Operadores matemáticos

1.1. Operaciones usuales y operaciones arbitrarias

En matemática ya conoces operaciones universales:

$$7+5=12,\qquad 9-4=5,\qquad 3\times 8=24$$

Los símbolos $+$, $-$, $\times$ representan reglas fijas que se aprenden desde la escuela.

Un operador matemático arbitrario es un símbolo elegido por el examinador para representar una operación nueva. Por ejemplo:

$$a \# b = a^2 + 2b - 1$$

Aquí:

• $\#$ es el operador.
• $a$ y $b$ son los operandos.
• $a^2+2b-1$ es la regla de definición.
• El enunciado debe indicar en qué conjunto está definida la operación.

La frase «se define en $\mathbb{R}$ la operación...» significa que $a$ y $b$ pueden ser números reales.

Idea clave: el símbolo $\#$ no tiene significado por sí mismo. Solo significa lo que la regla de definición indica. Por eso, nunca debes asumir que $\#$ es multiplicación o que $*$ es sumar.

1.2. Estructura de una operación binaria

Una operación binaria asocia dos números y produce un resultado. Su forma típica es:

$$\text{primer operando} \quad \text{operador} \quad \text{segundo operando} = \text{regla}$$

Por ejemplo:

$$a \oplus b = 3a + b^2 - 5$$

Para evaluar $2 \oplus 4$, identificamos:

$$a=2,\qquad b=4$$

Luego reemplazamos en la regla:

$$2 \oplus 4 = 3(2)+4^2-5 = 6+16-5 = 17$$

Este procedimiento de reemplazar letras por números es la base de todo el tema.

Una regla es explícita cuando el enunciado dice directamente cómo se calcula la operación.

2.1. Evaluación directa

Ejemplo:
Se define en $\mathbb{R}$:

$$a \odot b = 2a^2 - 3b + 1$$

Calcule $3 \odot 5$.

Solución:
Aquí $a=3$, $b=5$. Reemplazamos:

$$3 \odot 5 = 2(3)^2 - 3(5) + 1 = 18 - 15 + 1 = 4$$

Cuando hay varias operaciones seguidas, se resuelven primero los paréntesis.

Ejemplo:
Con la misma definición, calcule $(1 \odot 2) \odot 3$.

Primero calculamos:

$$1 \odot 2 = 2(1)^2 - 3(2) + 1 = 2-6+1 = -3$$

Luego:

$$(-3) \odot 3 = 2(-3)^2 - 3(3) + 1 = 18-9+1 = 10$$

2.2. Cuando los operandos no son letras simples

En muchos problemas, la regla no se presenta como $a * b$, sino con expresiones:

$$a^2 * b^3 = 2a + 3b$$

Aquí, el primer operando no es $a$, sino $a^2$; el segundo no es $b$, sino $b^3$.

Ejemplo:
Si $a^2 * b^3 = 2a+3b$, halle $16 * 27$.

Debemos igualar:

$$a^2=16 \Rightarrow a=4$$

$$b^3=27 \Rightarrow b=3$$

Entonces:

$$16 * 27 = 2(4)+3(3) = 8+9 = 17$$

Este formato también aparece con coeficientes:

$$2a^2 \triangle 5b = 3a + 2b^2$$

Para evaluar $18 \triangle 25$, hacemos:

$$2a^2=18 \Rightarrow a^2=9 \Rightarrow a=3$$

$$5b=25 \Rightarrow b=5$$

Entonces:

$$18 \triangle 25 = 3(3)+2(5)^2 = 9+50 = 59$$

La clave es no operar directamente con el número visible, sino preguntarse cuál es la parte que corresponde a la letra.

2.3. Operadores de una sola variable

No todos los operadores son binarios. También hay reglas como:

$$\boxed{x} = 2x - 5$$

o

$$x^{\#} = 2x - x^2$$

En estos casos, el operador actúa sobre un solo número.

Ejemplo:
Si $x^{\#} = 2x - x^2$, calcule $6^{\#} + 4^{\#}$.

$$6^{\#} = 2(6)-6^2 = 12-36 = -24$$

$$4^{\#} = 2(4)-4^2 = 8-16 = -8$$

Entonces:

$$6^{\#}+4^{\#} = -24-8 = -32$$

2.4. Operadores con argumentos desplazados

Algunas definiciones no usan $x$, sino $x+1$, $2x-3$, etc.

Ejemplo:
Se define:

$$\boxed{2x-1} = 6x+5$$

Calcule $\boxed{9}$.

Método directo:
Igualamos $2x-1=9$:

$$2x=10 \Rightarrow x=5$$

Reemplazamos en la regla:

$$\boxed{9} = 6(5)+5 = 30+5 = 35$$

Método práctico:
Observamos que $6x+5$ se puede escribir en términos de $2x-1$:

$$6x+5 = 3(2x-1)+8$$

Por lo tanto:

$$\boxed{t} = 3t+8$$

Así,

$$\boxed{9} = 3(9)+8 = 35$$

Este atajo funciona porque la definición es afín. La justificación es que estamos expresando toda la regla en función del bloque que aparece dentro del símbolo.

2.5. Ecuaciones con operadores

En lugar de pedir únicamente evaluar, el examen puede pedir resolver una ecuación donde aparecen operadores.

Ejemplo:
Se define:

$$a \star b = 3a + b - 1$$

y también:

$$a \blacktriangle b = a^2 + b^2 - 2a$$

Halle la suma de los valores de $y$ que satisfacen:

$$2 \star y = 3 \blacktriangle y$$

Primero aplicamos la primera regla:

$$2 \star y = 3(2)+y-1 = 6+y-1 = y+5$$

Luego aplicamos la segunda regla:

$$3 \blacktriangle y = 3^2 + y^2 - 2(3) = 9+y^2-6 = y^2+3$$

Igualamos:

$$y+5 = y^2+3$$

$$0 = y^2 - y - 2$$

$$0 = (y-2)(y+1)$$

Las soluciones son $y=2$ y $y=-1$. Su suma es $1$.

Algunas reglas no son una sola fórmula, sino que cambian según el tipo de número que se recibe.

Por ejemplo:

$$T(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{si } n \text{ es par} \\ 2n+1, & \text{si } n \text{ es impar} \end{cases}$$

Aquí, antes de operar, hay que preguntarse: ¿el valor actual es par o impar?

Ejemplo:
Con la regla anterior, calcule $T(6)$ y $T(7)$.

• $6$ es par, entonces $T(6)=\frac{6}{2}=3$.
• $7$ es impar, entonces $T(7)=2(7)+1=15$.

En una secuencia, esto se vuelve más interesante. Después de aplicar la regla, el resultado puede cambiar de categoría.

Ejemplo:
Si $T(3)$ se obtiene aplicando la regla anterior, y luego se aplica $T$ al resultado, halle el tercer valor obtenido.

• Primer valor: $T(3)=2(3)+1=7$.
• Segundo valor: $T(7)=2(7)+1=15$.
• Tercer valor: $T(15)=2(15)+1=31$.

En este caso no cambió la paridad, pero en muchos problemas sí cambia.

Ejemplo con cambio de paridad:
Sea:

$$U(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{si } n \text{ es par} \\ 3n+1, & \text{si } n \text{ es impar} \end{cases}$$

Partiendo de $60$, halle el cuarto valor obtenido.

• Primer valor: $U(60)=30$ porque 60 es par.
• Segundo valor: $U(30)=15$.
• Tercer valor: $U(15)=3(15)+1=46$.
• Cuarto valor: $U(46)=23$.

Observa que $60$ era par, pero después de varias operaciones aparece un número impar, y la regla cambia.

En este tipo de problemas, el error más común es usar la regla equivocada para el número nuevo. Cada vez que obtengas un resultado, vuelve a preguntarte si es par, impar, positivo, negativo, etc.

Otra forma de definir una operación es mediante una tabla.

4.1. Lectura de una tabla

En una tabla de doble entrada:

• La primera entrada suele ubicarse en la columna izquierda.
• La segunda entrada suele ubicarse en la fila superior.
• El resultado está en la intersección de la fila y la columna correspondientes.

Ejemplo:
Sobre el conjunto $A=\{1;2;3;4\}$ se define:

$$\begin{array}{c|cccc} \ast & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array}$$

Para calcular $2 \ast 4$, ubicamos:

• Primera componente $2$: fila encabezada por 2.
• Segunda componente $4$: columna encabezada por 4.

La intersección es $1$. Por lo tanto:

$$2 \ast 4 = 1$$

Para calcular $(3 \ast 2) \ast 4$, primero hallamos:

$$3 \ast 2 = 4$$

Luego:

$$4 \ast 4 = 3$$

Regla práctica:
El primer operando se busca en la columna de entrada (izquierda) y el segundo en la fila superior. Invertir este orden cambia el resultado en tablas no conmutativas.

4.2. Deducir la regla desde una tabla

A veces la tabla tiene una ley de formación que permite extender la operación.

Ejemplo:
Se define:

$$\begin{array}{c|ccc} \diamondsuit & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array}$$

Observamos que:

$$1 \diamondsuit 3 = 3,\qquad 2 \diamondsuit 4 = 5,\qquad 4 \diamondsuit 3 = 6$$

En todos los casos, el resultado parece ser:

$$a \diamondsuit b = a+b-1$$

Entonces, si la operación se extendiera a otros números reales, podríamos calcular:

$$4 \diamondsuit 7 = 4+7-1 = 10$$

Precaución:
Solo se puede extender una operación fuera de la tabla si hay evidencia de que existe una regla general. Si la tabla es finita y no se infiere una ley, no podemos calcular valores fuera de ella.

4.3. Propiedades básicas: clausura y conmutativa

Clausura o cerradura

Una operación es cerrada en un conjunto $A$ si, al operar dos elementos de $A$, el resultado siempre pertenece a $A$.

En símbolos:

$$\forall a,b \in A,\quad a*b \in A$$

Ejemplo:
En $\mathbb{N}$, la operación $a*b = 2a+b$ es cerrada, porque la suma y multiplicación de naturales da un natural.

Contraejemplo:
En $\mathbb{Z}$, la operación $a \triangle b = \frac{a}{b}$ no es cerrada, porque $1 \triangle 2 = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$.

Conmutativa

Una operación es conmutativa si el orden de los operandos no altera el resultado:

$$a*b = b*a$$

En una tabla, la operación es conmutativa si la tabla es simétrica respecto de la diagonal principal.

Ejemplo:
La tabla anterior de $\ast$ es simétrica porque:

$$1*2=2*1=2,\quad 2*3=3*2=4,\quad \text{etc.}$$

Por lo tanto, $\ast$ es conmutativa.

La sustracción usual no es conmutativa:

$$5-3=2 \quad \text{pero} \quad 3-5=-2$$

Por eso, en operadores nuevos no debes asumir que el orden es indistinto.

Hay problemas en los que la regla no está dada directamente. Se presentan relaciones que involucran al propio operador y, mediante artificios, se logra obtener la regla explícita.

5.1. Método por analogía: invertir operandos

Este método se usa cuando la regla se define en términos del mismo operador con los operandos invertidos.

Ejemplo:
Se define en $\mathbb{R}$:

$$a*b = 2(b*a) - 3a + 1$$

Halle $2*5$.

Primero, aplicamos la misma regla cambiando $a$ por $b$ y $b$ por $a$:

$$b*a = 2(a*b) - 3b + 1$$

Ahora reemplazamos $b*a$ en la regla original:

$$a*b = 2\bigl(2(a*b) - 3b + 1\bigr) - 3a + 1$$

Simplificamos:

$$a*b = 4(a*b) - 6b + 2 - 3a + 1$$

$$a*b = 4(a*b) - 6b - 3a + 3$$

Pasamos $4(a*b)$ al primer miembro:

$$a*b - 4(a*b) = -6b - 3a + 3$$

$$-3(a*b) = -6b - 3a + 3$$

Multiplicamos por $-1$:

$$3(a*b) = 6b + 3a - 3$$

$$a*b = 2b + a - 1$$

Entonces:

$$2*5 = 2(5)+2-1 = 10+2-1 = 11$$

La idea central del método es: la regla vale para cualquier par de números, así que también vale si intercambias los papeles de $a$ y $b$.

5.2. Método por evaluación: asignar valores convenientes

Se usa cuando la regla relaciona valores sucesivos, por ejemplo:

$$F(x+2) = F(x+1) + x$$

Ejemplo:
Se define en $\mathbb{N}$:

$$F(x+2) = F(x+1) + x$$

Además, $F(2)=20$. Halle $F(12)$.

Asignamos valores convenientes a $x$:

Para $x=1$:

$$F(3) = F(2)+1 = 20+1 = 21$$

Para $x=2$:

$$F(4) = F(3)+2 = 21+2 = 23$$

Para $x=3$:

$$F(5) = F(4)+3 = 23+3 = 26$$

Y así sucesivamente hasta llegar a $F(12)$.

Una forma rápida es sumar las ecuaciones de modo que se eliminen términos:

$$\begin{aligned} F(3) &= F(2)+1 \\ F(4) &= F(3)+2 \\ F(5) &= F(4)+3 \\ &\vdots \\ F(12) &= F(11)+10 \end{aligned}$$

Sumando todo, se cancelan $F(3)$ hasta $F(11)$:

$$F(12) = F(2) + (1+2+\cdots+10)$$

La suma de los primeros 10 enteros positivos es $55$. Entonces:

$$F(12) = 20+55 = 75$$

Este método se llama también evaluación recurrente o telescópica, porque al sumar se cancelan los términos intermedios.

5.3. Reconstrucción de una regla desde datos

Otra forma de regla implícita aparece cuando se dan resultados particulares y se pide inferir la regla.

Ejemplo:
Se sabe que:

$$1 \otimes 3 = 3,\qquad 2 \otimes 4 = 5,\qquad 4 \otimes 3 = 6$$

Si la regla es de la forma $a \otimes b = a+b-1$, podemos verificarla:

$$1+3-1=3$$

$$2+4-1=5$$

$$4+3-1=6$$

Entonces la regla es $a \otimes b = a+b-1$.

En estos casos, conviene probar patrones simples: suma, resta, producto, promesas lineales, etc. No hay una única receta, pero la observación de los resultados y su relación con los operandos es la clave.

Muchos problemas de operadores se presentan con notación de funciones:

$$f(x),\quad g(x),\quad F(x,y)$$

En el fondo, un operador binario $a*b$ es una función de dos variables $F(a,b)$, y un operador unario $\boxed{x}$ es una función de una variable $f(x)$.

6.1. Cambio de variable en reglas desplazadas

Si te dan:

$$f(x+2)=3x-1$$

y necesitas hallar $f(5)$, puedes hacer lo siguiente:

Iguala el argumento a $5$:

$$x+2=5 \Rightarrow x=3$$

Entonces:

$$f(5)=3(3)-1=8$$

Si necesitas una expresión general para $f(x)$, usa cambio de variable:

Sea $t=x+2$. Entonces $x=t-2$. Reemplazamos:

$$f(t)=3(t-2)-1=3t-6-1=3t-7$$

Por lo tanto:

$$f(x)=3x-7$$

Ejemplo:
Si $f(x-3)=x^2+1$, halle $f(6)$.

Igualamos:

$$x-3=6 \Rightarrow x=9$$

Entonces:

$$f(6)=9^2+1=82$$

6.2. Composición de funciones

La composición $f(f(x))$ significa aplicar la regla dos veces: primero a $x$ y luego al resultado obtenido.

Ejemplo:
Si $f(x)=2x+1$, calcule $f(f(3))$.

Primero:

$$f(3)=2(3)+1=7$$

Luego:

$$f(f(3))=f(7)=2(7)+1=15$$

Cuando la regla tiene argumento desplazado, por ejemplo:

$$g(x+1)=f(f(x))$$

para hallar $g(2)$, debes notar que $g(2) = g(1+1)$, así que $x=1$:

$$g(2)=f(f(1))$$

6.3. Funciones de dos variables anidadas

Una expresión como $F(3,F(3,4))$ exige evaluar primero $F(3,4)$ y luego usar ese resultado como segundo operando.

Ejemplo:
Si $F(x,y)=x^2-y^2$, calcule $F(3,F(3,4))$.

Primero:

$$F(3,4)=3^2-4^2=9-16=-7$$

Luego:

$$F(3,-7)=3^2-(-7)^2=9-49=-40$$

6.4. Funciones definidas por sistemas

A veces se dan la suma y la diferencia de dos funciones:

$$P(x)+Q(x)=2x+3$$

$$P(x)-Q(x)=4x-1$$

Sumando ambas ecuaciones:

$$2P(x)=6x+2 \Rightarrow P(x)=3x+1$$

Restando:

$$2Q(x)=-2x+4 \Rightarrow Q(x)=-x+2$$

Entonces se puede evaluar cualquier composición o expresión.

6.5. Ecuaciones funcionales sencillas

Si se da una propiedad como:

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

para todos $x,y$ positivos, se puede evaluar usando descomposiciones convenientes.

Por ejemplo, si $f(1)=2$, entonces:

$$f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)$$

Pero $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=4$. Luego:

$$f(3)=2+4=6$$

También:

$$f(3)=f\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right)=2f\left(\frac{3}{2}\right)$$

Por lo tanto:

$$2f\left(\frac{3}{2}\right)=6 \Rightarrow f\left(\frac{3}{2}\right)=3$$

7.1. Identidades notables disfrazadas

Muchas definiciones son en realidad identidades algebraicas conocidas.

Ejemplo:

$$a \otimes b = a^2+b^2+2ab$$

es, claramente:

$$a \otimes b = (a+b)^2$$

También:

$$a \triangle b = a^2+b^2-2ab$$

es:

$$a \triangle b = (a-b)^2$$

Reconocer estas identidades permite simplificar rápidamente:

$$2 \otimes 3 = (2+3)^2=25$$

$$4 \triangle 5 = (4-5)^2=1$$

7.2. Operadores exponenciales o radicales

A veces el operador se define como:

$$a \square b = a^b$$

o con raíces:

$$a \# b = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

No hay que asustarse: la regla sigue siendo reemplazar y operar. Si el operador es una potencia, respeta las leyes de exponentes que ya conoces.

7.3. Complemento aritmético como operador

En aritmética, el complemento aritmético de un número es una operación definida.

Para un número de $k$ cifras, su complemento aritmético es:

$$CA(N) = 10^k - N$$

Por ejemplo, si $N=73$, que tiene dos cifras:

$$CA(73)=10^2-73=100-73=27$$

Si el número es de dos cifras y se representa como $\overline{xy}=10x+y$, entonces:

$$CA(\overline{xy}) = 100 - (10x+y)$$

Esta operación puede aparecer combinada con números de dos cifras.

Cuando enfrentes un problema de operadores matemáticos, conviene seguir este orden:

1. Identifica la operación y su regla.
   ¿Está definida explícitamente? ¿Está en una tabla? ¿Es una función?

2. Reconoce el formato del operando.
   Pregúntate: ¿la letra es simple o está acompañada de exponentes, coeficientes o desplazamientos?

3. Aplica la regla respetando paréntesis y anidamientos.
   Siempre de adentro hacia afuera.

4. Si hay condiciones, verifica cada valor antes de operar.
   Por ejemplo, par o impar, positivo o negativo, natural o real.

5. Si la regla no es explícita, usa un método.

   • Analogía o inversión de operandos.
   • Evaluación recurrente.
   • Reconstrucción desde datos o tabla.

6. Simplifica y resuelve.
   Muchas veces se llega a una ecuación lineal o cuadrática.

7. Comprueba restricciones.
   Si el problema pide $x>3$ o soluciones naturales, descarta las que no cumplan.