Arreglos numéricos 2 (suma constante máxima y mínima, completar casillas)

Imagina que tienes un conjunto de números cuya suma total es $T$, y debes colocarlos en una figura con $L$ líneas. Supongamos que cada línea debe sumar exactamente $S$. Si sumas los valores de las $L$ líneas, obtendrás en total $L\cdot S$.

Pero, por otro lado, al sumar todas las líneas estás sumando todos los números del arreglo; algunos aparecen una vez y otros aparecen más de una vez. Entonces:

$$L\cdot S = T + R$$

donde:

• $T$ es la suma total de los números a distribuir.
• $R$ es la suma adicional que aparece por las casillas que se cuentan más de una vez.

Por ejemplo, si una casilla está en dos líneas, al sumar todas las líneas su número se cuenta dos veces: una vez dentro de $T$ y una vez más dentro de $R$. Si una casilla estuviera en tres líneas, se contaría tres veces: una vez dentro de $T$ y dos veces más dentro de $R$.

Caso más simple: una fila y una columna que se cruzan

Considera una cruz formada por una fila de tres círculos y una columna de tres círculos que comparten el círculo central.

Aquí hay $L=2$ líneas: la fila y la columna. Si cada una debe sumar $S$, entonces al sumar las dos líneas obtenemos $2S$.

Ahora, si los números a distribuir son $1,2,3,4,5$, su suma total es $T=15$. Pero al sumar la fila y la columna, el número del círculo central se cuenta dos veces. Si llamamos $x$ al número central, entonces:

$$2S = 15 + x$$

Esta ecuación es el punto de partida para hallar $S$ si nos piden que sea máxima o mínima.

¿Por qué funciona esta idea?

Porque al sumar todas las líneas pedidas, estás contando todos los números del arreglo, pero algunos los cuentas más de una vez. La diferencia entre la suma de las líneas y la suma total es precisamente la suma de los números que se repiten.

Esta idea se aplica en:

• triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos, donde los vértices se repiten entre lados;
• figuras con líneas cruzadas, donde los puntos de intersección se repiten;
• arreglos con filas y columnas, donde las casillas de cruce se repiten.

Cuando el problema pide que la suma constante sea la máxima posible o la mínima posible, la ecuación de balance nos dice exactamente qué hacer.

$$L \cdot S = T + R$$

Si $L$ y $T$ son fijos, entonces:

• Para que $S$ sea máxima, $R$ debe ser máxima. Es decir, debemos colocar los números más grandes en las casillas que se repiten.
• Para que $S$ sea mínima, $R$ debe ser mínima. Es decir, debemos colocar los números más pequeños en las casillas que se repiten.

El ajuste de divisibilidad

No basta con elegir los números más grandes o más pequeños para las casillas repetidas. Al reemplazarlos en la ecuación, el valor de $S$ debe ser un número entero. Si no lo es, debemos hacer un pequeño ajuste: cambiar la elección de las casillas repetidas, o cambiar uno de los números por otro, de modo que $T+R$ sea divisible entre $L$.

Este detalle es muy importante y a veces se olvida.

Ejemplo breve
Supón que en un arreglo se tiene $T=36$, $L=4$ y $R$ es la suma de cuatro casillas repetidas. Si para maximizar $S$ elegimos los cuatro números más grandes $5,6,7,8$, entonces $R=26$, y

$$4S=36+26=62$$

Eso da $S=15,5$, que no es entero. Por lo tanto, hay que ajustar la elección de las casillas repetidas hasta que $36+R$ sea divisible por 4.

Este tipo de ajuste se presenta con frecuencia en los exámenes.

Verificación final

Una vez hallado el valor de $S$, no basta con decir “esa es la respuesta”. Hay que verificar que la distribución realmente se puede hacer. En la práctica, se prueban los números en las casillas repetidas y se completan las líneas. Si se puede completar sin repetir números, el valor de $S$ es válido. Si no se puede, se pasa al siguiente candidato.

Los problemas más comunes de suma constante máxima o mínima son los que usan figuras poligonales: triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos. En todos ellos la idea es la misma.

Triángulo con tres números por lado

Considera un triángulo con seis casillas: una en cada vértice y una en el punto medio de cada lado.

Si los números a distribuir son $1,2,3,4,5,6$, su suma total es

$$T=\frac{6\cdot7}{2}=21$$

Hay $L=3$ lados. Al sumar los tres lados, cada vértice se cuenta dos veces, mientras que cada punto medio se cuenta una vez. Por lo tanto:

$$3S = 21 + V$$

donde $V$ es la suma de los tres números colocados en los vértices.

Para $S$ máxima, elegimos los tres números más grandes para los vértices:

$$V_{\text{máx}}=4+5+6=15$$

Entonces:

$$3S=21+15=36$$

$$S=12$$

Para $S$ mínima, elegimos los tres números más pequeños para los vértices:

$$V_{\text{mín}}=1+2+3=6$$

Entonces:

$$3S=21+6=27$$

$$S=9$$

Así, en este triángulo, la suma por lado puede variar entre 9 y 12.

Cuadrado con tres números por lado

Considera un cuadrado con ocho casillas: cuatro vértices y cuatro puntos medios.

Si se distribuyen los números $1,2,3,4,5,6,7,8$, su suma total es

$$T=1+2+\dots+8=\frac{8\cdot9}{2}=36$$

Hay $L=4$ lados. Los cuatro vértices se cuentan dos veces; los cuatro puntos medios, una vez. Entonces:

$$4S = 36 + V$$

donde $V$ es la suma de los cuatro vértices.

Para $S$ máxima, queremos $V$ máxima, pero $36+V$ debe ser divisible entre 4. Los cuatro números más grandes son $5+6+7+8=26$, que no es múltiplo de 4. Por lo tanto, no se puede lograr $S$ con $V=26$.

Este tipo de detalle es el que diferencia a quienes solo plantean la fórmula de quienes resuelven correctamente el problema.

Cuadrado con cuatro casillas por lado

En algunos problemas, el cuadrado tiene doce casillas en el borde: cuatro vértices y dos casillas intermedias en cada lado. Cada lado tiene cuatro casillas.

Si se distribuyen los números $1,2,\dots,12$, su suma total es

$$T=1+2+\dots+12=78$$

Hay $L=4$ lados. Al sumar los cuatro lados, los cuatro vértices se cuentan dos veces, y las ocho casillas no vértices se cuentan una vez. Por lo tanto:

$$4S = 78 + V$$

donde $V$ es la suma de los cuatro vértices.

Para $S$ mínima, elegimos los cuatro números más pequeños para los vértices:

$$V_{\text{mín}}=1+2+3+4=10$$

Entonces:

$$4S=78+10=88$$

$$S=22$$

Las ocho casillas no vértices suman:

$$78-10=68$$

Pentágono con tres números por lado

Considera un pentágono con diez casillas: cinco vértices y cinco puntos medios de los lados.

Si se distribuyen los números $1,2,3,\dots,10$, su suma total es

$$T=1+2+\dots+10=55$$

Hay $L=5$ lados. Los cinco vértices se cuentan dos veces; los cinco puntos medios, una vez. Entonces:

$$5S = 55 + V$$

donde $V$ es la suma de los cinco vértices.

Para $S$ máxima, elegimos los cinco números más grandes para los vértices:

$$V_{\text{máx}}=6+7+8+9+10=40$$

Entonces:

$$5S=55+40=95$$

$$S=19$$

Para $S$ mínima, elegimos los cinco números más pequeños:

$$V_{\text{mín}}=1+2+3+4+5=15$$

$$5S=55+15=70$$

$$S=14$$

Así, en este pentágono con los números 1 al 10, la suma por lado puede variar entre 14 y 19.

Hexágono con cuatro números por lado

Un hexágono con cuatro casillas por lado tiene en total dieciocho casillas en su borde: seis vértices y dos casillas intermedias en cada lado.

Si se distribuyen dieciocho números consecutivos, la fórmula vuelve a ser:

$$6S = T + V$$

donde $T$ es la suma total de los dieciocho números y $V$ es la suma de los seis vértices.

Para $S$ máxima, se colocan los seis números más grandes en los vértices.

Fórmula general para polígonos de borde

En general, si tienes un polígono de $n$ lados, con el mismo número de casillas por lado, y las únicas casillas que se repiten son los $n$ vértices, entonces:

$$nS = T + V$$

donde:

• $n$ es el número de lados,
• $S$ es la suma constante por lado,
• $T$ es la suma total de los números a distribuir,
• $V$ es la suma de los números colocados en los $n$ vértices.

Este resultado es muy útil porque no depende de cuántas casillas intermedias tenga cada lado: los vértices se cuentan dos veces y los intermedios una vez.

No todos los arreglos son polígonos. También hay figuras con líneas rectas que se cruzan, donde varias casillas pueden pertenecer a más de una línea. La idea es la misma, pero hay que identificar con cuidado cuántas veces aparece cada casilla.

Procedimiento general

1. Identifica todas las líneas que deben tener suma constante $S$. Cuenta cuántas son ($L$).
2. Calcula la suma total $T$ de los números a distribuir.
3. Marca las casillas que se repiten, es decir, las que están en dos o más líneas.
4. Plantea la ecuación

$$L\cdot S = T + R$$

donde $R$ es la suma de los números de las casillas repetidas contando sus repeticiones adicionales.

5. Para maximizar $S$, asigna a las casillas repetidas los números más grandes. Para minimizar $S$, asigna los números más pequeños.
6. Ajusta si la división no da un número entero y verifica que el arreglo se pueda completar.

Ejemplo breve

Supongamos que un arreglo tiene 8 círculos y está formado por 4 líneas de 3 círculos. Dos de los círculos están en dos líneas a la vez; los otros seis están en una sola línea. Si se distribuyen los números $1,2,\dots,8$, su suma total es

$$T=1+2+\dots+8=36$$

Al sumar las cuatro líneas, los dos círculos repetidos se cuentan una vez adicional. Si llamamos $a$ y $b$ a esos círculos repetidos, entonces:

$$4S = 36 + (a+b)$$

Para $S$ máxima, elegimos $a$ y $b$ como los dos números más grandes:

$$a+b=7+8=15$$

Entonces:

$$4S=36+15=51$$

Como $51$ no es divisible entre 4, no sirve. Probamos con $a+b=14$, por ejemplo $6+8=14$:

$$4S=36+14=50$$

Tampoco es divisible. Probamos con $a+b=12$, por ejemplo $5+7=12$:

$$4S=36+12=48$$

$$S=12$$

Este sería el máximo valor entero posible, si la distribución se puede completar. Luego se verifica colocando los números.

Otro grupo de problemas de este tema no pide una suma constante en todas las líneas, sino que da sumas específicas para ciertos grupos de casillas. Por ejemplo:

• “la suma de los tres números de esta curva debe ser 14”,
• “la suma de los tres números de este segmento vertical debe ser la indicada”,
• “la suma de las casillas fila es 27 y la de la columna es 27”.

En estos casos, el método cambia un poco: hay que plantear ecuaciones para cada condición y usar la suma total como recurso.

Procedimiento para completar casillas con sumas dadas

1. Asigna incógnitas a las casillas vacías.
2. Traduce cada condición de suma a una ecuación.
3. Suma o resta ecuaciones para simplificar.
4. Usa la suma total de los números disponibles.
5. Aplica restricciones: números sin repetir, números primos, números máximos o mínimos, etc.
6. Completa por deducción o tanteo guiado.

Ejemplo breve

En un arreglo de dos filas y tres columnas se deben colocar los números $1,2,3,4,5,6$ sin repetir. Se sabe que la fila superior suma 10, la fila inferior suma 11, la columna izquierda suma 7 y la columna derecha suma 8. Si llamamos $a,b,c$ a la fila superior y $d,e,f$ a la inferior, tenemos:

$$a+b+c=10$$

$$d+e+f=11$$

$$a+d=7$$

$$c+f=8$$

La suma total es $21$. Las columnas extremas suman $7+8=15$. Por lo tanto, la columna central suma:

$$b+e=21-15=6$$

Así, sin necesidad de completar todas las casillas, podemos hallar lo pedido.

Suma constante conocida con condición de valor menor

A veces la suma constante sí es un dato, pero además se pide que una de las casillas tenga el menor valor posible. En esos casos, después de plantear las ecuaciones, se asigna el menor número disponible a esa casilla y se completa el resto.

Aunque el título de este tema se centra en sumas constantes máximas y mínimas y en completar casillas, en los exámenes de la UNMSM también han aparecido arreglos con otras condiciones. Conviene reconocerlos para no quedarse en blanco si aparece uno.

Arreglos con productos dados

En estos problemas, en lugar de dar sumas, se dan productos de grupos de casillas. La estrategia más útil es dividir dos productos que tengan casillas comunes, para cancelarlas.

Ejemplo breve
Si se sabe que:

$$a \cdot b \cdot c = 84$$

$$b \cdot c \cdot d = 140$$

entonces, al dividir ambas ecuaciones:

$$\frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c \cdot d} = \frac{84}{140}$$

$$\frac{a}{d}=\frac{3}{5}$$

Esto permite relacionar casillas no comunes.

Arreglos con condición de diferencia o adyacencia

Algunos problemas piden que casillas vecinas no tengan números consecutivos, o que la diferencia entre casillas contiguas sea mayor o igual que un valor. En esos casos, se resuelven por restricciones y tanteo guiado: se coloca un número y se descartan los que no pueden ir en casillas vecinas.

Arreglos con separaciones fijas

En otros casos, se pide colocar pares de números iguales con una determinada cantidad de casillas entre ellos, por ejemplo: entre los dos números 1 debe haber exactamente una casilla; entre los dos 2, exactamente dos casillas; y así sucesivamente. Se resuelven probando posiciones y descartando.

Fichas que cambian de posición

También han aparecido problemas donde ya hay números colocados en una figura y se pregunta cuántos deben cambiar de posición para que se cumpla una condición, como que los productos en diagonales sean iguales.

Imagina que tienes un conjunto de números cuya suma total es $T$, y debes colocarlos en una figura con $L$ líneas. Supongamos que cada línea debe sumar exactamente $S$. Si sumas los valores de las $L$ líneas, obtendrás en total $L\cdot S$.

Pero, por otro lado, al sumar todas las líneas estás sumando todos los números del arreglo; algunos aparecen una vez y otros aparecen más de una vez. Entonces:

$$L\cdot S = T + R$$

donde:

• $T$ es la suma total de los números a distribuir.
• $R$ es la suma adicional que aparece por las casillas que se cuentan más de una vez.

Por ejemplo, si una casilla está en dos líneas, al sumar todas las líneas su número se cuenta dos veces: una vez dentro de $T$ y una vez más dentro de $R$. Si una casilla estuviera en tres líneas, se contaría tres veces: una vez dentro de $T$ y dos veces más dentro de $R$.

Caso más simple: una fila y una columna que se cruzan

Considera una cruz formada por una fila de tres círculos y una columna de tres círculos que comparten el círculo central.

Aquí hay $L=2$ líneas: la fila y la columna. Si cada una debe sumar $S$, entonces al sumar las dos líneas obtenemos $2S$.

Ahora, si los números a distribuir son $1,2,3,4,5$, su suma total es $T=15$. Pero al sumar la fila y la columna, el número del círculo central se cuenta dos veces. Si llamamos $x$ al número central, entonces:

$$2S = 15 + x$$

Esta ecuación es el punto de partida para hallar $S$ si nos piden que sea máxima o mínima.

¿Por qué funciona esta idea?

Porque al sumar todas las líneas pedidas, estás contando todos los números del arreglo, pero algunos los cuentas más de una vez. La diferencia entre la suma de las líneas y la suma total es precisamente la suma de los números que se repiten.

Esta idea se aplica en:

• triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos, donde los vértices se repiten entre lados;
• figuras con líneas cruzadas, donde los puntos de intersección se repiten;
• arreglos con filas y columnas, donde las casillas de cruce se repiten.

Cuando el problema pide que la suma constante sea la máxima posible o la mínima posible, la ecuación de balance nos dice exactamente qué hacer.

$$L \cdot S = T + R$$

Si $L$ y $T$ son fijos, entonces:

• Para que $S$ sea máxima, $R$ debe ser máxima. Es decir, debemos colocar los números más grandes en las casillas que se repiten.
• Para que $S$ sea mínima, $R$ debe ser mínima. Es decir, debemos colocar los números más pequeños en las casillas que se repiten.

El ajuste de divisibilidad

No basta con elegir los números más grandes o más pequeños para las casillas repetidas. Al reemplazarlos en la ecuación, el valor de $S$ debe ser un número entero. Si no lo es, debemos hacer un pequeño ajuste: cambiar la elección de las casillas repetidas, o cambiar uno de los números por otro, de modo que $T+R$ sea divisible entre $L$.

Este detalle es muy importante y a veces se olvida.

Ejemplo breve
Supón que en un arreglo se tiene $T=36$, $L=4$ y $R$ es la suma de cuatro casillas repetidas. Si para maximizar $S$ elegimos los cuatro números más grandes $5,6,7,8$, entonces $R=26$, y

$$4S=36+26=62$$

Eso da $S=15,5$, que no es entero. Por lo tanto, hay que ajustar la elección de las casillas repetidas hasta que $36+R$ sea divisible por 4.

Este tipo de ajuste se presenta con frecuencia en los exámenes.

Verificación final

Una vez hallado el valor de $S$, no basta con decir “esa es la respuesta”. Hay que verificar que la distribución realmente se puede hacer. En la práctica, se prueban los números en las casillas repetidas y se completan las líneas. Si se puede completar sin repetir números, el valor de $S$ es válido. Si no se puede, se pasa al siguiente candidato.

Los problemas más comunes de suma constante máxima o mínima son los que usan figuras poligonales: triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos. En todos ellos la idea es la misma.

Triángulo con tres números por lado

Considera un triángulo con seis casillas: una en cada vértice y una en el punto medio de cada lado.

Si los números a distribuir son $1,2,3,4,5,6$, su suma total es

$$T=\frac{6\cdot7}{2}=21$$

Hay $L=3$ lados. Al sumar los tres lados, cada vértice se cuenta dos veces, mientras que cada punto medio se cuenta una vez. Por lo tanto:

$$3S = 21 + V$$

donde $V$ es la suma de los tres números colocados en los vértices.

Para $S$ máxima, elegimos los tres números más grandes para los vértices:

$$V_{\text{máx}}=4+5+6=15$$

Entonces:

$$3S=21+15=36$$

$$S=12$$

Para $S$ mínima, elegimos los tres números más pequeños para los vértices:

$$V_{\text{mín}}=1+2+3=6$$

Entonces:

$$3S=21+6=27$$

$$S=9$$

Así, en este triángulo, la suma por lado puede variar entre 9 y 12.

Cuadrado con tres números por lado

Considera un cuadrado con ocho casillas: cuatro vértices y cuatro puntos medios.

Si se distribuyen los números $1,2,3,4,5,6,7,8$, su suma total es

$$T=1+2+\dots+8=\frac{8\cdot9}{2}=36$$

Hay $L=4$ lados. Los cuatro vértices se cuentan dos veces; los cuatro puntos medios, una vez. Entonces:

$$4S = 36 + V$$

donde $V$ es la suma de los cuatro vértices.

Para $S$ máxima, queremos $V$ máxima, pero $36+V$ debe ser divisible entre 4. Los cuatro números más grandes son $5+6+7+8=26$, que no es múltiplo de 4. Por lo tanto, no se puede lograr $S$ con $V=26$.

Este tipo de detalle es el que diferencia a quienes solo plantean la fórmula de quienes resuelven correctamente el problema.

Cuadrado con cuatro casillas por lado

En algunos problemas, el cuadrado tiene doce casillas en el borde: cuatro vértices y dos casillas intermedias en cada lado. Cada lado tiene cuatro casillas.

Si se distribuyen los números $1,2,\dots,12$, su suma total es

$$T=1+2+\dots+12=78$$

Hay $L=4$ lados. Al sumar los cuatro lados, los cuatro vértices se cuentan dos veces, y las ocho casillas no vértices se cuentan una vez. Por lo tanto:

$$4S = 78 + V$$

donde $V$ es la suma de los cuatro vértices.

Para $S$ mínima, elegimos los cuatro números más pequeños para los vértices:

$$V_{\text{mín}}=1+2+3+4=10$$

Entonces:

$$4S=78+10=88$$

$$S=22$$

Las ocho casillas no vértices suman:

$$78-10=68$$

Pentágono con tres números por lado

Considera un pentágono con diez casillas: cinco vértices y cinco puntos medios de los lados.

Si se distribuyen los números $1,2,3,\dots,10$, su suma total es

$$T=1+2+\dots+10=55$$

Hay $L=5$ lados. Los cinco vértices se cuentan dos veces; los cinco puntos medios, una vez. Entonces:

$$5S = 55 + V$$

donde $V$ es la suma de los cinco vértices.

Para $S$ máxima, elegimos los cinco números más grandes para los vértices:

$$V_{\text{máx}}=6+7+8+9+10=40$$

Entonces:

$$5S=55+40=95$$

$$S=19$$

Para $S$ mínima, elegimos los cinco números más pequeños:

$$V_{\text{mín}}=1+2+3+4+5=15$$

$$5S=55+15=70$$

$$S=14$$

Así, en este pentágono con los números 1 al 10, la suma por lado puede variar entre 14 y 19.

Hexágono con cuatro números por lado

Un hexágono con cuatro casillas por lado tiene en total dieciocho casillas en su borde: seis vértices y dos casillas intermedias en cada lado.

Si se distribuyen dieciocho números consecutivos, la fórmula vuelve a ser:

$$6S = T + V$$

donde $T$ es la suma total de los dieciocho números y $V$ es la suma de los seis vértices.

Para $S$ máxima, se colocan los seis números más grandes en los vértices.

Fórmula general para polígonos de borde

En general, si tienes un polígono de $n$ lados, con el mismo número de casillas por lado, y las únicas casillas que se repiten son los $n$ vértices, entonces:

$$nS = T + V$$

donde:

• $n$ es el número de lados,
• $S$ es la suma constante por lado,
• $T$ es la suma total de los números a distribuir,
• $V$ es la suma de los números colocados en los $n$ vértices.

Este resultado es muy útil porque no depende de cuántas casillas intermedias tenga cada lado: los vértices se cuentan dos veces y los intermedios una vez.

No todos los arreglos son polígonos. También hay figuras con líneas rectas que se cruzan, donde varias casillas pueden pertenecer a más de una línea. La idea es la misma, pero hay que identificar con cuidado cuántas veces aparece cada casilla.

Procedimiento general

1. Identifica todas las líneas que deben tener suma constante $S$. Cuenta cuántas son ($L$).
2. Calcula la suma total $T$ de los números a distribuir.
3. Marca las casillas que se repiten, es decir, las que están en dos o más líneas.
4. Plantea la ecuación

$$L\cdot S = T + R$$

donde $R$ es la suma de los números de las casillas repetidas contando sus repeticiones adicionales.

5. Para maximizar $S$, asigna a las casillas repetidas los números más grandes. Para minimizar $S$, asigna los números más pequeños.
6. Ajusta si la división no da un número entero y verifica que el arreglo se pueda completar.

Ejemplo breve

Supongamos que un arreglo tiene 8 círculos y está formado por 4 líneas de 3 círculos. Dos de los círculos están en dos líneas a la vez; los otros seis están en una sola línea. Si se distribuyen los números $1,2,\dots,8$, su suma total es

$$T=1+2+\dots+8=36$$

Al sumar las cuatro líneas, los dos círculos repetidos se cuentan una vez adicional. Si llamamos $a$ y $b$ a esos círculos repetidos, entonces:

$$4S = 36 + (a+b)$$

Para $S$ máxima, elegimos $a$ y $b$ como los dos números más grandes:

$$a+b=7+8=15$$

Entonces:

$$4S=36+15=51$$

Como $51$ no es divisible entre 4, no sirve. Probamos con $a+b=14$, por ejemplo $6+8=14$:

$$4S=36+14=50$$

Tampoco es divisible. Probamos con $a+b=12$, por ejemplo $5+7=12$:

$$4S=36+12=48$$

$$S=12$$

Este sería el máximo valor entero posible, si la distribución se puede completar. Luego se verifica colocando los números.

Otro grupo de problemas de este tema no pide una suma constante en todas las líneas, sino que da sumas específicas para ciertos grupos de casillas. Por ejemplo:

• “la suma de los tres números de esta curva debe ser 14”,
• “la suma de los tres números de este segmento vertical debe ser la indicada”,
• “la suma de las casillas fila es 27 y la de la columna es 27”.

En estos casos, el método cambia un poco: hay que plantear ecuaciones para cada condición y usar la suma total como recurso.

Procedimiento para completar casillas con sumas dadas

1. Asigna incógnitas a las casillas vacías.
2. Traduce cada condición de suma a una ecuación.
3. Suma o resta ecuaciones para simplificar.
4. Usa la suma total de los números disponibles.
5. Aplica restricciones: números sin repetir, números primos, números máximos o mínimos, etc.
6. Completa por deducción o tanteo guiado.

Ejemplo breve

En un arreglo de dos filas y tres columnas se deben colocar los números $1,2,3,4,5,6$ sin repetir. Se sabe que la fila superior suma 10, la fila inferior suma 11, la columna izquierda suma 7 y la columna derecha suma 8. Si llamamos $a,b,c$ a la fila superior y $d,e,f$ a la inferior, tenemos:

$$a+b+c=10$$

$$d+e+f=11$$

$$a+d=7$$

$$c+f=8$$

La suma total es $21$. Las columnas extremas suman $7+8=15$. Por lo tanto, la columna central suma:

$$b+e=21-15=6$$

Así, sin necesidad de completar todas las casillas, podemos hallar lo pedido.

Suma constante conocida con condición de valor menor

A veces la suma constante sí es un dato, pero además se pide que una de las casillas tenga el menor valor posible. En esos casos, después de plantear las ecuaciones, se asigna el menor número disponible a esa casilla y se completa el resto.

Aunque el título de este tema se centra en sumas constantes máximas y mínimas y en completar casillas, en los exámenes de la UNMSM también han aparecido arreglos con otras condiciones. Conviene reconocerlos para no quedarse en blanco si aparece uno.

Arreglos con productos dados

En estos problemas, en lugar de dar sumas, se dan productos de grupos de casillas. La estrategia más útil es dividir dos productos que tengan casillas comunes, para cancelarlas.

Ejemplo breve
Si se sabe que:

$$a \cdot b \cdot c = 84$$

$$b \cdot c \cdot d = 140$$

entonces, al dividir ambas ecuaciones:

$$\frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c \cdot d} = \frac{84}{140}$$

$$\frac{a}{d}=\frac{3}{5}$$

Esto permite relacionar casillas no comunes.

Arreglos con condición de diferencia o adyacencia

Algunos problemas piden que casillas vecinas no tengan números consecutivos, o que la diferencia entre casillas contiguas sea mayor o igual que un valor. En esos casos, se resuelven por restricciones y tanteo guiado: se coloca un número y se descartan los que no pueden ir en casillas vecinas.

Arreglos con separaciones fijas

En otros casos, se pide colocar pares de números iguales con una determinada cantidad de casillas entre ellos, por ejemplo: entre los dos números 1 debe haber exactamente una casilla; entre los dos 2, exactamente dos casillas; y así sucesivamente. Se resuelven probando posiciones y descartando.

Fichas que cambian de posición

También han aparecido problemas donde ya hay números colocados en una figura y se pregunta cuántos deben cambiar de posición para que se cumpla una condición, como que los productos en diagonales sean iguales.