Máximos y mínimos 3

Casi todos los problemas de recorrido mínimo se resuelven con la misma estrategia:

1. Representar las superficies o las restricciones en un plano.
2. Reflejar puntos o desarrollar el sólido para que el camino pedido quede “estirado”.
3. Trazar un segmento recto entre los puntos correspondientes.
4. Interpretar ese segmento sobre la situación original.

Piensa en una cuerda tensa. Si una hormiga camina por el camino más corto sin romper las reglas, su camino debe ser como una cuerda jalada por los extremos: en el desarrollo, la cuerda queda recta. Si queda quebrada, es porque se puede acortar.

2.1 Camino directo entre dos puntos

Si no hay ninguna restricción, el recorrido mínimo entre $A$ y $B$ es simplemente $AB$. El problema se vuelve interesante cuando el camino debe tocar una recta, una pared o un obstáculo.

2.2 Camino que debe tocar una recta: uso de simetría

Situación típica

Dos puntos $A$ y $B$ están en un mismo lado de una recta $L$. Se busca el camino más corto que parte de $A$, toca un punto $P$ de $L$ y termina en $B$.

Método

1. Refleja $B$ respecto de $L$, obteniendo $B'$.
2. Traza el segmento $AB'$.
3. El punto $P$ buscado es la intersección de $AB'$ con $L$.
4. El camino óptimo es $A \to P \to B$.

Justificación

Para cualquier punto $P$ de $L$,

$$AP+PB=AP+PB'$$

porque $B'$ es el reflejo de $B$. Entonces, minimizar $AP+PB$ equivale a minimizar $AP+PB'$. Pero $AP+PB'$ es mínimo cuando $A$, $P$ y $B'$ están alineados, es decir, cuando $P$ está sobre el segmento $AB'$.

Una consecuencia importante: en el camino óptimo, el ángulo de entrada a la recta es igual al ángulo de salida. Es como la ley de reflexión de la luz.

Ejemplo breve

Si $A=(1,4)$, $B=(5,2)$ y la recta es $y=0$, refleja $B$ respecto del eje $X$: $B'=(5,-2)$. Luego,

$$AB'=\sqrt{(5-1)^2+(-2-4)^2} =\sqrt{4^2+(-6)^2} =\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$$

Esa es la longitud mínima.

2.3 Camino que debe tocar dos rectas en un orden dado

Ahora se pide, por ejemplo, ir de $A$ a $B$ tocando primero una recta $L_1$ y después otra recta $L_2$.

Regla práctica

Las reflexiones se hacen en orden inverso al de las rectas que se tocan.

Si el camino debe ser:

$$A \to L_1 \to L_2 \to B,$$

entonces:

1. Refleja $B$ respecto de $L_2$, obteniendo $B_1$.
2. Refleja $B_1$ respecto de $L_1$, obteniendo $B_2$.
3. Traza el segmento $A B_2$.
4. El punto donde $A B_2$ corta a $L_1$ es $P$.
5. Desde $P$, traza $P B_1$; su intersección con $L_2$ es $Q$.
6. El camino óptimo es $A \to P \to Q \to B$.

La longitud mínima es simplemente $A B_2$.

¿Por qué funciona? Porque cada reflexión convierte una parte del camino que viene después en un segmento equivalente. Al final, todo el recorrido queda representado por el segmento recto $A B_2$.

2.4 Caminos con tres o más condiciones

La misma idea se extiende. Si el camino debe tocar,

$$L_1,\; L_2,\; L_3,\dots, L_n$$

en ese orden, refleja el punto final $B$ respecto de $L_n$, luego respecto de $L_{n-1}$, y así sucesivamente hasta $L_1$. El segmento desde $A$ hasta el último reflejo da la longitud mínima y señala los puntos de contacto.

3.1 El desarrollo como herramienta

Cuando una hormiga camina sobre un sólido, no puede “volar” siguiendo una diagonal en el aire. Debe moverse sobre la superficie. Entonces, la idea es desdoblar la superficie en un plano.

Al desarrollar el sólido:

• cada camino sobre la superficie se convierte en un camino plano;
• las longitudes se conservan;
• el camino más corto sobre el sólido corresponde a un segmento recto en el desarrollo.

Hay que tener cuidado: un mismo sólido puede tener varios desarrollos posibles. Por eso, en muchos casos hay que comparar candidatos.

3.2 Prisma rectangular o caja

Situación típica

Una hormiga está en un punto $A$ de la superficie de una caja y debe ir a otro punto $B$. La caja es un paralelepípedo rectangular de dimensiones $a$, $b$ y $c$.

Método

1. Decide qué caras va a atravesar el camino.
2. Desdobla esas caras en un plano.
3. Traza el segmento $AB$.
4. Calcula su longitud con Pitágoras.
5. Repite para otros desarrollos posibles y elige el menor.

Caso usual: de un vértice al vértice opuesto

Si la caja tiene dimensiones $a$, $b$ y $c$, una hormiga debe ir de un vértice al vértice opuesto. Los caminos que recorren dos caras adyacentes dan longitudes como:

$$\sqrt{a^2+(b+c)^2},\qquad \sqrt{b^2+(a+c)^2},\qquad \sqrt{c^2+(a+b)^2}.$$

Se toma la menor de ellas.

Ejemplo breve

En una caja de dimensiones $1$, $2$ y $3$, los candidatos son:

$$\sqrt{1^2+(2+3)^2}=\sqrt{26},$$

$$\sqrt{2^2+(1+3)^2}=\sqrt{20},$$

$$\sqrt{3^2+(1+2)^2}=\sqrt{18}.$$

El menor es $\sqrt{18}=3\sqrt2$.

3.3 Cilindro recto

El manto de un cilindro recto de radio $r$ y altura $h$ se desarrolla como un rectángulo de:

• ancho: $2\pi r$,
• alto: $h$.

Puntos en el manto

Si dos puntos $P$ y $Q$ están sobre el manto del cilindro y su separación angular es $\theta$ radianes, la distancia horizontal en el desarrollo es el arco:

$$s=r\theta.$$

Si además sus alturas son $y_P$ y $y_Q$, la distancia sobre el manto es

$$d=\sqrt{(r\theta)^2+(y_Q-y_P)^2}.$$

Como el cilindro se puede enrollar varias veces, en realidad se debe considerar también $s+2n\pi r$, con $n$ entero. Para el camino mínimo se elige la menor de esas posibilidades, normalmente la que corresponde al arco más corto entre los puntos.

Cilindro abierto: camino exterior-interior

Un caso especialmente importante para la UNMSM es el de un cilindro sin tapa superior, con una hormiga en un punto exterior $P$ y su comida en un punto interior $Q$. Como no puede atravesar la superficie, la hormiga debe cruzar el borde superior.

Para resolver este tipo:

1. Desdobla el manto exterior como un rectángulo.
2. Desdobla también el manto interior como si girara respecto del borde superior.
3. Al abrir la cara interior hacia afuera, el punto interior $Q$ se refleja respecto del borde superior, obteniendo $Q'$.
4. Traza el segmento $P Q'$.
5. La intersección de $P Q'$ con el borde superior indica por dónde cruza la hormiga.

En el desarrollo, el borde superior actúa como una recta de reflexión: pasar del exterior al interior a través del borde es, geométricamente, un problema de camino que toca una recta.

3.4 Cono circular recto

El manto de un cono circular recto de radio de la base $r$ y generatriz $g$ se desarrolla como un sector circular:

• radio del sector: $g$;
• longitud del arco del sector: $2\pi r$;
• ángulo central del sector:

$$\alpha=\frac{2\pi r}{g}\ \text{radianes}.$$

El camino más corto entre dos puntos $P$ y $Q$ del manto del cono es la cuerda $PQ$ en el sector circular desarrollado. Si los puntos obligan a dar una vuelta o más, se consideran sectores adicionales, de manera análoga a lo que se hace en el cilindro.