misma.

3.2 Suma en aspa

De la propiedad anterior se deduce un atajo muy útil en tablas de dos sujetos.

Supongamos que tenemos dos personas y dos tiempos:

$$\begin{array}{c|c|c} & \text{Tiempo 1} & \text{Tiempo 2} \\ \hline \text{Persona A} & a & b \\ \text{Persona B} & c & d \end{array}$$

Como la diferencia de edades es constante, se cumple:

$$a-c = b-d$$

Reordenando:

$$a+d = b+c$$

Es decir, las sumas en aspa son iguales.

Esto significa que, en una tabla de edades, se puede igualar $a+d$ con $b+c$. Este atajo evita plantear sistemas extensos.

Ejemplo breve:

En una tabla se tiene:

$$\begin{array}{c|cc} & \text{Presente} & \text{Futuro} \\ \hline \text{Ana} & 7k & 7k \\ \text{Lía} & 5k & 36 \end{array}$$

Aplicando suma en aspa:

$$7k+7k = 5k+36$$

lo que permite despejar $k$.

3.3 Problemas con relaciones presentes y futuras

Un tipo de pregunta muy común es aquel en el que se da una relación actual y otra relación dentro de algunos años.

Ejemplo breve:

La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. Dentro de 10 años será el doble. ¿Cuántos años tiene el padre?

Si hoy el hijo tiene $x$ años, el padre tiene $3x$. Dentro de 10 años:

$$3x+10 = 2(x+10)$$

$$3x+10 = 2x+20$$

$$x=10$$

Por lo tanto, el padre tiene $30$ años.

3.4 Problemas con “hace $x$ años” y “dentro de $x$ años”

Cuando se dan edades en dos momentos simétricos respecto del presente, hay que recordar que entre “hace $x$ años” y “dentro de $x$ años” transcurren $2x$ años.

Ejemplo breve:

Si hace $x$ años una persona tenía 10 años y dentro de $x$ años tendrá 30, entonces:

$$30 - 10 = 2x$$

$$20=2x$$

$$x=10$$

Luego, su edad actual es $10+x=20$ años.

3.5 Problemas con “cuando yo tenía la edad que tú tienes”

Este es uno de los tipos más confusos para muchos estudiantes, pero con la diferencia constante se resuelve de forma mecánica.

Sean dos personas $A$ y $B$, con $A > B$. La diferencia de edades es:

$$d = A - B$$

• Si hablamos de un pasado en el que $A$ tenía la edad actual de $B$, entonces retrocedemos $d$ años.
• En ese momento, $B$ tenía $B-d$ años, es decir:

$$B-d = B-(A-B) = 2B - A$$

• Si hablamos de un futuro en el que $B$ tendrá la edad actual de $A$, entonces avanzamos $d$ años.
• En ese momento, $A$ tendrá $A+d$ años, es decir:

$$A+d = A+(A-B) = 2A - B$$

Por lo tanto, en este tipo de frases no se debe inventar una edad incógnita para cada momento: todo puede expresarse en términos de las edades actuales y de la diferencia entre ellas.

Ejemplo breve:

Jorge le dice a Raúl: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes”.

Si las edades actuales son $J$ y $R$, con $J>R$, cuando Jorge tenía $R$, Raúl tenía $2R-J$. La condición se traduce como:

$$J = 2(2R-J)$$

y a partir de allí se resuelve.

3.6 Edades actuales con relaciones inmediatas

No todos los problemas de edades exigen moverse por el tiempo. Algunos solo plantean relaciones entre edades actuales, pero entre tres o más personas. En esos casos se traduce directamente a un sistema de ecuaciones.

Ejemplo breve:

La edad de Pedro es seis veces la de Ana. Luis y Ana tienen juntos 20 años, y Luis tiene el doble de la edad de Ana más 2 años. ¿Cuántos años tiene Pedro?

Si la edad de Ana es $a$, entonces Luis tiene $2a+2$, y entre Luis y Ana suman 20:

$$(2a+2)+a=20$$

$$3a+2=20$$

$$a=6$$

Por lo tanto, Pedro tiene $6a=36$ años.

Un segundo bloque importante son los problemas en los que se relaciona la edad de una persona con su año de nacimiento.

La relación básica es:

$$\text{Edad en un año } Y = Y - \text{año de nacimiento}$$

Esto es válido si la persona ya cumplió años en el año $Y$. En la mayoría de problemas de admisión se asume que ya los cumplió, salvo que se indique lo contrario.

Si el año de nacimiento es de la forma $19ab$, entonces se escribe como:

$$1900 + 10a + b$$

donde $a$ y $b$ son dígitos.

Un planteo típico es:

En el año 2000, la edad de una persona era igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento.

Si nació en $19ab$, su edad en 2000 fue:

$$2000 - (1900+10a+b) = 100 - 10a - b$$

La suma de las cifras de $19ab$ es:

$$1+9+a+b = 10+a+b$$

Igualamos:

$$100-10a-b = 10+a+b$$

y se obtiene una ecuación con dígitos que se resuelve probando valores admisibles o despejando.

Pauta general para estos problemas:

1. Escribe el año de nacimiento como $19ab$.
2. Usa la fórmula de edad en un año dado.
3. Traduce la condición sobre la suma de cifras, el producto de cifras, etc.
4. Resuelve la ecuación considerando que $a$ y $b$ son dígitos del 0 al 9, con $a\neq 0$.

En muchos problemas intervienen padres, hijos, madres, abuelos, nietos, etc. La idea central es la siguiente:

Cuando nace una persona, la edad que tenía su padre o su madre en ese momento se convierte en la diferencia de edades entre ambos, y esa diferencia se mantiene constante para siempre.

Por ejemplo, si un padre tenía 26 años cuando nació su hija, entonces el padre siempre será 26 años mayor que ella. Si hoy la hija tiene $x$ años, el padre tiene $x+26$.

Esta idea simple permite encadenar varias generaciones.

Ejemplo breve:

Cuando nació Rodrigo, su padre tenía 30 años. Hoy el padre tiene 42 años. ¿Cuántos años tiene Rodrigo?

Como la diferencia es 30, Rodrigo tiene:

$$42-30=12 \text{ años}$$

Cuando hay madres, padres e hijos, conviene definir una sola variable y expresar todas las edades en función de las diferencias dadas.

5.1 ¿Cómo cambia la suma de edades con los años?

Un dato muy útil en problemas generacionales es que la suma de las edades de un grupo no permanece constante con el paso del tiempo.

Si un grupo tiene $n$ personas, al transcurrir $t$ años cada persona suma $t$ años, por lo que la suma de edades aumenta $nt$ años.

Ejemplo breve:

Si hoy la suma de las edades de un padre y su hijo es 40, dentro de 5 años la suma será:

$$40+2(5)=50$$

porque hay dos personas y cada una suma 5 años.

Aunque menos frecuente, en admisión también se ha preguntado por el promedio de edades de un grupo.

La fórmula básica es:

$$\bar{E} = \frac{\text{suma de edades}}{\text{número de personas}}$$

Cuando se conoce el promedio de un grupo, la suma de edades se obtiene multiplicando:

$$\text{suma} = \text{promedio} \times \text{número de personas}$$

Para un promedio ponderado entre dos grupos:

$$\bar{E}_{\text{total}} = \frac{n_1 \bar{E}_1 + n_2 \bar{E}_2}{n_1+n_2}$$

Ejemplo breve:

Un grupo tiene 30 mujeres con edad promedio 40 años y 20 varones con edad promedio 50 años. El promedio general es:

$$\frac{30(40)+20(50)}{50} = \frac{1200+1000}{50} = \frac{2200}{50} = 44$$

Algunos problemas de examen relacionan la edad de una persona con el cuadrado de la edad de otra. Son más algebraicos, pero siguen el mismo principio: traducir con precisión.

Puntos claves:

• “La edad de $A$ es mayor en 12 años que el cuadrado de la edad de $B$” se escribe:

$$A = B^2 + 12$$

No se debe escribir $A = (B+12)^2$.

• “La edad de $A$ es menor en 4 años que el cuadrado de la edad de $B$” se escribe:

$$A = B^2 - 4$$

• Si la comparación se hace en el futuro, ambos sujetos envejecen. Si “dentro de 5 años”, por ejemplo, se convierte en:

$$A+5 = (B+5)^2 - 4$$

En estos problemas suele ocurrir que el $B^2$ se cancela al igualar, quedando una ecuación lineal.

Ejemplo breve:

La edad actual de Hugo es mayor en 13 años que el cuadrado de la edad de su sobrino. Dentro de 3 años, la edad de Hugo será menor en 5 años que el cuadrado de la edad que tendrá su sobrino. ¿Cuántos años tiene Hugo?

Sea $s$ la edad actual del sobrino. Entonces Hugo tiene $s^2+13$.

Dentro de 3 años:

$$(s^2+13)+3 = (s+3)^2 - 5$$

$$s^2+16 = s^2+6s+9-5$$

$$s^2+16 = s^2+6s+4$$

$$16=6s+4$$

$$6s=12$$

$$s=2$$

Hugo tiene $2^2+13=17$ años.

Aunque cada problema tiene su particularidad, conviene seguir un procedimiento ordenado:

1. Identifica los sujetos y los tiempos. Subraya en el enunciado palabras como “hace”, “dentro de”, “actualmente”, “cuando yo tenía”, “cuando tú tengas”.
2. Representa la información en un cuadro o línea de tiempo. Si hay varias personas, usa filas para los sujetos y columnas para pasado, presente y futuro.
3. Elige variables con sentido. Por lo general, conviene llamar $x$ a la edad actual de uno de los sujetos y expresar las demás edades en función de $x$ usando relaciones o diferencias constantes.
4. Aplica las propiedades básicas. La diferencia de edades es constante; la suma de edades cambia en $nt$; en dos tiempos, las sumas en aspa son iguales.
5. Plantea las ecuaciones. Traduce cada condición del enunciado.
6. Resuelve y verifica. Comprueba que las edades obtenidas sean enteras y que cumplan todas las condiciones.
7. Contesta lo que se pide. No te quedes con una incógnita intermedia si la pregunta es otra.