Implicancias. Deducción simple

En un problema de deducción simple, las premisas son informaciones que debes aceptar como verdaderas. Tu tarea es encontrar una conclusión que sea consecuencia lógica de ellas. Si las premisas son verdaderas y el razonamiento es válido, la conclusión también es verdadera.

Un razonamiento válido es aquel que no puede llevar de premisas verdaderas a una conclusión falsa. Las reglas de inferencia que veremos son formas válidas. También hay formas que parecen lógicas pero no lo son, y debes aprender a evitarlas.

La deducción se llama simple porque aquí las situaciones no son muy complicadas: se manejan pocas proposiciones y se puede resolver de manera directa. Cuando los problemas mezclan muchas variables, se habla de deducción compuesta; en este capítulo solo nos asomaremos a esa idea.

La deducción inmediata es el caso más sencillo. Consiste en relacionar directamente las premisas para obtener una conclusión, sin necesidad de tablas complejas ni cadenas largas. Basta leer los datos, identificar la regla y aplicarla.

Ejemplo 1

En un sorteo, solo tienen posibilidades de ganar quienes recibieron un número par. Ana recibió un número impar. La suma del número de Ana y el de Beto es un número impar. ¿Quién tiene posibilidades de ganar?

Razonamiento:

• Ana tiene número impar.
• La suma de su número con el de Beto es impar.
• Un número impar más un número par da impar; un número impar más un número impar da par.
• Por lo tanto, si Ana es impar y la suma es impar, Beto debe ser par.
• La primera premisa dice que solo los que tienen número par tienen posibilidades. Beto tiene número par; por tanto, Beto tiene posibilidades de ganar.

Este tipo de relación entre paridad y deducción aparece en el examen. Conviene recordar las reglas básicas:

• Par + Par = Par
• Impar + Impar = Par
• Par + Impar = Impar
• Un producto es impar solo si todos los factores son impares; si al menos un factor es par, el producto es par.

La deducción inmediata no siempre es aritmética. También puede ser verbal.

Ejemplo 2

«Es falso que no viajé a Ica.» Por doble negación: viajé a Ica.

Ejemplo 3

«No es cierto que Luis canta y no baila.» Por De Morgan: Luis no canta o baila. Si después nos dicen que Luis canta, obligamos a que baile.

Deducción con información gráfica

En algunos problemas, los datos no son solo frases: son esquemas, ubicaciones o cifras dentro de un dibujo. La deducción simple consiste en leer correctamente esa información y aplicar una regla. No necesitas fórmulas complicadas: solo identificar la relación solicitada y descartar opciones según el dato.

Este tipo de pregunta muestra que la deducción simple no es solo lógica proposicional, sino razonamiento a partir de cualquier dato estructurado.

La mayoría de deducciones simples usa premisas de la forma «Si $p$, entonces $q$». Con ellas se aplican dos reglas inmediatas y una regla para encadenar.

Modus ponens: si se afirma el antecedente, se afirma el consecuente

$$\begin{array}{c} p \rightarrow q \\ p \\ \hline \therefore q \end{array}$$

Si «si llueve, entonces el patio se moja» y sabemos que «llueve», concluimos «el patio se moja». La justificación está en la tabla del condicional: cuando $p$ es V y $p \rightarrow q$ es V, la única posibilidad es $q$ V.

Modus tollens: si se niega el consecuente, se niega el antecedente

$$\begin{array}{c} p \rightarrow q \\ \sim q \\ \hline \therefore \sim p \end{array}$$

Si «si llueve, el patio se moja» y sabemos que «el patio no se mojó», concluimos «no llovió». ¿Por qué? Porque si hubiera llovido, se habría mojado; como no se mojó, no pudo haber llovido. Esta regla es equivalente a la contrarrecíproca: $p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$.

Muchos problemas se resuelven combinando estas dos reglas.

Silogismo hipotético: encadenar condicionales

$$\begin{array}{c} p \rightarrow q \\ q \rightarrow r \\ \hline \therefore p \rightarrow r \end{array}$$

Si «si Juan estudia, ingresará» y «si ingresa, celebrará», entonces «si Juan estudia, celebrará». Esta regla permite unir dos o más condicionales para llegar a conclusiones más lejanas.

Es importante que el consecuente de la primera coincida con el antecedente de la segunda. No vale encadenar $p \rightarrow q$ y $r \rightarrow q$, ni $p \rightarrow q$ y $q \rightarrow r$ al revés.

La contrarrecíproca como atajo

En vez de usar modus tollens, puedes transformar el condicional y aplicar modus ponens. Por ejemplo, en «si no hay electricidad, no funciona la bomba de agua», si sabemos que «la bomba funcionó», puedes decir: «si la bomba funcionó, entonces hubo electricidad» (contrarrecíproca), y de ahí concluir. Es la misma idea.

Condicionales en contextos con restricciones

A veces las premisas condicionales vienen mezcladas con restricciones de colores, lugares o características. En esos casos conviene no perderse: la condicional solo se activa cuando su antecedente se cumple, y si su consecuente se niega, niegas el antecedente.

Este tipo de pregunta está a medio camino entre la deducción simple y la lógica de clases: usa condicionales y restricciones entre conjuntos de objetos.

Las premisas también pueden estar escritas con «y», «o» y negaciones. Aquí las reglas son más algebraicas.

Simplificación de una conjunción

Si una premisa dice $p \wedge q$, puedes afirmar $p$ por separado. Si «María estudia y trabaja», concluyes «María estudia».

Doble negación

Si te dicen «no es cierto que no fui», concluyes «fui». Estas dobles negaciones aparecen con frecuencia y a veces ocultan una afirmación rotunda.

De Morgan y equivalencia del condicional

Cuando hay una negación que afecta a un «y» o a un «o», conviene reescribirla:

• «No es cierto que hace frío y no congela» equivale a «no hace frío o congela».
• «No es cierto que Pedro canta o baila» equivale a «Pedro no canta y no baila».

La equivalencia $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ te permite transformar un condicional en disyunción y viceversa. Esto es útil cuando una premisa está escrita como «No canta o baila», que equivale a «Si canta, entonces baila».

Silogismo disyuntivo

Si tienes $p \vee q$ y sabes que $p$ es falso, entonces $q$ es verdadero. Es la regla de «descartar un camino».

Ejemplo: «En la caja hay un chocolate o un caramelo. No hay chocolate.» Conclusión: hay caramelo.

Cuidado con los dos tipos de «o»

En la lógica usual, «o» es inclusivo: permite ambos. Si el problema quiere «o uno o el otro, pero no ambos», suele decirlo con «o ... o ...», «solo uno» o «a lo sumo uno». En deducción simple, si no te aclaran, usa el inclusivo. Por ejemplo, «Juan compra pan o leche» no impide que compre ambos.

Muchas preguntas usan los llamados cuantificadores: «todos», «algunos», «ninguno». La deducción aquí se apoya en relaciones de conjuntos. No necesitas formalizar mucho, pero sí dibujar mentalmente diagramas de Venn.

Las tres formas básicas:

1. Todos los $A$ son $B$: todo elemento de $A$ también está en $B$. El conjunto $A$ está totalmente incluido en $B$.
2. Algunos $A$ son $B$: existe al menos un elemento común a $A$ y $B$. Los conjuntos se intersecan parcialmente.
3. Ningún $A$ es $B$: no hay elementos comunes. Los conjuntos son disjuntos.

También aparece algunos $A$ no son $B$: hay al menos un elemento de $A$ que no está en $B$. Esto no es lo mismo que «algunos $A$ son $B$».

Con esta interpretación se pueden resolver deducciones. Por ejemplo:

• Todos los médicos son profesionales.
• Ningún profesional es analfabeto.
• Conclusión: ningún médico es analfabeto.

Aquí encadenamos inclusión y exclusión: si fuera cierto que «algún médico es analfabeto», ese médico sería profesional y analfabeto, lo que contradice la segunda premisa.

Otro ejemplo:

• Algunos deportistas son músicos.
• Todos los músicos son creativos.
• Conclusión: algunos deportistas son creativos.

¿Por qué? El deportista que es músico pertenece a la intersección y, por la inclusión, también es creativo.

Errores típicos:

• De «todos los $A$ son $B$» no se sigue «todos los $B$ son $A$». Puede haber $B$ fuera de $A$.
• De «algunos $A$ son $B$» no se sigue «algunos $A$ no son $B$». Puede que todos los $A$ sean $B$.
• De «ningún $A$ es $B$» y «ningún $B$ es $C$» no se sigue nada sobre $A$ y $C$: ambos podrían coincidir fuera de $B$.

La deducción con cuantificadores anticipa el siguiente tema, Lógica de Clases, donde se formalizará todo esto con diagramas y proposiciones categóricas.

Ya vimos que no todas las premisas son proposiciones lógicas. Algunas son relaciones aritméticas o fórmulas. En el examen UNMSM aparecen preguntas donde hay que deducir una interpretación a partir de una igualdad sencilla. No es un tema aparte: es deducción simple aplicada a símbolos matemáticos.

Por ejemplo, si te dan la igualdad $R \cdot C \cdot t = V$, donde $t$ es tiempo en horas, $C$ es número de células, $V$ es número de virus y $R$ es una tasa, puedes deducir qué unidades debe tener $R$. Despejando mentalmente, $R$ debe expresarse como $V/(C \cdot t)$, es decir, virus por hora y por célula. La atención está puesta en leer la igualdad y no en memorizar fórmulas.

Este tipo de pregunta muestra que «deducción» se refiere a inferir la información pedida a partir de una regla dada, sin importar si la regla es verbal, numérica o gráfica.

Por otro lado, cuando los datos son gráficos o espaciales, la deducción consiste en extraer información implícita de la figura, como vimos en la pregunta de los asientos. No te apresures a responder con la primera impresión: busca la regla que define la relación.

Aunque cada problema es distinto, conviene seguir un orden.

1. Lee todas las premisas e identifica su estructura. Subraya las palabras lógicas: «si... entonces...», «y», «o», «no», «todos», «algunos», «ninguno».

2. Acepta que todas las premisas son verdaderas. No discutas si son realistas. Trabaja con ellas como si fueran datos.

3. Asigna proposiciones simples si ayuda. Por ejemplo, $p$: «llueve», $q$: «el patio se moja». Esto traduce el problema al lenguaje que ya dominas.

4. Busca la regla de inferencia que se puede aplicar. Si hay un condicional y se afirma su antecedente, usa modus ponens; si se niega su consecuente, modus tollens; si hay dos condicionales encadenables, silogismo. Si hay negaciones compuestas, usa De Morgan o doble negación.

5. Encadena conclusiones. A menudo la respuesta no sale de una sola premisa, sino de dos o tres pasos.

6. Verifica cada alternativa contra tu conclusión. No confundas «es posible» con «se deduce necesariamente». El examen pide lo que se puede afirmar con certeza.

Atajos justificados

• Empieza por la premisa más restrictiva. Una negación tajante o un dato numérico exacto suele determinar el camino.
• Usa la contrarrecíproca para ver más rápido las consecuencias de una negación.
• Niega la conclusión para probar contradicción. Si negar una alternativa produce una contradicción con los datos, entonces la alternativa es obligatoria. Este es el método indirecto.
• No construyas tablas completas si no hace falta. En deducción simple, las reglas básicas son más rápidas.