Arreglos numéricos I (arreglos numéricos con suma constante conocida)

En todo arreglo numérico, lo primero es identificar con claridad:

1. qué números se van a colocar;
2. cuántas líneas hay y cuánto debe sumar cada una;
3. cuáles casillas son comunes a dos o más líneas.

La estrategia general es:

$$\text{Suma de todas las líneas} = \text{Suma total de los números} + \text{aporte extra de las casillas comunes}$$

Ejemplo introductorio: imagina que debes colocar los números $1;2;3;4;5;6$ en un triángulo de tres lados, de modo que cada lado sume $9$. La suma total de los números es

$$1+2+3+4+5+6=21.$$

Al sumar los tres lados obtienes

$$9+9+9=27.$$

Hay $27-21=6$ de diferencia. ¿Por qué? Porque los tres números de los vértices se sumaron dos veces: una vez en cada lado al que pertenecen. Por lo tanto, la suma de los tres vértices debe ser $6$. Como los tres menores números disponibles son $1;2;3$, su suma es $6$, y por eso colocarlos en los vértices permite obtener la suma mínima $9$.

Este mismo principio, aplicado a figuras más complicadas, resuelve la mayoría de preguntas del tema.

Para resolver un arreglo con suma constante conocida, sigue estos pasos.

1. Lista los números disponibles y calcula su suma total $S_T$.
2. Identifica las líneas cuya suma es constante. Sea $m$ el número de líneas y $S$ la suma constante de cada una.
3. Calcula la suma de todas las líneas, es decir, $mS$.
4. Expresa $mS$ en función de $S_T$ y de la suma de las casillas que se repiten.
5. Despeja la cantidad pedida.

En una tabla resumen:

Esta tabla no debe memorizarse de manera rígida; lo importante es entender por qué aparece cada factor.

La figura más simple es una cruz formada por una fila y una columna que se cruzan en una casilla central.

Si distribuimos números en las cinco casillas y tanto la fila como la columna deben sumar $S$, entonces la casilla central $x$ se cuenta dos veces: una vez en la fila y otra vez en la columna. Las cuatro casillas extremas se cuentan una sola vez.

Por lo tanto:

$$S+S = S_T + x$$

es decir,

$$2S = S_T + x$$

de donde:

$$x = 2S - S_T$$

Por ejemplo, si se colocan los números $1;2;3;4;5$ en una cruz, con suma de fila y columna igual a $9$, entonces:

$$S_T=15,\qquad 2S=18$$

y la casilla central es

$$x=18-15=3.$$

Cuando el arreglo tiene forma de triángulo, cuadrado o pentágono, los vértices son las casillas comunes: pertenecen a dos lados a la vez.

Triángulo

Si sumamos los tres lados, cada casilla que está en un solo lado se cuenta una vez, pero cada vértice se cuenta dos veces. Entonces:

$$3S = S_T + V$$

donde $V$ es la suma de los números ubicados en los tres vértices.

Ejemplo breve: si se distribuyen los números del $1$ al $9$ en un arreglo triangular de nueve casillas y cada lado debe sumar $20$, entonces:

$$S_T=45,\qquad 3S=60$$

y la suma de los vértices es

$$V=60-45=15.$$

Este dato es muy útil: una vez conocida la suma de los vértices, ya se puede razonar qué números pueden ocuparlos.

Cuadrado

En un cuadrado, cada vértice pertenece a dos lados. Por lo tanto:

$$4S = S_T + V$$

donde $V$ es la suma de los cuatro vértices.

Ejemplo breve: si distribuimos los números $1$ al $12$ en el perímetro de un cuadrado, con cada lado sumando $30$, entonces:

$$S_T=\frac{12\cdot 13}{2}=78,\qquad 4S=120$$

y la suma de los vértices es:

$$V=120-78=42.$$

Pentágono

La idea es idéntica. Si hay $n$ lados y cada lado suma $S$, los $n$ vértices se cuentan dos veces, mientras que las casillas restantes se cuentan una vez.

$$nS = S_T + V$$

donde $V$ es la suma de los $n$ vértices.

Otro tipo muy evaluado es el de los tableros o arreglos rectangulares en los que cada fila o columna de cuatro casillas suma siempre el mismo valor. Aquí no siempre se da una lista de números fijos; a veces se trata de completar casillas con números enteros.

La técnica principal es comparar líneas que comparten varias casillas. Si dos líneas suman lo mismo y comparten tres de sus cuatro casillas, entonces la cuarta casilla de ambas debe ser igual.

Ejemplo breve: si en una fila de cuatro casillas consecutivas se cumple que toda suma de cuatro casillas consecutivas es constante, al comparar

$$a+b+c+d = b+c+d+e$$

se obtiene de inmediato:

$$a=e.$$

Es decir, las casillas separadas por cuatro posiciones deben ser iguales. Este atajo permite completar rápidamente tableros lineales.

Una variante especial de arreglo numérico es la cuadrícula $4\times 4$ en la que se colocan los números $1;2;3;4$, sin repetir en cada fila, cada columna y cada diagonal. Es un tipo de “sudoku” pequeño.

Aquí no se dice directamente “la suma de cada fila es constante”, pero se deduce de inmediato: como cada fila y cada columna debe contener exactamente $1;2;3;4$, su suma siempre será

$$1+2+3+4=10.$$

Lo mismo ocurre con las diagonales.

Método de resolución

1. Ubica las casillas que ya tienen número.
2. Para cada casilla vacía, anota los números que no pueden ir allí porque ya están en su fila, en su columna o en su diagonal.
3. Elige la casilla con mayor cantidad de restricciones; normalmente quedará un único candidato.
4. Repite el proceso hasta completar la cuadrícula.

Ejemplo breve: si en una fila ya aparecen $1;2;3$, la casilla que falta solo puede ser $4$. Si, además, en su columna ya aparece $4$, entonces algo está mal en el planteamiento; pero en un arreglo bien planteado, las restricciones de fila, columna y diagonal se refuerzan.

Un arreglo muy interesante y que ha aparecido en la UNMSM es el hexágono especial o hexágono mágico de orden 3. Está formado por 19 casillas dispuestas en un arreglo hexagonal, y se colocan los números enteros del $1$ al $19$, uno en cada casilla, de modo que todas las filas hexagonales, en cualquiera de las tres direcciones posibles, tengan la misma suma.

Para resolver problemas en este arreglo, primero se debe deducir cuál es la suma constante de cada fila.

La suma total de los números es:

$$S_T=1+2+\cdots+19=\frac{19\cdot 20}{2}=190.$$

En el hexágono hay $5$ filas en cada una de las $3$ direcciones. Por lo tanto, el número total de filas es:

$$3\times 5=15.$$

Además, cada casilla del hexágono pertenece exactamente a una fila de cada dirección; es decir, cada número se cuenta $3$ veces al sumar todas las filas. Entonces:

$$15S = 3S_T$$

$$15S = 3(190)=570$$

$$S = \frac{570}{15}=38.$$

Por lo tanto, en el hexágono mágico de $1$ a $19$, cada fila hexagonal suma 38.

Con este dato, cualquier fila con números conocidos permite hallar una casilla incógnita.

A veces el arreglo no se limita a una suma constante, sino que incluye condiciones como productos de ciertas casillas, sumas de cifras o sumas de filas en progresión aritmética. Aunque el tema principal es la suma constante conocida, estas variantes han aparecido en la UNMSM y conviene dominarlas.

Condiciones mixtas

Cuando hay condiciones como “el producto de tales casillas es $30$” o “la suma de estas dos casillas es $14$”, lo más práctico es traducir cada condición en un conjunto pequeño de posibles números.

Por ejemplo, si los números disponibles son primos como $2;3;5;7;11;13;17$ y se dice que el producto de tres casillas es $30$, los únicos posibles son $2;3;5$, porque:

$$2\cdot 3\cdot 5 = 30.$$

Si además se dice que el número central tiene suma de cifras $4$, entre los disponibles el único es $13$, porque:

$$1+3=4.$$

De esta manera, cada condición va reduciendo las posibilidades hasta completar el arreglo.

Suma de filas en progresión aritmética

En algunos problemas, las sumas de las filas no son iguales, pero forman una progresión aritmética. Esto significa que si las sumas de tres filas son $S_1; S_2; S_3$, se cumple:

$$S_1+S_3=2S_2.$$

Además, si todas las casillas del arreglo están repartidas entre esas filas, la suma total de las casillas es igual a $S_1+S_2+S_3$. Si están en PA, entonces:

$$S_1+S_2+S_3 = 3S_2.$$

Este resultado permite hallar rápidamente la suma de la fila central.

Cuando se pide la suma mínima de las casillas sombreadas, se debe analizar qué casillas conviene ocupar con los números menores. Sin embargo, no basta elegir los menores globales: hay que verificar que las sumas de las filas sigan formando la progresión aritmética pedida.

Pasos recomendados

1. Lee la condición y subraya cuál es la suma constante o la relación entre líneas.
2. Escribe el conjunto de números disponibles y calcula $S_T$.
3. Marca las casillas comunes: vértices, intersecciones, centro, etc.
4. Plantea la ecuación de doble conteo:

$$\text{suma de todas las líneas} = S_T + \text{aporte extra de casillas comunes}$$

5. Despeja y, si es necesario, completa el arreglo con deducción directa.

Atajos justificados

• En una cruz, si ambas líneas suman $S$, el centro es $2S-S_T$.
• En un polígono de $n$ lados, si cada lado suma $S$, la suma de vértices es $nS-S_T$.
• En tableros con suma constante en líneas de cuatro casillas, al comparar dos líneas que comparten tres casillas, la cuarta casilla debe ser igual.
• En cuadrículas $4\times4$, cada fila, columna o diagonal suma $10$ si los números son $1;2;3;4$.
• En un hexágono mágico de 1 a 19, la suma constante es $38$.

Estos atajos no son trucos sin justificación: todos provienen del doble conteo o de la simple comparación de líneas.

En todo arreglo numérico, lo primero es identificar con claridad:

1. qué números se van a colocar;
2. cuántas líneas hay y cuánto debe sumar cada una;
3. cuáles casillas son comunes a dos o más líneas.

La estrategia general es:

$$\text{Suma de todas las líneas} = \text{Suma total de los números} + \text{aporte extra de las casillas comunes}$$

Ejemplo introductorio: imagina que debes colocar los números $1;2;3;4;5;6$ en un triángulo de tres lados, de modo que cada lado sume $9$. La suma total de los números es

$$1+2+3+4+5+6=21.$$

Al sumar los tres lados obtienes

$$9+9+9=27.$$

Hay $27-21=6$ de diferencia. ¿Por qué? Porque los tres números de los vértices se sumaron dos veces: una vez en cada lado al que pertenecen. Por lo tanto, la suma de los tres vértices debe ser $6$. Como los tres menores números disponibles son $1;2;3$, su suma es $6$, y por eso colocarlos en los vértices permite obtener la suma mínima $9$.

Este mismo principio, aplicado a figuras más complicadas, resuelve la mayoría de preguntas del tema.

Para resolver un arreglo con suma constante conocida, sigue estos pasos.

1. Lista los números disponibles y calcula su suma total $S_T$.
2. Identifica las líneas cuya suma es constante. Sea $m$ el número de líneas y $S$ la suma constante de cada una.
3. Calcula la suma de todas las líneas, es decir, $mS$.
4. Expresa $mS$ en función de $S_T$ y de la suma de las casillas que se repiten.
5. Despeja la cantidad pedida.

En una tabla resumen:

Esta tabla no debe memorizarse de manera rígida; lo importante es entender por qué aparece cada factor.

La figura más simple es una cruz formada por una fila y una columna que se cruzan en una casilla central.

Si distribuimos números en las cinco casillas y tanto la fila como la columna deben sumar $S$, entonces la casilla central $x$ se cuenta dos veces: una vez en la fila y otra vez en la columna. Las cuatro casillas extremas se cuentan una sola vez.

Por lo tanto:

$$S+S = S_T + x$$

es decir,

$$2S = S_T + x$$

de donde:

$$x = 2S - S_T$$

Por ejemplo, si se colocan los números $1;2;3;4;5$ en una cruz, con suma de fila y columna igual a $9$, entonces:

$$S_T=15,\qquad 2S=18$$

y la casilla central es

$$x=18-15=3.$$

Cuando el arreglo tiene forma de triángulo, cuadrado o pentágono, los vértices son las casillas comunes: pertenecen a dos lados a la vez.

Triángulo

Si sumamos los tres lados, cada casilla que está en un solo lado se cuenta una vez, pero cada vértice se cuenta dos veces. Entonces:

$$3S = S_T + V$$

donde $V$ es la suma de los números ubicados en los tres vértices.

Ejemplo breve: si se distribuyen los números del $1$ al $9$ en un arreglo triangular de nueve casillas y cada lado debe sumar $20$, entonces:

$$S_T=45,\qquad 3S=60$$

y la suma de los vértices es

$$V=60-45=15.$$

Este dato es muy útil: una vez conocida la suma de los vértices, ya se puede razonar qué números pueden ocuparlos.

Cuadrado

En un cuadrado, cada vértice pertenece a dos lados. Por lo tanto:

$$4S = S_T + V$$

donde $V$ es la suma de los cuatro vértices.

Ejemplo breve: si distribuimos los números $1$ al $12$ en el perímetro de un cuadrado, con cada lado sumando $30$, entonces:

$$S_T=\frac{12\cdot 13}{2}=78,\qquad 4S=120$$

y la suma de los vértices es:

$$V=120-78=42.$$

Pentágono

La idea es idéntica. Si hay $n$ lados y cada lado suma $S$, los $n$ vértices se cuentan dos veces, mientras que las casillas restantes se cuentan una vez.

$$nS = S_T + V$$

donde $V$ es la suma de los $n$ vértices.

Otro tipo muy evaluado es el de los tableros o arreglos rectangulares en los que cada fila o columna de cuatro casillas suma siempre el mismo valor. Aquí no siempre se da una lista de números fijos; a veces se trata de completar casillas con números enteros.

La técnica principal es comparar líneas que comparten varias casillas. Si dos líneas suman lo mismo y comparten tres de sus cuatro casillas, entonces la cuarta casilla de ambas debe ser igual.

Ejemplo breve: si en una fila de cuatro casillas consecutivas se cumple que toda suma de cuatro casillas consecutivas es constante, al comparar

$$a+b+c+d = b+c+d+e$$

se obtiene de inmediato:

$$a=e.$$

Es decir, las casillas separadas por cuatro posiciones deben ser iguales. Este atajo permite completar rápidamente tableros lineales.

Una variante especial de arreglo numérico es la cuadrícula $4\times 4$ en la que se colocan los números $1;2;3;4$, sin repetir en cada fila, cada columna y cada diagonal. Es un tipo de “sudoku” pequeño.

Aquí no se dice directamente “la suma de cada fila es constante”, pero se deduce de inmediato: como cada fila y cada columna debe contener exactamente $1;2;3;4$, su suma siempre será

$$1+2+3+4=10.$$

Lo mismo ocurre con las diagonales.

Método de resolución

1. Ubica las casillas que ya tienen número.
2. Para cada casilla vacía, anota los números que no pueden ir allí porque ya están en su fila, en su columna o en su diagonal.
3. Elige la casilla con mayor cantidad de restricciones; normalmente quedará un único candidato.
4. Repite el proceso hasta completar la cuadrícula.

Ejemplo breve: si en una fila ya aparecen $1;2;3$, la casilla que falta solo puede ser $4$. Si, además, en su columna ya aparece $4$, entonces algo está mal en el planteamiento; pero en un arreglo bien planteado, las restricciones de fila, columna y diagonal se refuerzan.

Un arreglo muy interesante y que ha aparecido en la UNMSM es el hexágono especial o hexágono mágico de orden 3. Está formado por 19 casillas dispuestas en un arreglo hexagonal, y se colocan los números enteros del $1$ al $19$, uno en cada casilla, de modo que todas las filas hexagonales, en cualquiera de las tres direcciones posibles, tengan la misma suma.

Para resolver problemas en este arreglo, primero se debe deducir cuál es la suma constante de cada fila.

La suma total de los números es:

$$S_T=1+2+\cdots+19=\frac{19\cdot 20}{2}=190.$$

En el hexágono hay $5$ filas en cada una de las $3$ direcciones. Por lo tanto, el número total de filas es:

$$3\times 5=15.$$

Además, cada casilla del hexágono pertenece exactamente a una fila de cada dirección; es decir, cada número se cuenta $3$ veces al sumar todas las filas. Entonces:

$$15S = 3S_T$$

$$15S = 3(190)=570$$

$$S = \frac{570}{15}=38.$$

Por lo tanto, en el hexágono mágico de $1$ a $19$, cada fila hexagonal suma 38.

Con este dato, cualquier fila con números conocidos permite hallar una casilla incógnita.

A veces el arreglo no se limita a una suma constante, sino que incluye condiciones como productos de ciertas casillas, sumas de cifras o sumas de filas en progresión aritmética. Aunque el tema principal es la suma constante conocida, estas variantes han aparecido en la UNMSM y conviene dominarlas.

Condiciones mixtas

Cuando hay condiciones como “el producto de tales casillas es $30$” o “la suma de estas dos casillas es $14$”, lo más práctico es traducir cada condición en un conjunto pequeño de posibles números.

Por ejemplo, si los números disponibles son primos como $2;3;5;7;11;13;17$ y se dice que el producto de tres casillas es $30$, los únicos posibles son $2;3;5$, porque:

$$2\cdot 3\cdot 5 = 30.$$

Si además se dice que el número central tiene suma de cifras $4$, entre los disponibles el único es $13$, porque:

$$1+3=4.$$

De esta manera, cada condición va reduciendo las posibilidades hasta completar el arreglo.

Suma de filas en progresión aritmética

En algunos problemas, las sumas de las filas no son iguales, pero forman una progresión aritmética. Esto significa que si las sumas de tres filas son $S_1; S_2; S_3$, se cumple:

$$S_1+S_3=2S_2.$$

Además, si todas las casillas del arreglo están repartidas entre esas filas, la suma total de las casillas es igual a $S_1+S_2+S_3$. Si están en PA, entonces:

$$S_1+S_2+S_3 = 3S_2.$$

Este resultado permite hallar rápidamente la suma de la fila central.

Cuando se pide la suma mínima de las casillas sombreadas, se debe analizar qué casillas conviene ocupar con los números menores. Sin embargo, no basta elegir los menores globales: hay que verificar que las sumas de las filas sigan formando la progresión aritmética pedida.

Pasos recomendados

1. Lee la condición y subraya cuál es la suma constante o la relación entre líneas.
2. Escribe el conjunto de números disponibles y calcula $S_T$.
3. Marca las casillas comunes: vértices, intersecciones, centro, etc.
4. Plantea la ecuación de doble conteo:

$$\text{suma de todas las líneas} = S_T + \text{aporte extra de casillas comunes}$$

5. Despeja y, si es necesario, completa el arreglo con deducción directa.

Atajos justificados

• En una cruz, si ambas líneas suman $S$, el centro es $2S-S_T$.
• En un polígono de $n$ lados, si cada lado suma $S$, la suma de vértices es $nS-S_T$.
• En tableros con suma constante en líneas de cuatro casillas, al comparar dos líneas que comparten tres casillas, la cuarta casilla debe ser igual.
• En cuadrículas $4\times4$, cada fila, columna o diagonal suma $10$ si los números son $1;2;3;4$.
• En un hexágono mágico de 1 a 19, la suma constante es $38$.

Estos atajos no son trucos sin justificación: todos provienen del doble conteo o de la simple comparación de líneas.