Interpretación de la información 1 (ecuaciones lineales con una variable)

Plantear una ecuación consiste en leer, comprender e interpretar un enunciado para expresarlo en símbolos matemáticos.

El proceso básico es:

Enunciado en lenguaje literal → expresión matemática → ecuación

Para lograrlo, hay que reconocer palabras clave.

1.1. Palabras que indican igualdad

Las siguientes expresiones suelen funcionar como el signo $=$:

• es
• será
• son
• tiene
• tendrá
• equivale a
• resulta
• se obtiene
• nos da
• tanto como

Ejemplo:

“El triple de un número es 36”

se traduce como:

$$3x=36$$

1.2. Traducciones frecuentes

La idea no es memorizar frases sueltas, sino entender qué relación numérica expresan.

Una ecuación lineal con una variable tiene la forma:

$$ax+b=cx+d$$

donde $a,b,c,d$ son números racionales y $a\neq c$ si queremos una solución única.

Método para resolverla

1. Agrupa los términos con $x$ en un lado.
2. Agrupa los términos numéricos en el otro.
3. Despeja $x$.

Ejemplo:

$$5x-3=2x+9$$

Restamos $2x$:

$$3x-3=9$$

Sumamos 3:

$$3x=12$$

Dividimos entre 3:

$$x=4$$

Comprobamos:

$$5(4)-3=20-3=17$$

$$2(4)+9=8+9=17$$

La solución es correcta.

Para resolver problemas de admisión, conviene seguir un procedimiento fijo.

Paso 1: Lee el problema dos veces

En la primera lectura identifica la situación general. En la segunda, subraya datos y preguntas.

Paso 2: Identifica la incógnita

Pregúntate: ¿qué me pide hallar? ¿Qué cantidad puedo llamar $x$?

Paso 3: Elige una variable conveniente

No siempre conviene llamar $x$ a lo que piden. A veces conviene llamar $x$ a una cantidad que esté en la base de las relaciones.

Ejemplo:

Si “A es el doble de B”, conviene:

$$B=x,\quad A=2x$$

antes que:

$$A=x,\quad B=\frac{x}{2}$$

para evitar fracciones.

Paso 4: Construye un “diccionario” de cantidades

Representa todas las cantidades del problema en función de $x$.

Paso 5: Encuentra la igualdad

Busca dos expresiones que representen lo mismo o una condición numérica que relacione las expresiones.

Paso 6: Resuelve la ecuación

Aplica las transformaciones para despejar.

Paso 7: Verifica y responde lo pedido

No basta hallar $x$: responde exactamente lo que pide el problema.

Ejemplo rápido:

En una tienda hay 120 prendas entre casacas y pantalones. El número de casacas es la cuarta parte del número de pantalones más 20. ¿Cuántas casacas hay?

Sea $x$ el número de pantalones.

Entonces:

$$\text{casacas}=\frac{x}{4}+20$$

La suma es 120:

$$x+\frac{x}{4}+20=120$$

$$\frac{5x}{4}=100$$

$$5x=400$$

$$x=80$$

Pantalones: 80.

Casacas:

$$\frac{80}{4}+20=20+20=40$$

La respuesta es 40.

5.1. Repartos, “sobran” y “faltan”

Muchos problemas hablan de repartir objetos entre personas, mesas o cajas.

La idea general es:

$$\text{Total} = (\text{número de grupos})\times(\text{unidades por grupo}) + \text{sobrante}$$

o

$$\text{Total} = (\text{número de grupos})\times(\text{unidades por grupo}) - \text{faltante}$$

Ejemplo:

Se reparten folletos entre varios módulos. Si se entregan 9 a cada uno, sobran 11; si se entregan 11 a cada uno, faltan 5.

Sea $n$ el número de módulos.

Primera situación:

$$\text{Total}=9n+11$$

Segunda situación:

$$\text{Total}=11n-5$$

Como el total es el mismo:

$$9n+11=11n-5$$

$$16=2n$$

$$n=8$$

Total:

$$9(8)+11=72+11=83$$

Verificamos con la otra expresión:

$$11(8)-5=88-5=83$$

5.2. Partes de un todo y restos sucesivos

Otro tipo muy común es el de fracciones de una cantidad.

Si una cantidad total es $T$:

• la mitad es $\frac{1}{2}T$;
• la tercera parte es $\frac{1}{3}T$;
• las $\frac{a}{b}$ partes son $\frac{a}{b}T$.

Cuando hay gastos o tramos sucesivos, la clave es identificar sobre qué cantidad se aplica cada fracción.

Ejemplo:

Gasto $\frac{1}{3}$ de mi dinero. Luego gasto $\frac{1}{4}$ del resto. Después gasto $\frac{2}{5}$ del nuevo resto. Si me quedan 60 soles, ¿cuánto tenía?

Sea $x$ lo que tenía.

Gasto $\frac{1}{3}x$, queda:

$$x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x$$

Luego gasto $\frac{1}{4}$ de ese resto:

$$\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}x=\frac{1}{6}x$$

Queda:

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}x=\frac{1}{2}x$$

Después gasto $\frac{2}{5}$ del nuevo resto:

$$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}x=\frac{1}{5}x$$

Queda:

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{5}x=\frac{3}{10}x$$

Entonces:

$$\frac{3}{10}x=60$$

$$x=200$$

Atajo con restos sucesivos

Si después de varios gastos o tramos se conoce el final, se puede multiplicar directamente por los complementos de las fracciones.

En el ejemplo anterior:

$$\left(1-\frac{1}{3}\right) \left(1-\frac{1}{4}\right) \left(1-\frac{2}{5}\right)x=60$$

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{5}x=60$$

$$\frac{3}{10}x=60$$

$$x=200$$

Este método es muy útil cuando las fracciones se aplican siempre al resto.

5.3. Medicamentos, intervalos y conteo de tomas

Este es un tipo de problema que ha aparecido varias veces en San Marcos.

Caso 1: un solo medicamento

La idea clave es que la primera toma ocurre en el instante inicial.

Si se realizan $n$ tomas y cada una está separada por un intervalo de $h$ horas, el tiempo desde la primera toma hasta la última toma no es $n h$, sino:

$$T=(n-1)h$$

¿Por qué? Porque entre la primera y la segunda toma hay un intervalo; entre la primera y la tercera hay dos; entre la primera y la $n$-ésima, hay $n-1$.

Ejemplo:

Un paciente debe tomar 4 pastillas cada 6 horas. Si inicia a las 8 a. m. y su caja contiene 40 pastillas, ¿a qué hora tomará la última?

Número de tomas:

$$n=\frac{40}{4}=10$$

Tiempo:

$$T=(10-1)6=54\text{ horas}$$

Desde las 8 a. m., la última toma será 54 horas después: 2 días y 6 horas; es decir, a las 2 p. m. dos días después.

Caso 2: dos medicamentos con distinto intervalo

Aquí conviene razonar con el número de tomas de cada tipo.

Si un medicamento A se toma cada $h_A$ horas y el B cada $h_B$ horas, y ambos inician al mismo tiempo, entonces, después de $T$ horas, el número de tomas realizadas de A es:

$$\left\lfloor \frac{T}{h_A} \right\rfloor + 1$$

y de B:

$$\left\lfloor \frac{T}{h_B} \right\rfloor + 1$$

La función $\lfloor \ \rfloor$ es la “parte entera”: redondea hacia abajo.

En la práctica, para el examen puedes avanzar probando los tiempos en que ocurren tomas.

Ejemplo breve:

A: 2 pastillas cada 6 horas.
B: 3 pastillas cada 10 horas.
Inicia con ambos. ¿Cuándo habrá tomado exactamente 55 pastillas?

Hacemos un conteo por tramos:

• Hasta $t=78$ horas:

  • A: $\frac{78}{6}+1=14$ tomas → $14\cdot 2=28$ pastillas.
  • B: $\frac{78}{10}+1=8$ tomas → $8\cdot 3=24$ pastillas.
  • Total: $28+24=52$ pastillas.

• En $t=80$ horas:

  • A sigue con 14 tomas.
  • B ahora tiene 9 tomas.
  • Total: $28+27=55$ pastillas.

Entonces la respuesta sería 80 horas.

5.4. Relaciones entre cantidades: proporciones y “por cada”

Muchos problemas usan expresiones de proporción.

“Por cada 3 pavos hay 5 patos”

Se puede representar así:

$$\text{pavos}=3k,\quad \text{patos}=5k$$

donde $k$ es una constante de proporcionalidad.

La ventaja es que al sumar:

$$3k+5k=8k$$

se obtiene el total.

Ejemplo:

En una granja, por cada 3 pavos hay 5 patos. Si hay 176 animales en total, ¿cuántos patos hay?

$$3k+5k=176$$

$$8k=176$$

$$k=22$$

Patos:

$$5k=5(22)=110$$

También son útiles las formas:

• “A es a B como 3 es a 5”:

$$A=3k,\quad B=5k$$

• “tres números consecutivos”:

$$x,\ x+1,\ x+2$$

• “tres números pares consecutivos”:

$$x,\ x+2,\ x+4$$

con $x$ par.

5.5. Promedios

El promedio de $n$ cantidades es:

$$\text{promedio} = \frac{\text{suma de las cantidades}}{n}$$

De aquí se deduce:

$$\text{suma} = \text{promedio} \times n$$

Esta relación es muy útil cuando se cambia un dato.

Ejemplo:

El promedio de 20 estudiantes es 15. Si uno de ellos se retira y su reemplazo tiene 10 puntos más, ¿cuánto aumenta el promedio?

La suma inicial es:

$$20\cdot 15=300$$

Al aumentar 10 puntos en el nuevo total:

$$\text{nueva suma}=310$$

El nuevo promedio es:

$$\frac{310}{20}=15,5$$

Aumentó $0,5$ puntos.

En general, si hay $n$ datos y uno de ellos aumenta en $k$, el promedio aumenta en:

$$\frac{k}{n}$$

5.6. Porcentajes

Un tanto por ciento es una fracción con denominador 100.

$$a\% = \frac{a}{100}$$

Para calcular el $a\%$ de una cantidad $N$:

$$a\% \text{ de } N = \frac{a}{100}N$$

Equivalencias útiles:

Para aumentos y descuentos:

• Aumentar $a\%$:

$$N \to N\left(1+\frac{a}{100}\right)$$

• Disminuir $a\%$:

$$N \to N\left(1-\frac{a}{100}\right)$$

Los descuentos sucesivos no se suman: se aplican como factores.

Ejemplo:

Un producto tiene 20% de descuento y luego 10% de descuento. El factor final es:

$$(1-0{,}20)(1-0{,}10)=0{,}80\cdot 0{,}90=0{,}72$$

Es decir, el descuento total equivale a:

$$1-0{,}72=0{,}28=28\%$$

5.7. Mezclas y concentraciones

En problemas de soluciones, la concentración suele expresarse como:

$$\text{concentración} = \frac{\text{cantidad de sustancia activa}}{\text{volumen total}}$$

Si agregamos $x$ mililitros de sustancia activa a una solución, el nuevo volumen total también aumenta en $x$.

Ejemplo:

Se tienen 15 mL de solución al 30% de un principio activo. ¿Cuántos mL de principio activo puro se deben agregar para que la concentración sea 50%?

Sea $x$ la cantidad agregada.

Sustancia activa inicial:

$$30\% \cdot 15 = 4{,}5\text{ mL}$$

Nueva sustancia activa:

$$4{,}5+x$$

Nuevo volumen total:

$$15+x$$

La nueva concentración debe ser 50%:

$$\frac{4{,}5+x}{15+x}=0{,}50$$

Multiplicando en aspa:

$$4{,}5+x=7{,}5+0{,}5x$$

$$0{,}5x=3$$

$$x=6$$

No siempre el enunciado dice “es igual a”. A veces aparecen condiciones como:

• “más de” → $>$
• “menos de” → $<$
• “como mínimo” → $\ge$
• “como máximo” → $\le$

En esos casos se plantea una desigualdad lineal.

Ejemplo:

El costo de cada entrada es $x$ soles. Si un grupo paga más de 32 soles por 4 entradas, y menos de 60 soles por 7 entradas, ¿qué valores enteros puede tomar $x$?

Primera condición:

$$4x>32$$

$$x>8$$

Segunda condición:

$$7x<60$$

$$x<\frac{60}{7}$$

$$x<8{,}57$$

No hay entero mayor que 8 y menor que 8,57. Este ejemplo muestra que no basta traducir: hay que verificar la coherencia.

En los problemas reales suele haber una sola solución aceptable.

7.1. Elegir bien la variable

Siempre que sea posible, asigna $x$ a la cantidad de la que dependen las demás.

Ejemplo:

A tiene el doble de lo que tiene B.

Conviene:

$$B=x,\quad A=2x$$

Mejor que:

$$A=x,\quad B=\frac{x}{2}$$

Porque evita fracciones innecesarias.

7.2. En restos sucesivos, multiplica complementos

Si se conoce lo que queda después de varias fracciones, multiplica directamente:

$$\text{fracción final} = \left(1-\frac{a}{b}\right)\left(1-\frac{c}{d}\right)\cdots$$

Esto puede ahorrar varios pasos.

7.3. En repartos, iguala el total

Si hay dos formas de repartir la misma cantidad, iguala las expresiones del total:

$$\text{total en forma 1} = \text{total en forma 2}$$

7.4. En medicamentos, no olvides la primera toma

Recuerda:

$$T=(n-1)h$$

cuando se cuenta la primera toma en el instante inicial.

7.5. Si tienes alternativas, úsalas

En un examen de opción múltiple, probar alternativas puede ser más rápido si el despeje es engorroso. Pero conviene plantear primero para saber qué es lo que se va a verificar.

Plantear una ecuación consiste en leer, comprender e interpretar un enunciado para expresarlo en símbolos matemáticos.

El proceso básico es:

Enunciado en lenguaje literal → expresión matemática → ecuación

Para lograrlo, hay que reconocer palabras clave.

1.1. Palabras que indican igualdad

Las siguientes expresiones suelen funcionar como el signo $=$:

• es
• será
• son
• tiene
• tendrá
• equivale a
• resulta
• se obtiene
• nos da
• tanto como

Ejemplo:

“El triple de un número es 36”

se traduce como:

$$3x=36$$

1.2. Traducciones frecuentes

La idea no es memorizar frases sueltas, sino entender qué relación numérica expresan.

Una ecuación lineal con una variable tiene la forma:

$$ax+b=cx+d$$

donde $a,b,c,d$ son números racionales y $a\neq c$ si queremos una solución única.

Método para resolverla

1. Agrupa los términos con $x$ en un lado.
2. Agrupa los términos numéricos en el otro.
3. Despeja $x$.

Ejemplo:

$$5x-3=2x+9$$

Restamos $2x$:

$$3x-3=9$$

Sumamos 3:

$$3x=12$$

Dividimos entre 3:

$$x=4$$

Comprobamos:

$$5(4)-3=20-3=17$$

$$2(4)+9=8+9=17$$

La solución es correcta.

Para resolver problemas de admisión, conviene seguir un procedimiento fijo.

Paso 1: Lee el problema dos veces

En la primera lectura identifica la situación general. En la segunda, subraya datos y preguntas.

Paso 2: Identifica la incógnita

Pregúntate: ¿qué me pide hallar? ¿Qué cantidad puedo llamar $x$?

Paso 3: Elige una variable conveniente

No siempre conviene llamar $x$ a lo que piden. A veces conviene llamar $x$ a una cantidad que esté en la base de las relaciones.

Ejemplo:

Si “A es el doble de B”, conviene:

$$B=x,\quad A=2x$$

antes que:

$$A=x,\quad B=\frac{x}{2}$$

para evitar fracciones.

Paso 4: Construye un “diccionario” de cantidades

Representa todas las cantidades del problema en función de $x$.

Paso 5: Encuentra la igualdad

Busca dos expresiones que representen lo mismo o una condición numérica que relacione las expresiones.

Paso 6: Resuelve la ecuación

Aplica las transformaciones para despejar.

Paso 7: Verifica y responde lo pedido

No basta hallar $x$: responde exactamente lo que pide el problema.

Ejemplo rápido:

En una tienda hay 120 prendas entre casacas y pantalones. El número de casacas es la cuarta parte del número de pantalones más 20. ¿Cuántas casacas hay?

Sea $x$ el número de pantalones.

Entonces:

$$\text{casacas}=\frac{x}{4}+20$$

La suma es 120:

$$x+\frac{x}{4}+20=120$$

$$\frac{5x}{4}=100$$

$$5x=400$$

$$x=80$$

Pantalones: 80.

Casacas:

$$\frac{80}{4}+20=20+20=40$$

La respuesta es 40.

5.1. Repartos, “sobran” y “faltan”

Muchos problemas hablan de repartir objetos entre personas, mesas o cajas.

La idea general es:

$$\text{Total} = (\text{número de grupos})\times(\text{unidades por grupo}) + \text{sobrante}$$

o

$$\text{Total} = (\text{número de grupos})\times(\text{unidades por grupo}) - \text{faltante}$$

Ejemplo:

Se reparten folletos entre varios módulos. Si se entregan 9 a cada uno, sobran 11; si se entregan 11 a cada uno, faltan 5.

Sea $n$ el número de módulos.

Primera situación:

$$\text{Total}=9n+11$$

Segunda situación:

$$\text{Total}=11n-5$$

Como el total es el mismo:

$$9n+11=11n-5$$

$$16=2n$$

$$n=8$$

Total:

$$9(8)+11=72+11=83$$

Verificamos con la otra expresión:

$$11(8)-5=88-5=83$$

5.2. Partes de un todo y restos sucesivos

Otro tipo muy común es el de fracciones de una cantidad.

Si una cantidad total es $T$:

• la mitad es $\frac{1}{2}T$;
• la tercera parte es $\frac{1}{3}T$;
• las $\frac{a}{b}$ partes son $\frac{a}{b}T$.

Cuando hay gastos o tramos sucesivos, la clave es identificar sobre qué cantidad se aplica cada fracción.

Ejemplo:

Gasto $\frac{1}{3}$ de mi dinero. Luego gasto $\frac{1}{4}$ del resto. Después gasto $\frac{2}{5}$ del nuevo resto. Si me quedan 60 soles, ¿cuánto tenía?

Sea $x$ lo que tenía.

Gasto $\frac{1}{3}x$, queda:

$$x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x$$

Luego gasto $\frac{1}{4}$ de ese resto:

$$\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}x=\frac{1}{6}x$$

Queda:

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}x=\frac{1}{2}x$$

Después gasto $\frac{2}{5}$ del nuevo resto:

$$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}x=\frac{1}{5}x$$

Queda:

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{5}x=\frac{3}{10}x$$

Entonces:

$$\frac{3}{10}x=60$$

$$x=200$$

Atajo con restos sucesivos

Si después de varios gastos o tramos se conoce el final, se puede multiplicar directamente por los complementos de las fracciones.

En el ejemplo anterior:

$$\left(1-\frac{1}{3}\right) \left(1-\frac{1}{4}\right) \left(1-\frac{2}{5}\right)x=60$$

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{5}x=60$$

$$\frac{3}{10}x=60$$

$$x=200$$

Este método es muy útil cuando las fracciones se aplican siempre al resto.

5.3. Medicamentos, intervalos y conteo de tomas

Este es un tipo de problema que ha aparecido varias veces en San Marcos.

Caso 1: un solo medicamento

La idea clave es que la primera toma ocurre en el instante inicial.

Si se realizan $n$ tomas y cada una está separada por un intervalo de $h$ horas, el tiempo desde la primera toma hasta la última toma no es $n h$, sino:

$$T=(n-1)h$$

¿Por qué? Porque entre la primera y la segunda toma hay un intervalo; entre la primera y la tercera hay dos; entre la primera y la $n$-ésima, hay $n-1$.

Ejemplo:

Un paciente debe tomar 4 pastillas cada 6 horas. Si inicia a las 8 a. m. y su caja contiene 40 pastillas, ¿a qué hora tomará la última?

Número de tomas:

$$n=\frac{40}{4}=10$$

Tiempo:

$$T=(10-1)6=54\text{ horas}$$

Desde las 8 a. m., la última toma será 54 horas después: 2 días y 6 horas; es decir, a las 2 p. m. dos días después.

Caso 2: dos medicamentos con distinto intervalo

Aquí conviene razonar con el número de tomas de cada tipo.

Si un medicamento A se toma cada $h_A$ horas y el B cada $h_B$ horas, y ambos inician al mismo tiempo, entonces, después de $T$ horas, el número de tomas realizadas de A es:

$$\left\lfloor \frac{T}{h_A} \right\rfloor + 1$$

y de B:

$$\left\lfloor \frac{T}{h_B} \right\rfloor + 1$$

La función $\lfloor \ \rfloor$ es la “parte entera”: redondea hacia abajo.

En la práctica, para el examen puedes avanzar probando los tiempos en que ocurren tomas.

Ejemplo breve:

A: 2 pastillas cada 6 horas.
B: 3 pastillas cada 10 horas.
Inicia con ambos. ¿Cuándo habrá tomado exactamente 55 pastillas?

Hacemos un conteo por tramos:

• Hasta $t=78$ horas:

  • A: $\frac{78}{6}+1=14$ tomas → $14\cdot 2=28$ pastillas.
  • B: $\frac{78}{10}+1=8$ tomas → $8\cdot 3=24$ pastillas.
  • Total: $28+24=52$ pastillas.

• En $t=80$ horas:

  • A sigue con 14 tomas.
  • B ahora tiene 9 tomas.
  • Total: $28+27=55$ pastillas.

Entonces la respuesta sería 80 horas.

5.4. Relaciones entre cantidades: proporciones y “por cada”

Muchos problemas usan expresiones de proporción.

“Por cada 3 pavos hay 5 patos”

Se puede representar así:

$$\text{pavos}=3k,\quad \text{patos}=5k$$

donde $k$ es una constante de proporcionalidad.

La ventaja es que al sumar:

$$3k+5k=8k$$

se obtiene el total.

Ejemplo:

En una granja, por cada 3 pavos hay 5 patos. Si hay 176 animales en total, ¿cuántos patos hay?

$$3k+5k=176$$

$$8k=176$$

$$k=22$$

Patos:

$$5k=5(22)=110$$

También son útiles las formas:

• “A es a B como 3 es a 5”:

$$A=3k,\quad B=5k$$

• “tres números consecutivos”:

$$x,\ x+1,\ x+2$$

• “tres números pares consecutivos”:

$$x,\ x+2,\ x+4$$

con $x$ par.

5.5. Promedios

El promedio de $n$ cantidades es:

$$\text{promedio} = \frac{\text{suma de las cantidades}}{n}$$

De aquí se deduce:

$$\text{suma} = \text{promedio} \times n$$

Esta relación es muy útil cuando se cambia un dato.

Ejemplo:

El promedio de 20 estudiantes es 15. Si uno de ellos se retira y su reemplazo tiene 10 puntos más, ¿cuánto aumenta el promedio?

La suma inicial es:

$$20\cdot 15=300$$

Al aumentar 10 puntos en el nuevo total:

$$\text{nueva suma}=310$$

El nuevo promedio es:

$$\frac{310}{20}=15,5$$

Aumentó $0,5$ puntos.

En general, si hay $n$ datos y uno de ellos aumenta en $k$, el promedio aumenta en:

$$\frac{k}{n}$$

5.6. Porcentajes

Un tanto por ciento es una fracción con denominador 100.

$$a\% = \frac{a}{100}$$

Para calcular el $a\%$ de una cantidad $N$:

$$a\% \text{ de } N = \frac{a}{100}N$$

Equivalencias útiles:

Para aumentos y descuentos:

• Aumentar $a\%$:

$$N \to N\left(1+\frac{a}{100}\right)$$

• Disminuir $a\%$:

$$N \to N\left(1-\frac{a}{100}\right)$$

Los descuentos sucesivos no se suman: se aplican como factores.

Ejemplo:

Un producto tiene 20% de descuento y luego 10% de descuento. El factor final es:

$$(1-0{,}20)(1-0{,}10)=0{,}80\cdot 0{,}90=0{,}72$$

Es decir, el descuento total equivale a:

$$1-0{,}72=0{,}28=28\%$$

5.7. Mezclas y concentraciones

En problemas de soluciones, la concentración suele expresarse como:

$$\text{concentración} = \frac{\text{cantidad de sustancia activa}}{\text{volumen total}}$$

Si agregamos $x$ mililitros de sustancia activa a una solución, el nuevo volumen total también aumenta en $x$.

Ejemplo:

Se tienen 15 mL de solución al 30% de un principio activo. ¿Cuántos mL de principio activo puro se deben agregar para que la concentración sea 50%?

Sea $x$ la cantidad agregada.

Sustancia activa inicial:

$$30\% \cdot 15 = 4{,}5\text{ mL}$$

Nueva sustancia activa:

$$4{,}5+x$$

Nuevo volumen total:

$$15+x$$

La nueva concentración debe ser 50%:

$$\frac{4{,}5+x}{15+x}=0{,}50$$

Multiplicando en aspa:

$$4{,}5+x=7{,}5+0{,}5x$$

$$0{,}5x=3$$

$$x=6$$

No siempre el enunciado dice “es igual a”. A veces aparecen condiciones como:

• “más de” → $>$
• “menos de” → $<$
• “como mínimo” → $\ge$
• “como máximo” → $\le$

En esos casos se plantea una desigualdad lineal.

Ejemplo:

El costo de cada entrada es $x$ soles. Si un grupo paga más de 32 soles por 4 entradas, y menos de 60 soles por 7 entradas, ¿qué valores enteros puede tomar $x$?

Primera condición:

$$4x>32$$

$$x>8$$

Segunda condición:

$$7x<60$$

$$x<\frac{60}{7}$$

$$x<8{,}57$$

No hay entero mayor que 8 y menor que 8,57. Este ejemplo muestra que no basta traducir: hay que verificar la coherencia.

En los problemas reales suele haber una sola solución aceptable.

7.1. Elegir bien la variable

Siempre que sea posible, asigna $x$ a la cantidad de la que dependen las demás.

Ejemplo:

A tiene el doble de lo que tiene B.

Conviene:

$$B=x,\quad A=2x$$

Mejor que:

$$A=x,\quad B=\frac{x}{2}$$

Porque evita fracciones innecesarias.

7.2. En restos sucesivos, multiplica complementos

Si se conoce lo que queda después de varias fracciones, multiplica directamente:

$$\text{fracción final} = \left(1-\frac{a}{b}\right)\left(1-\frac{c}{d}\right)\cdots$$

Esto puede ahorrar varios pasos.

7.3. En repartos, iguala el total

Si hay dos formas de repartir la misma cantidad, iguala las expresiones del total:

$$\text{total en forma 1} = \text{total en forma 2}$$

7.4. En medicamentos, no olvides la primera toma

Recuerda:

$$T=(n-1)h$$

cuando se cuenta la primera toma en el instante inicial.

7.5. Si tienes alternativas, úsalas

En un examen de opción múltiple, probar alternativas puede ser más rápido si el despeje es engorroso. Pero conviene plantear primero para saber qué es lo que se va a verificar.