Frecuencia de sucesos 1

Imagina una fila de personas paradas a la misma distancia entre sí.

Los puntos rojos representan los sucesos: postes, estacas, árboles, pastillas tomadas, disparos, etc. Los tramos verdes representan los intervalos: la distancia o el tiempo entre un suceso y el siguiente.

Observa lo más importante:

• Hay 5 puntos.
• Hay 4 intervalos.

Es decir, en una línea abierta:

$$\text{número de intervalos} = \text{número de sucesos} - 1$$

o equivalentemente:

$$\text{número de sucesos} = \text{número de intervalos} + 1.$$

¿Por qué pasa esto? Porque el primer punto no tiene un tramo a su izquierda; para formar un tramo necesitas dos puntos. Si hay $n$ puntos, se forman $n-1$ tramos entre ellos.

Esta relación tan simple es el origen de casi todos los errores del tema. Por eso conviene detenerse aquí: cuando se cuentan estacas en una línea recta, hay una estaca más que tramos.

En cambio, en una figura cerrada, como un círculo, la relación cambia: el punto final y el punto inicial coinciden. Eso lo veremos más adelante.

Una figura abierta es aquella que tiene un inicio y un final distintos: una avenida recta, un listón de madera, una soga estirada, una fila de árboles.

En estos problemas aparecen tres cantidades que no deben confundirse:

• Partes: los tramos o pedazos en que queda dividida la longitud.
• Cortes: las acciones de cortar.
• Estacas: los puntos de apoyo o marcas que se colocan en la línea.

2.1. Partes y cortes

Si tienes una barra de longitud total $L$ y la divides en partes de longitud $d$, entonces el número de partes es:

$$\text{n.}^{\circ}\text{ de partes} = \frac{L}{d}$$

Pero el número de cortes no es igual al número de partes. Para obtener $m$ partes, solo necesitas hacer $m-1$ cortes. Por ejemplo, para dividir una cinta en 2 pedazos basta hacer 1 corte; para obtener 4 pedazos se hacen 3 cortes.

Por lo tanto:

$$\text{n.}^{\circ}\text{ de cortes} = \frac{L}{d} - 1$$

2.2. Estacas en figuras abiertas

Si en lugar de cortar colocas estacas, postes o árboles cada $d$ metros, desde el inicio hasta el final, entonces el número de estacas es:

$$\text{n.}^{\circ}\text{ de estacas} = \frac{L}{d} + 1$$

Porque el número de tramos de longitud $d$ es $L/d$, y al incluir los dos extremos tienes un elemento más.

Ejemplo breve:
En una avenida de 60 m se plantan árboles cada 10 m, incluyendo ambos extremos.

$$\frac{60}{10} + 1 = 6 + 1 = 7.$$

Hay 7 árboles. Los tramos son 6, y los árboles son 7.

2.3. ¿Qué pasa si la longitud no es múltiplo exacto de la separación?

Si $L$ no es divisible exactamente entre $d$, no se puede tener todos los tramos exactos de $d$ y cubrir exactamente $L$. En esos casos hay que leer con cuidado el problema:

• Si se piden estacas cada exactamente $d$ metros, se colocan mientras alcance, es decir, se usa $\lfloor L/d \rfloor + 1$ si se incluye el inicio.
• Si se pide cubrir todo el tramo de modo que ningún espacio supere $d$ metros, el último tramo será más corto, y se necesitará una estaca adicional.

Ejemplo breve:
En una calle de 95 m se desea colocar postes de modo que entre poste y poste haya a lo sumo 30 m. Como $95 = 3 \times 30 + 5$, con 3 tramos de 30 m sobran 5 m; se necesita un cuarto tramo de 5 m, y por lo tanto $4 + 1 = 5$ postes.

No siempre se presenta este matiz, pero conviene tenerlo presente.

Una figura cerrada es aquella en la que el punto de partida y el punto de llegada son el mismo: un círculo, un triángulo, un cuadrado, un rectángulo, un hexágono, etc.

Aquí la relación cambia. Imagina un círculo en el que colocas estacas separadas por arcos iguales.

En una figura cerrada no hay un «primer extremo» y un «último extremo» diferentes. Al dar la vuelta completa, la primera estaca y la última coinciden. Por eso:

$$\text{n.}^{\circ}\text{ de estacas} = \text{n.}^{\circ}\text{ de tramos} = \frac{\text{perímetro}}{d}$$

También:

$$\text{n.}^{\circ}\text{ de cortes en figura cerrada} = \frac{\text{perímetro}}{d}.$$

A diferencia de la figura abierta, aquí no se suma ni se resta 1.

Ejemplo breve:
En el perímetro de un parque circular de 180 m se colocan faros cada 12 m.

$$\frac{180}{12} = 15.$$

Se necesitan 15 faros, no 16.

3.1. Perímetros de polígonos

Muchas veces la figura cerrada no es un círculo, sino un triángulo, rectángulo u otro polígono. El procedimiento es el mismo:

1. Calcula el perímetro sumando todos los lados.
2. Divide el perímetro entre la separación $d$.

Si solo se conocen algunos lados, aplica las propiedades geométricas correspondientes. En un triángulo rectángulo, por ejemplo, se usa el teorema de Pitágoras.

Ejemplo breve:
Un triángulo rectángulo tiene catetos 60 m y 80 m. La hipotenusa es:

$$h = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \text{ m}.$$

El perímetro es $60+80+100=240$ m. Si se colocan estacas cada 10 m:

$$\frac{240}{10} = 24 \text{ estacas}.$$

4.1. Dos filas o dos lados

Un tipo de pregunta frecuente es aquel en que hay que colocar elementos en dos veredas, dos lados o dos líneas. Lo importante es calcular cada fila por separado y sumar al final.

Ejemplo breve:
En una calle de 120 m, en una vereda se colocan árboles cada 8 m y en la otra cada 10 m, incluyendo extremos.

$$\left(\frac{120}{8}+1\right) + \left(\frac{120}{10}+1\right)$$ $$= (15+1)+(12+1)=16+13=29.$$

Si se trata del mismo objeto y podría contarse dos veces en una esquina, hay que analizar si la esquina es compartida. En la calle con dos veredas, las esquinas de una vereda y de la otra no son el mismo punto, así que se suman normalmente.

4.2. Conteo de múltiplos en un rango

Aunque no se trata de cortes físicos, la misma lógica de división entera sirve para contar números con una propiedad. Por ejemplo:

• ¿Cuántos números del 1 al $N$ son múltiplos de $a$?
  $$\left\lfloor \frac{N}{a} \right\rfloor$$
• ¿Cuántos son múltiplos de $a$ o de $b$?
  Se suman los múltiplos de $a$, se suman los de $b$ y se restan los múltiplos comunes, es decir, los múltiplos de $\operatorname{mcm}(a,b)$:

$$\left\lfloor \frac{N}{a} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{b} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{N}{\operatorname{mcm}(a,b)} \right\rfloor.$$

Ejemplo breve:
Del 1 al 100, ¿cuántos números son múltiplos de 4 o de 6?

$$\left\lfloor \frac{100}{4} \right\rfloor = 25, \quad \left\lfloor \frac{100}{6} \right\rfloor = 16, \quad \operatorname{mcm}(4,6)=12, \quad \left\lfloor \frac{100}{12} \right\rfloor = 8.$$

Hay $25+16-8=33$ números.

Esta es la parte más preguntada en la UNMSM. El escenario típico es:

«Tomar $n$ pastillas cada $t$ horas, iniciando el tratamiento con una dosis.»

¿Qué significa «cada $t$ horas»? Significa que entre una toma y la siguiente hay un intervalo de $t$ horas. La primera toma se hace en el instante inicial, es decir, en el tiempo $0$.

Supongamos que el tratamiento dura $X$ horas. Las tomas ocurren en los instantes:

$$0,\ t,\ 2t,\ 3t,\ \dots$$

Si $X$ es un tiempo total transcurrido desde la primera toma, el número de dosis es:

$$\text{n.}^{\circ}\text{ de dosis} = \left\lfloor \frac{X}{t} \right\rfloor + 1.$$

¿Por qué? Porque $\lfloor X/t \rfloor$ cuenta cuántos intervalos completos de $t$ horas han transcurrido, y hay una dosis inicial más.

Si en cada dosis se toman $n$ pastillas, entonces el total de pastillas de ese tipo es:

$$\text{Total de pastillas} = n\left( \left\lfloor \frac{X}{t} \right\rfloor + 1 \right).$$

Ejemplo breve:
Se toma 1 pastilla cada 6 horas. Si el tratamiento dura 24 horas, entonces:

$$\left\lfloor \frac{24}{6} \right\rfloor + 1 = 4 + 1 = 5 \text{ dosis}.$$

Las dosis se toman a las 0, 6, 12, 18 y 24 horas.

5.1. Tratamiento que termina simultáneamente

Muchos problemas dicen: «inicia y termina tomando ambos medicamentos» o «termina cuando ambos coinciden». Eso obliga a que la duración total $X$ sea múltiplo de todos los intervalos involucrados.

Si un medicamento se toma cada $t_1$ horas y otro cada $t_2$ horas, para que la última toma de ambos coincida, $X$ debe ser múltiplo de ambos intervalos. El menor tiempo en que pueden coincidir en la última toma es:

$$X = \operatorname{mcm}(t_1,t_2) \times k,$$

donde $k$ es un entero positivo.

Ejemplo breve:
Un medicamento A se toma cada 6 horas y otro B cada 8 horas. Si inician juntos y terminan juntos, la duración debe ser múltiplo de $\operatorname{mcm}(6,8)=24$. Podría ser 24, 48, 72, etc.

5.2. Suma total, diferencias y comparaciones entre tipos

Cuando hay dos medicamentos, la forma general de trabajar es:

• Definir la duración $X$.
• Escribir para el medicamento A:

$$C_A(X) = n_A\left( \left\lfloor \frac{X}{t_A} \right\rfloor + 1 \right).$$

• Escribir para el medicamento B:

$$C_B(X) = n_B\left( \left\lfloor \frac{X}{t_B} \right\rfloor + 1 \right).$$

Luego se plantea la condición del problema:

• Si piden el total: $C_A + C_B = \text{total}$.
• Si piden la diferencia: $C_A - C_B = \text{diferencia}$.
• Si hay costos: se multiplica cada cantidad por su costo unitario.

Si el problema no dice que el tratamiento termina simultáneamente, entonces la duración $X$ no necesariamente es múltiplo del MCM. En ese caso las funciones piso son indispensables, y el mínimo se busca evaluando en los instantes donde alguna dosis cambia la cantidad.

Una técnica práctica para diferencias es:

1. Coloca en una línea los tiempos en que ocurren las dosis de cada tipo.
2. Calcula cuántas pastillas lleva cada tipo hasta ese momento.
3. Verifica si se cumple la condición pedida.

Este procedimiento se justifica porque las cantidades solo cambian justo después de cada dosis; entre dosis, la diferencia se mantiene constante.

5.3. Disparos

Los problemas de disparos siguen la misma lógica. Si una ametralladora realiza disparos con un intervalo de $t$ segundos entre disparo y disparo, y el tiempo total entre el primer y el último disparo es $T$, entonces:

$$\text{n.}^{\circ}\text{ de disparos} = \frac{T}{t} + 1.$$

También se cumple:

$$\text{n.}^{\circ}\text{ de intervalos} = \text{n.}^{\circ}\text{ de disparos} - 1.$$

Ejemplo breve:
Una ametralladora dispara 4 balas en 6 segundos. Eso significa que entre bala y bala hay:

$$\frac{6}{4-1} = \frac{6}{3} = 2 \text{ s}.$$

En 18 segundos dispara:

$$\frac{18}{2} + 1 = 10 \text{ balas}.$$

Otro grupo de problemas pregunta por cuándo coinciden dos o más sucesos periódicos: luces que se encienden, alarmas que suenan, medicamentos que se toman juntos.

Si un suceso ocurre cada $a$ unidades de tiempo y otro cada $b$ unidades de tiempo, y ambos ocurren juntos en el instante inicial, volverán a coincidir después de:

$$\operatorname{mcm}(a,b).$$

La razón es que el primer suceso ocurre en los múltiplos de $a$ y el segundo en los múltiplos de $b$; el menor tiempo común a ambos es el menor múltiplo común.

Ejemplo breve:
Una luz se enciende cada 4 segundos y otra cada 6 segundos. Coinciden cada:

$$\operatorname{mcm}(4,6)=12 \text{ s}.$$

Si se pregunta cuántas coincidencias ocurren en un tiempo total $T$, incluyendo la coincidencia inicial, la respuesta es:

$$\left\lfloor \frac{T}{\operatorname{mcm}(a,b)} \right\rfloor + 1.$$

Ejemplo breve:
En 60 segundos, con ciclos de 12 segundos:

$$\left\lfloor \frac{60}{12} \right\rfloor + 1 = 5 + 1 = 6 \text{ coincidencias}.$$

7.1. Marcas en una pista circular

Algunos problemas presentan una pista circular con marcas separadas por arcos iguales. Si se recorre una cierta distancia, la posición final se determina así:

1. Cuenta cuántos «pasos» de una marca a otra se avanzan:
   $$\text{pasos} = \frac{\text{distancia recorrida}}{\text{separación entre marcas}}.$$
2. Como la pista es circular, las marcas se repiten. Si hay $m$ marcas, el residuo de dividir «pasos» entre $m$ indica cuántos pasos efectivos se avanzan desde la marca inicial.

También se puede trabajar con el perímetro completo:

$$\text{perímetro} = m \times \text{separación}.$$

Se divide la distancia total entre el perímetro y se analiza el residuo.

Ejemplo breve:
Una pista circular tiene 7 marcas y cada arco mide 40 m. Se recorren 200 m. Como $200/40 = 5$, se avanzan 5 marcas desde la inicial. Si la inicial es P, la final es U.

7.2. Secuencias que se repiten

Un caso más general es el de secuencias periódicas con duraciones distintas: canciones, anuncios, luces de colores, etc.

El procedimiento es:

1. Suma las duraciones de todos los elementos para obtener el tiempo de un ciclo completo.
2. Divide el tiempo transcurrido entre el tiempo del ciclo.
3. Toma el residuo.
4. Recorre el ciclo desde el elemento inicial con ese residuo para ver en qué elemento se está.

Ejemplo breve:
Un ciclo tiene 3 melodías: A dura 2 min, B dura 3 min y C dura 1 min. El ciclo completo dura 6 min. Si pasan 20 min desde que comenzó A, entonces:

$$20 = 3 \times 6 + 2.$$

Han pasado 3 ciclos completos y 2 minutos del siguiente. Como A dura 2 min, a los 2 minutos exactos está comenzando B, o si se pregunta en ese instante justo, termina A e inicia B.

Un método sencillo para clasificar y resolver estos problemas es:

1. Identifica el tipo de suceso: ¿se trata de distancia (cortes, estacas, postes) o de tiempo (pastillas, disparos, luces)?
2. Identifica si la figura es abierta o cerrada cuando trabajas con distancias.
3. Traduce la información a intervalos: ¿cuántos tramos o intervalos hay?
4. Aplica la relación correcta:
   • Figura abierta, cortes: $L/d - 1$.
   • Figura abierta, estacas: $L/d + 1$.
   • Figura cerrada: perímetro $/d$.
   • Tiempo: $\lfloor X/t \rfloor + 1$ dosis.
5. Si hay simultaneidad, usa MCM.
6. Si hay secuencia circular o cíclica, usa el residuo.

Atajos con justificación

• «Abierta: $+1$; cerrada: igual»
  Funciona porque en la línea abierta hay un suceso más que intervalos, mientras que en la cerrada el inicio y el final coinciden.

• «Si termina simultáneamente, la duración es múltiplo del MCM»
  Funciona porque la última toma de cada tipo debe caer en un tiempo común, y el menor tiempo común es el MCM.

• «En coincidencias, incluye la inicial»
  Si algo coincide en el tiempo 0, ese suceso cuenta. Por eso se suma 1 al número de ciclos completos.

• «En secuencias, no olvides desde qué elemento empezaste»
  El residuo se recorre a partir del elemento inicial, no siempre desde el primer elemento de la lista.