Puntos cardinales 1

Los puntos cardinales principales son:

$$N,\quad S,\quad E,\quad O$$

Sobre la superficie terrestre, el norte y el sur corresponden a los extremos del eje de rotación de la Tierra; el este y el oeste corresponden a la dirección del movimiento de rotación. Por eso, el Sol aparece por el este y se oculta por el oeste.

En los problemas de Razonamiento Matemático, más que definir los puntos cardinales, nos interesa saber cómo se indica una dirección.

1.1 Direcciones principales y secundarias

Las direcciones principales son:

• Norte ($N$)
• Sur ($S$)
• Este ($E$)
• Oeste ($O$)

Las direcciones secundarias son las diagonales:

Así, por ejemplo, $NE$ significa "partir del norte y girar $45^\circ$ hacia el este".

1.2 Lectura de una dirección angular

Cuando en el problema se dice:

$$N30^\circ E$$

debemos entender:

Párate mirando al norte; luego gira $30^\circ$ hacia el este. Esa es la dirección.

De manera similar:

• $S60^\circ O$: partir del sur y girar $60^\circ$ hacia el oeste.
• $N53^\circ E$: partir del norte y girar $53^\circ$ hacia el este.
• $E37^\circ N$: partir del este y girar $37^\circ$ hacia el norte.
• $O30^\circ S$: partir del oeste y girar $30^\circ$ hacia el sur.

Es muy importante notar lo siguiente: la primera letra indica desde dónde empieza el ángulo; la última letra indica hacia dónde gira.

1.3 Direcciones equivalentes

Una misma dirección puede expresarse de dos formas complementarias.

Por ejemplo:

$$N30^\circ E = E60^\circ N$$

porque si una línea forma $30^\circ$ con el norte, entonces con el este forma $60^\circ$, ya que el ángulo entre el norte y el este es $90^\circ$.

En general:

$$N\theta E = E(90^\circ-\theta)N$$

$$S\theta E = E(90^\circ-\theta)S$$

$$N\theta O = O(90^\circ-\theta)N$$

$$S\theta O = O(90^\circ-\theta)S$$

Esta equivalencia es útil porque a veces conviene dibujar el ángulo desde el este o desde el oeste para visualizar mejor un triángulo notable.

1.4 Dirección opuesta

Si una persona $A$ observa a otra persona $B$ en una dirección, entonces $B$ observa a $A$ en la dirección opuesta.

Por ejemplo:

• Si de $A$ a $B$ la dirección es $N30^\circ E$, de $B$ a $A$ es $S30^\circ O$.
• Si de $P$ a $Q$ la dirección es $S60^\circ E$, de $Q$ a $P$ es $N60^\circ O$.

En general:

Esto es especialmente importante cuando el problema te pide la dirección desde un punto hasta otro, pero la información está dada desde otro observador.

Un recorrido no siempre se hace al este o al norte exactamente. Muchas veces los tramos son diagonales.

La idea central de este tema es la siguiente:

Todo desplazamiento en una dirección cualquiera puede descomponerse en dos partes: una componente norte-sur y una componente este-oeste.

Por ejemplo, si alguien camina $100\,\mathrm{m}$ en dirección $N30^\circ E$, no camina ni solo al norte ni solo al este: avanza al noreste. Pero ese avance equivale a avanzar una cierta cantidad hacia el norte y otra cierta cantidad hacia el este.

Dibujando un triángulo rectángulo:

• La hipotenusa es el recorrido real: $100\,\mathrm{m}$.
• El cateto vertical es la componente hacia el norte.
• El cateto horizontal es la componente hacia el este.

Como la dirección es $N30^\circ E$, el ángulo con el norte es $30^\circ$. Entonces se forma un triángulo de $30^\circ-60^\circ-90^\circ$.

Si la hipotenusa mide $2k$, entonces:

• Cateto norte: $k\sqrt3$
• Cateto este: $k$

Para $100\,\mathrm{m}$, tenemos:

$$2k = 100 \implies k = 50$$

Entonces:

• Componente norte: $50\sqrt3\,\mathrm{m}$
• Componente este: $50\,\mathrm{m}$

Así, el recorrido $100\,\mathrm{m}$ a $N30^\circ E$ equivale a:

$$50\sqrt3\,\mathrm{m}\text{ al norte y } 50\,\mathrm{m}\text{ al este}$$

2.1 Fórmula general con senos y cosenos

Si un tramo de longitud $d$ forma un ángulo $\theta$ con el norte, entonces:

$$\text{componente vertical} = d\cos\theta$$

$$\text{componente horizontal} = d\sin\theta$$

Pero en la mayoría de ejercicios no necesitas trigonometría avanzada: basta reconocer triángulos notables.

Aquí tienes una tabla rápida de descomposiciones frecuentes:

Se usa la convención:

• $N$ positivo, $S$ negativo.
• $E$ positivo, $O$ negativo.

Para resolver un problema de un móvil que recorre varios tramos, sigue este procedimiento:

1. Fija un punto de partida.
2. Dibuja cada tramo desde el punto donde terminó el anterior.
3. Descompón cada tramo en componente norte-sur y este-oeste.
4. Suma todas las componentes norte-sur y todas las este-oeste.
5. Calcula la distancia al punto de partida usando Pitágoras.
6. Si te piden dirección de regreso, toma la dirección opuesta al desplazamiento neto.

3.1 Ejemplo rápido

Una persona camina $80\,\mathrm{m}$ al este, luego $40\,\mathrm{m}$ al norte y finalmente $50\,\mathrm{m}$ al oeste.

Desplazamiento horizontal:

$$80\,\mathrm{m}\text{ este} - 50\,\mathrm{m}\text{ oeste} = 30\,\mathrm{m}\text{ este}$$

Desplazamiento vertical:

$$40\,\mathrm{m}\text{ norte}$$

Entonces la persona está $30\,\mathrm{m}$ al este y $40\,\mathrm{m}$ al norte del punto de partida.

Su distancia es:

$$d = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900+1600} = 50\,\mathrm{m}$$

Esto muestra la idea básica: separar lo horizontal de lo vertical.

Muchos problemas preguntan:

¿En qué dirección debe viajar el móvil para retornar a su punto de partida en el menor tiempo posible?

La dirección de retorno más corta es la línea recta desde el punto final hasta el punto inicial. No se trata de deshacer el recorrido anterior, sino de ir directamente.

Supongamos que, después de sumar componentes, un móvil quedó al este y al sur del punto de partida. Entonces, para volver, debe ir al norte y al oeste.

Para hallar el ángulo, se forma un triángulo rectángulo con:

• cateto horizontal $h$
• cateto vertical $v$

El ángulo $\theta$ se obtiene de:

$$\tan\theta = \frac{h}{v}$$

donde $h$ y $v$ son las magnitudes de los catetos horizontal y vertical, respectivamente.

4.1 Tabla de dirección de regreso

Sea $h$ la componente horizontal neta en valor absoluto y $v$ la componente vertical neta en valor absoluto.

Donde:

$$\tan\theta = \frac{h}{v}$$

Por ejemplo, si una persona queda $30\,\mathrm{m}$ al este y $40\,\mathrm{m}$ al norte, entonces:

$$\tan\theta = \frac{30}{40} = \frac34$$

El ángulo cuyo tangente es $3/4$ es $37^\circ$. Por lo tanto, desde el punto de partida la persona está en dirección $N37^\circ E$. Para regresar, debe seguir $S37^\circ O$.

Un tipo de pregunta frecuente es aquella en la que varias personas o barcos se observan entre sí desde diferentes puntos.

Debes recordar lo siguiente:

• “$A$ observa a $B$ en $N30^\circ E$” significa que la flecha va de $A$ hacia $B$.
• “$B$ observa a $A$” es la dirección opuesta a la anterior.
• Cuando diga que alguien está “al norte de otro”, hay que dibujarlo verticalmente arriba.
• Cuando diga que alguien está “al este de otro”, hay que dibujarlo horizontalmente a la derecha.

Muchos problemas de visuales se resuelven ubicando primero los puntos que tienen relación directa con los ejes cardinales y luego trazando las direcciones inclinadas hasta que se intersecten.

5.1 Utilidad de las líneas paralelas

Como todos los nortes son paralelos, si una visual forma cierto ángulo con el norte en un punto, también forma ángulos relacionados con las líneas verticales en otros puntos.

Esto permite trasladar ángulos mediante ángulos alternos internos.

En algunos problemas, una persona o vehículo se mueve con velocidad constante. Aquí se combina puntos cardinales con:

$$d = v \times t$$

donde:

• $d$: distancia recorrida
• $v$: rapidez constante
• $t$: tiempo

Por ejemplo, si una persona avanza a $5\,\mathrm{m/min}$ durante $4\,\mathrm{min}$, recorre:

$$d = 5 \times 4 = 20\,\mathrm{m}$$

Luego, ese desplazamiento se descompone como cualquier otro tramo.

Otro grupo de preguntas importantes es el que combina puntos cardinales con cuadrados, hexágonos regulares o grillas.

7.1 Cuadrados

En un cuadrado:

• Todos los lados miden lo mismo.
• Cada ángulo interior mide $90^\circ$.
• La diagonal forma $45^\circ$ con cada lado.

Si conoces la dirección de un lado, puedes obtener la dirección de otro lado usando giros de $90^\circ$. Si conoces la dirección de un lado, la diagonal está girada $45^\circ$ respecto de ese lado.

Esto es muy útil en problemas donde varias personas están en los vértices de un cuadrado y se observan entre sí.

7.2 Hexágonos regulares

En un hexágono regular:

• Cada ángulo interior mide $120^\circ$.
• Cada giro de un vértice a otro alrededor del centro corresponde a $60^\circ$.

Si un problema menciona un hexágono regular y da direcciones de visuales, la idea es aplicar giros de $60^\circ$ y usar las propiedades de simetría de la figura.

7.3 Grillas y movimiento por vértices

En algunos ejercicios, una célula, un objeto o una pieza se mueve sobre una cuadrícula.

En estos casos:

• Moverse “un vértice al este” equivale a avanzar una unidad horizontalmente.
• Moverse “un vértice al sur” equivale a avanzar una unidad verticalmente hacia abajo.
• Moverse en $N45^\circ E$ equivale a avanzar en diagonal: una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba, es decir, al siguiente vértice diagonal.