Lógica proposicional (conectores lógicos, simbolización)

1.1. Enunciado y proposición lógica

Un enunciado es cualquier frase, oración o expresión que comunica una o más ideas. No todos los enunciados son proposiciones lógicas. Por ejemplo:

• “¡Cállate!” es una orden, no es proposición.
• “¿Qué hora es?” es una pregunta, no es proposición.
• “La UNMSM es una universidad pública” sí es proposición.

Una proposición lógica es un enunciado declarativo que tiene un único valor de verdad: o es verdadero (V) o es falso (F), sin ambigüedad. No importa si su contenido es verdadero o falso, lo importante es que se puede decidir.

Ejemplos:

• $p$: “La UNMSM es una universidad pública” (V)
• $q$: “$7 + 2 = 10$” (F)
• $r$: “El Perú tiene costa, sierra y selva” (V)
• $s$: “El 3 es un número par” (F)

Observa que $q$ y $s$ son falsas, pero siguen siendo proposiciones porque tienen un valor de verdad definido.

1.2. Proposiciones simples y compuestas

Las proposiciones lógicas se clasifican en simples y compuestas.

• Proposiciones simples o atómicas: expresan una sola idea y no contienen conectores lógicos. Por ejemplo: “El sol sale por el este”, “María estudia”.
• Proposiciones compuestas o moleculares: expresan más de una idea y contienen al menos un conector lógico. Por ejemplo: “María estudia y Luis trabaja” (conjunción), “No asisto al cine” (negación), “Si estudias, ingresas” (condicional).

En la simbolización, cada proposición simple se representa con una variable proposicional ($p, q, r, \ldots$) y los conectores se reemplazan por símbolos.

1.3. Variables proposicionales y signos de agrupación

Una variable proposicional es una letra que representa una proposición simple. Solo puede tomar dos valores: V o F.

Cuando una proposición compuesta tiene varios conectores, puede existir ambigüedad sobre cuál se aplica primero. Para evitarla, se usan signos de agrupación: paréntesis $( )$, corchetes $[ ]$ y llaves $\{ \}$. Todo lo que está dentro de un signo de agrupación se evalúa como un bloque.

Por ejemplo, no es lo mismo:

• $p \land (q \lor r)$: primero se evalúa $q \lor r$ y luego la conjunción con $p$.
• $(p \land q) \lor r$: primero se evalúa $p \land q$ y luego la disyunción con $r$.

Un conector lógico es una palabra o símbolo que sirve para negar una proposición o enlazar proposiciones simples. Los principales conectores son:

Cada conector tiene una tabla de verdad que muestra todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones que lo componen.

2.1. Negación ($\sim$)

La negación invierte el valor de verdad de una proposición. Se lee “no $p$”, “no es cierto que $p$”, “es falso que $p$”.

Tabla de verdad:

Ejemplo: si $p$: “Asisto al cine”, entonces $\sim p$: “No asisto al cine”. Si $p$ es verdadera, $\sim p$ es falsa; si $p$ es falsa, $\sim p$ es verdadera.

2.2. Conjunción ($\land$)

La conjunción une dos proposiciones y es verdadera solo cuando ambas son verdaderas. Se lee “$p$ y $q$”. Palabras que la indican: “y”, “pero”, “sin embargo”, “aunque”, “también”, “además”.

Tabla de verdad:

Ejemplo: “José trabaja y estudia”. Solo es verdadera si José trabaja y también estudia; si falta una de las dos, la proposición es falsa.

2.3. Disyunción inclusiva ($\lor$)

La disyunción inclusiva es el “o” que admite ambos. Es falsa solo cuando ambas componentes son falsas. Se lee “$p$ o $q$” (o ambos). Palabras que la indican: “o”, “salvo que”, “o sino”, “excepto que”.

Tabla de verdad:

Ejemplo: “Ana canta o baila”. Es verdadera si Ana canta, si baila o si hace ambas; solo es falsa si no canta y no baila.

2.4. Disyunción exclusiva ($\Delta$)

La disyunción exclusiva es el “o” excluyente. Es verdadera solo cuando exactamente una de las dos componentes es verdadera. Se lee “o bien $p$, o bien $q$”, “$p$ o $q$, pero no ambos”. Palabras o giros: “o bien... o bien”, “salvo que solo”, “a menos que solamente”.

Tabla de verdad:

Ejemplo: “O bien viajas en bus o bien viajas en tren”. Es verdadera si viajas en uno solo de esos medios; es falsa si viajas en ambos o en ninguno.

2.5. Condicional ($\rightarrow$)

La condicional expresa una implicación. Se lee “si $p$, entonces $q$”. A $p$ se le llama antecedente y a $q$, consecuente. Es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en todos los demás casos es verdadera.

Tabla de verdad:

Ejemplo: “Si estudias, ingresas”. La afirmación es falsa únicamente si estudias y no ingresas. Si no estudias, la implicación se considera verdadera porque no se incumple la condición.

Palabras o giros que indican condicional:

• “Si $p$, entonces $q$” → $p \rightarrow q$
• “$p$, por lo tanto $q$” → $p \rightarrow q$
• “$q$ porque $p$” → $p \rightarrow q$
• “$q$ dado que $p$” → $p \rightarrow q$
• “$p$ solo si $q$” → $p \rightarrow q$
• “$q$ si $p$” → $p \rightarrow q$
• “$p$ es condición suficiente para $q$” → $p \rightarrow q$
• “$q$ es condición necesaria para $p$” → $p \rightarrow q$

Cuidado con el giro “$p$ si $q$”, que invierte el orden: se simboliza $q \rightarrow p$.

2.6. Bicondicional ($\leftrightarrow$)

La bicondicional afirma que dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Es verdadera solo cuando ambas componentes son iguales (ambas V o ambas F). Se lee “$p$ si y solo si $q$”, “$p$ cuando y solo cuando $q$”, “$p$ es lo mismo que $q$”.

Tabla de verdad:

Ejemplo: “Asistirás al evento si y solo si te inscribes”. Es verdadera si ambas son V (te inscribes y asistes) o ambas son F (no te inscribes y no asistes); es falsa si una es V y la otra F.

Simbolizar es traducir un enunciado del lenguaje natural al lenguaje de la lógica proposicional. Para ello se identifican las proposiciones simples, se asignan variables y se representan los conectores con sus símbolos, respetando la jerarquía.

3.1. Palabras y giros que corresponden a cada conector

Es útil recordar las palabras o giros que activan cada conector:

• Negación: “no”, “nunca”, “jamás”, “es falso que”, “no es cierto que”.
• Conjunción: “y”, “e”, “pero”, “sin embargo”, “aunque”, “además”, “también”, “asimismo”.
• Disyunción inclusiva: “o”, “u”, “salvo que”, “excepto que”, “o sino”.
• Disyunción exclusiva: “o bien... o bien”, “solo... o solo...”, “o... o... pero no ambos”.
• Condicional: “si... entonces”, “porque”, “dado que”, “solo si”, “es condición suficiente para”.
• Bicondicional: “si y solo si”, “cuando y solo cuando”, “es lo mismo que”, “es condición necesaria y suficiente para”.

3.2. Jerarquía de conectores y signos de puntuación

Cuando hay varios conectores, la agrupación depende de la jerarquía de los conectores y de los signos de puntuación.

La jerarquía usual es:

1. Negación ($\sim$) tiene mayor prioridad: se aplica a lo que está inmediatamente a su lado o al bloque que está entre paréntesis.
2. Conjunción, disyunción inclusiva y disyunción exclusiva ($\land, \lor, \Delta$) tienen prioridad media.
3. Condicional y bicondicional ($\rightarrow, \leftrightarrow$) tienen prioridad menor: suelen ser el conector principal si no hay signos de agrupación.

Por ejemplo, $\sim p \land q$ se evalúa primero negando $p$ y luego aplicando la conjunción: $(\sim p) \land q$. Si se quisiera negar toda la conjunción, se escribiría $\sim(p \land q)$.

En el lenguaje natural, los signos de puntuación ayudan a agrupar. La intensidad de pausa indica la jerarquía del conector:

• Coma $(,)$ → pausa menor.
• Punto y coma $(;)$ → pausa mayor que la coma.
• Dos puntos $(:)$ → pausa mayor que el punto y coma.
• Punto $(.)$ → pausa máxima.

Un conector que aparece después de una pausa mayor suele ser más externo, es decir, de mayor jerarquía. Por ejemplo:

• “Estudia y trabaja, pero descansa” → $(p \land q) \land r$, donde $p$: estudia; $q$: trabaja; $r$: descansa. La coma separa el bloque “estudia y trabaja” del bloque “descansa”, y el “pero” (conjunción) es el conector principal.
• “Estudia, y trabaja pero descansa” → $p \land (q \land r)$. La coma después de “estudia” indica que la primera conjunción es la principal y que “trabaja pero descansa” es un bloque interno.

3.3. Pasos para simbolizar

Se recomienda seguir estos pasos:

1. Identificar proposiciones simples y asignarles una letra.
2. Reescribir mentalmente el enunciado eliminando adornos lingüísticos y dejando visibles los conectores.
3. Reemplazar cada proposición simple por su variable y cada conector por su símbolo.
4. Jerarquizar los conectores usando signos de agrupación, según las pausas (coma, punto y coma, etc.) o el sentido natural del enunciado.

3.4. Ejemplos de simbolización

Ejemplo A: “Si Mariana estudia y repasa, entonces aprobará”.

• $p$: Mariana estudia.
• $q$: Mariana repasa.
• $r$: Mariana aprueba.

Estructura: “Si $p$ y $q$, entonces $r$”. La coma después de “repasa” separa el antecedente completo del consecuente. Formalización: $(p \land q) \rightarrow r$.

Ejemplo B: “Es médico o abogado, pero no es ingeniero”.

• $p$: es médico.
• $q$: es abogado.
• $r$: es ingeniero.

Estructura: “$p$ o $q$, pero no $r$”. La coma después de “abogado” indica que “pero” une todo el bloque anterior con $\sim r$. Formalización: $(p \lor q) \land \sim r$.

Ejemplo C: “Iremos a la playa si hace sol; sin embargo, no terminamos la tarea”.

• $p$: iremos a la playa.
• $q$: hace sol.
• $r$: terminamos la tarea.

La primera parte es “$p$ si $q$”, que equivale a $q \rightarrow p$. La segunda parte es $\sim r$. El “sin embargo” es una conjunción entre ambas. Formalización: $(q \rightarrow p) \land \sim r$.

Ejemplo D: “O bien postulo a San Marcos o, si no estudio, no postulo; sin embargo, viajo a Lima”.

• $p$: postulo a San Marcos.
• $q$: estudio.
• $r$: viajo a Lima.

Estructura: la primera parte es una disyunción exclusiva entre $p$ y $(\sim q \rightarrow \sim p)$. Luego, “sin embargo” introduce una conjunción con $r$. Formalización: $[p \Delta (\sim q \rightarrow \sim p)] \land r$.

Este tipo de análisis es el que exige la simbolización en preguntas de admisión: leer con cuidado los signos de puntuación y el alcance de cada conector.

4.1. Negación lógica de una proposición compuesta

Negar una proposición compuesta no es simplemente añadir “no” al inicio; hay que transformarla según leyes lógicas. Las más importantes son:

• Negación de la negación: $\sim(\sim p) \equiv p$
• Negación de la conjunción (De Morgan): $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$
• Negación de la disyunción inclusiva (De Morgan): $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$
• Negación de la condicional: $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q$
• Negación de la bicondicional: $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv p \Delta q$
• Negación de la disyunción exclusiva: $\sim(p \Delta q) \equiv p \leftrightarrow q$

Estas equivalencias se obtienen de las tablas de verdad. Por ejemplo, $p \rightarrow q$ es falsa solo en la fila $p=V, q=F$. Su negación debe ser verdadera solo en esa misma fila, lo que corresponde a $p \land \sim q$.

4.2. Equivalencias notables

Dos proposiciones compuestas son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. En lugar de construir la tabla, se pueden transformar mediante leyes. Algunas equivalencias notables son:

• $p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q$ (la implicación se puede expresar como disyunción)
• $p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$ (contrarrecíproca)
• $p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p)$
• $p \leftrightarrow q \equiv \sim(p \Delta q)$
• $p \lor \sim p \equiv V$ (tautología)
• $p \land \sim p \equiv F$ (contradicción)

4.3. Uso para transformar y simplificar

Estas equivalencias son la base para simplificar proposiciones. Por ejemplo, si una expresión contiene $\sim(p \rightarrow q)$, conviene convertirla en $p \land \sim q$, que es más fácil de evaluar.

5.1. Tabla de verdad completa

Para construir la tabla de verdad de una proposición compuesta:

1. Listar las variables $p, q, r, \ldots$
2. Establecer $2^n$ filas, donde $n$ es el número de variables.
3. Asignar los valores de las variables en orden binario.
4. Evaluar la expresión paso a paso, desde los paréntesis internos hacia afuera.
5. Observar la columna final.

Ejemplo: construir la tabla de $(p \land q) \rightarrow r$.

Observa que la expresión solo es falsa cuando el antecedente $p \land q$ es verdadero (es decir, $p=V$ y $q=V$) y el consecuente $r$ es falso.

5.2. Método abreviado (evaluación a partir de valores conocidos)

Si se conocen los valores de verdad de las proposiciones simples, se puede evaluar directamente la expresión compuesta. Por ejemplo, si $p$ es V, $q$ es F y $r$ es V, evaluar $\sim(p \lor q) \land r$:

• $p \lor q$: V ∨ F = V.
• $\sim(p \lor q)$: ∼V = F.
• $\sim(p \lor q) \land r$: F ∧ V = F.

Este método es rápido y muy usado en preguntas donde se da que una proposición compuesta es F o V y se pide deducir los valores de las proposiciones simples.

5.3. Tautología, contradicción y contingencia

Según el resultado de su tabla de verdad, un esquema proposicional puede ser:

• Tautología: todos los valores son V. Es siempre verdadera. Ejemplo: $p \lor \sim p$.
• Contradicción: todos los valores son F. Es siempre falsa. Ejemplo: $p \land \sim p$.
• Contingencia: tiene al menos una V y al menos una F. Su valor depende de los valores de las variables. Ejemplo: $p \land q$.

Las leyes del álgebra proposicional permiten transformar unas expresiones en otras equivalentes. Las más usadas en el curso son:

Doble negación: $\sim(\sim p) \equiv p$

Idempotencia: $p \land p \equiv p$; $p \lor p \equiv p$

Conmutativa: $p \land q \equiv q \land p$; $p \lor q \equiv q \lor p$

Asociativa: $$(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$$ $$(p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)$$

Distributiva: $$p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$$ $$p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$$

De Morgan: $$\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$$ $$\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$$

Absorción: $$p \land (p \lor q) \equiv p$$ $$p \lor (p \land q) \equiv p$$

Identidad: $$p \lor F \equiv p; \quad p \land V \equiv p$$ $$p \lor V \equiv V; \quad p \land F \equiv F$$

Complemento: $$p \lor \sim p \equiv V; \quad p \land \sim p \equiv F$$

Condicional: $$p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q$$

Contrarrecíproca: $$p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$$

Negación de condicional: $$\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q$$

Bicondicional y disyunción exclusiva: $$\sim(p \leftrightarrow q) \equiv p \Delta q$$ $$\sim(p \Delta q) \equiv p \leftrightarrow q$$

Con estas leyes se puede simplificar una expresión larga hasta llegar a una forma equivalente más breve. En los ejemplos resueltos verás cómo se aplican.