Situaciones deportivas 2 (situaciones con planteo y otros deportes)

La primera decisión para resolver un problema deportivo es reconocer el tipo de torneo.

Torneo de todos contra todos (liga)

En este formato, cada equipo debe enfrentarse con todos los demás. Si se juega una sola rueda, cada pareja de equipos se enfrenta exactamente una vez.

Este formato es típico de los problemas en los que se pide:

• número de partidos programados,
• puntaje total del torneo,
• número de empates,
• campaña de un equipo: partidos ganados, empatados y perdidos.

Torneo por eliminación directa

En este formato, los participantes se enfrentan en partidos o juegos. El ganador avanza a la siguiente fase y el perdedor queda eliminado. Es el formato típico del tenis, por ejemplo.

Este formato es clave cuando se pregunta cuántos partidos se juegan para determinar a un campeón, aunque haya descansos o pases directos.

Torneos mixtos

A veces un torneo combina fases de grupos con eliminatorias. En esos casos, se resuelve por partes: primero se cuentan los partidos de los grupos y luego los partidos de eliminación directa.

Si un torneo se juega todos contra todos en una sola rueda, el número total de partidos es igual al número de parejas distintas de equipos.

$$T=C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Donde:

• $T$ es el número total de partidos.
• $n$ es el número de equipos.

¿Por qué funciona?

Cada partido se juega entre dos equipos distintos. No importa si el equipo A juega contra el equipo B o si el equipo B juega contra el equipo A: es el mismo partido. Por eso usamos combinaciones y no permutaciones.

Ejemplo breve

Si hay 4 equipos, los partidos serán:

$$C(4,2)=\frac{4 \times 3}{2}=6.$$

Los seis partidos son:

• A vs B
• A vs C
• A vs D
• B vs C
• B vs D
• C vs D

Si se juega a dos ruedas

Si el torneo es de ida y vuelta, cada pareja se enfrenta dos veces. Entonces:

$$T=2C(n,2)=n(n-1).$$

Por ejemplo, con 10 equipos a dos ruedas:

$$T=10 \times 9=90.$$

Si hay fase de grupos

Si el torneo se divide en grupos, se calcula el número de partidos de cada grupo y luego se suman. Por ejemplo, si 16 equipos se dividen en 4 grupos de 4 equipos, en cada grupo se juegan:

$$C(4,2)=6$$

partidos. Como hay 4 grupos, la fase de grupos tiene:

$$4 \times 6=24$$

partidos. Si después vienen eliminatorias, se suman aparte.

En un torneo de fútbol con puntuación 3-1-0, la suma total de puntos de todos los equipos no es un número arbitrario. Depende del número de partidos y del número de empates.

Puntos repartidos en un partido

En un partido con ganador:

• el ganador recibe 3 puntos,
• el perdedor recibe 0 puntos,
• en total se reparten $3+0=3$ puntos.

En un partido empatado:

• cada equipo recibe 1 punto,
• en total se reparten $1+1=2$ puntos.

Entonces:

• partido sin empate: 3 puntos en total,
• partido con empate: 2 puntos en total.

Ecuación fundamental

Sea $T$ el número total de partidos y $E$ el número de partidos empatados. Entonces hay $T-E$ partidos con ganador.

La suma total de puntos de todos los equipos es:

$$P_{\text{total}}=3(T-E)+2E.$$

Simplificando:

$$P_{\text{total}}=3T-E.$$

De aquí se despeja el número de empates:

$$E=3T-P_{\text{total}}.$$

Interpretación práctica: cada empate “quita” un punto al máximo

Si todos los partidos tuvieran un ganador, el total de puntos del torneo sería $3T$. Cada vez que un partido termina empatado, en lugar de repartir 3 puntos se reparten 2. Es decir, el total del torneo disminuye en 1 punto por cada empate.

Por eso, si se sabe cuánto es la suma total de puntos, la diferencia entre $3T$ y ese total es exactamente el número de empates.

Ejemplo breve

Si en un torneo se jugaron 20 partidos y la suma total de puntos fue 55, entonces:

$$E=3(20)-55=60-55=5.$$

Hubo 5 empates.

Otro tipo de preguntas no se centra en el torneo completo, sino en la campaña de un solo equipo.

Para un equipo, se usan estas variables:

Siempre se cumple:

$$J=G+E+P.$$

Con puntuación 3-1-0, los puntos obtenidos por el equipo son:

$$\text{Puntos}=3G+E.$$

Partidos jugados por un equipo

En una liga todos contra todos a una sola rueda con $n$ equipos, cada equipo juega contra los otros $n-1$ equipos. Por lo tanto:

$$J=n-1.$$

Si la liga es a dos ruedas:

$$J=2(n-1).$$

Caso de las eliminatorias sudamericanas

En los problemas de fútbol de selecciones sudamericanas, suele considerarse que participan 10 selecciones y que se juega todos contra todos a ida y vuelta.

En ese formato:

• cada selección juega $2(10-1)=18$ partidos,
• de esos 18 partidos, juega 9 de local y 9 de visita.

Conocer este dato permite plantear ecuaciones como:

$$J=18,$$

$$G+E+P=18,$$

$$\text{Puntos}=3G+E.$$

Si, por ejemplo, un equipo ganara todos sus partidos de local y empatara todos sus partidos de visita, habría ganado 9 partidos y empatado 9, por lo que sus puntos serían:

$$9 \cdot 3 + 9 \cdot 1 = 36.$$

Este tipo de razonamiento es muy frecuente en los ejercicios de planteo con selecciones.

En un torneo por eliminación directa, cada partido tiene un ganador y un perdedor. El perdedor queda fuera del torneo.

Para determinar al campeón, todos los participantes deben ser eliminados exactamente una vez, excepto el campeón, que nunca pierde.

Por lo tanto, si hay $n$ participantes, se deben eliminar $n-1$ de ellos. Como cada partido elimina exactamente a un participante, el número de partidos es:

$$T=n-1.$$

Este resultado es muy potente porque no depende del cuadro, de los descansos ni de los sorteos.

¿Y si hay pases directos o descansos?

Los descansos no cambian la cantidad total de partidos. Solo cambian la forma en que se organizan las llaves.

Por ejemplo, si hay 39 tenistas, se necesitan:

$$39-1=38$$

partidos para definir a la campeona.

Si se intentara contar ronda por ronda, podría ser:

• primera ronda: 19 partidos y una tenista descansa,
• segunda ronda: 10 partidos,
• tercera ronda: 5 partidos,
• cuarta ronda: 2 partidos y una descansa,
• quinta ronda: 1 partido y una descansa,
• final: 1 partido.

La suma es:

$$19+10+5+2+1+1=38.$$

El resultado coincide con $n-1$.

Caso de torneos de doble eliminación

Si se menciona un torneo de doble eliminación, un participante queda eliminado recién después de perder dos veces. En ese caso, el número de partidos es aproximadamente $2n-2$ o $2n-1$, según la estructura de la final. Este formato es menos común en las preguntas de admisión, pero conviene saber que la relación entre partidos y derrotas es la clave.

Dentro del bloque de “situaciones con planteo” aparecen problemas de traslados: personas que deben cruzar un río, un lago o salir de una isla usando una balsa o canoa con restricciones de peso o de capacidad.

Estos problemas no son deportivos, pero comparten la misma lógica de planteo: interpretar restricciones, diseñar una secuencia de viajes y minimizar el número de viajes.

El problema modelo

El caso más común es:

• Hay varios adultos que pesan $90$ kg cada uno.
• Hay dos niños que pesan $45$ kg cada uno.
• La canoa soporta como máximo $100$ kg.
• Todos saben remar.

Como $90 \leq 100$, la canoa puede llevar a un adulto solo.

Como $45+45=90 \leq 100$, la canoa puede llevar a los dos niños juntos.

Pero no puede llevar a:

• dos adultos juntos $(90+90=180>100)$,
• un adulto y un niño juntos $(90+45=135>100)$.

El ciclo útil de cuatro viajes

Para llevar a un adulto desde la orilla inicial $A$ hasta la otra orilla $B$, se necesita un ciclo de cuatro viajes:

1. Los dos niños van de $A$ a $B$.
2. Un niño regresa de $B$ a $A$.
3. El adulto va solo de $A$ a $B$.
4. El otro niño regresa de $B$ a $A$.

Al terminar este ciclo:

• el adulto quedó en $B$,
• los dos niños están de nuevo en $A$,
• la canoa está en $A$.

Por lo tanto, se puede repetir el ciclo para otro adulto.

Fórmula para el mínimo de viajes

Si hay $m$ adultos y 2 niños, cada adulto requiere un ciclo de 4 viajes. Después de trasladar al último adulto, los dos niños quedan en la orilla inicial y deben cruzar juntos en un viaje final.

Entonces el número mínimo de viajes es:

$$V=4m+1.$$

¿Por qué es mínimo?

Cada adulto debe viajar solo de ida. Para que un adulto pueda cruzar, la balsa debe estar en la orilla inicial. Después de que el adulto cruza, la balsa queda en la otra orilla y debe regresar. Los niños son los únicos que pueden regresar, porque un adulto no puede ir acompañado y dos adultos no caben.

Para que un niño pueda regresar desde la otra orilla, primero deben cruzar los dos niños juntos. Luego uno se queda y el otro regresa. Esos dos viajes de niños son indispensables antes del viaje del adulto. Después del viaje del adulto, el niño que se quedó debe regresar. Así se explican los 4 viajes por adulto.

Al final, una vez que todos los adultos están en la otra orilla, los dos niños están en la orilla inicial y solo falta un viaje para que crucen juntos.

Ejemplo breve

Con 3 adultos y 2 niños:

$$V=4(3)+1=13.$$

Se necesitan 13 viajes.