Simetrías y reflexiones

En matemática, una simetría es una transformación en la que una figura original y su imagen guardan una correspondencia exacta respecto a un elemento de referencia: una recta o un punto.

Hay dos tipos centrales que debes dominar:

1.1 Simetría axial o reflexión respecto a un eje

La simetría axial, también llamada reflexión, ocurre cuando una figura se comporta como si se reflejara en un espejo. La recta que hace de espejo se llama eje de simetría.

Características fundamentales:

• La figura original y su reflejo son congruentes: mismas medidas, misma forma.
• Cada punto y su imagen están a la misma distancia del eje, pero en lados opuestos.
• El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje.
• El eje es la mediatriz de ese segmento, es decir, lo corta en su punto medio.

Ejemplo breve: si dibujas la letra “P” y la reflejas respecto a una recta vertical, obtendrás una “P” invertida horizontalmente. La idea es que el eje actúa como un espejo.

1.2 Simetría central respecto a un punto

La simetría central es una transformación en la que cada punto de la figura original se proyecta al otro lado de un punto de simetría, conservando la distancia.

Características:

• El centro de simetría es el punto medio entre cada punto original y su simétrico.
• La figura simétrica es congruente con la original.
• Intuitivamente, una simetría central equivale a girar la figura 180° alrededor del centro.

Ejemplo breve: si tomas un triángulo pequeño y le aplicas una simetría central respecto a un punto $P$, el triángulo resultante queda “cabeza abajo” al otro lado de $P$.

La parte más evaluada en San Marcos es la transformación de coordenadas. La gran ventaja de este tema es que, en lugar de dibujar, puedes aplicar reglas algebraicas.

2.1 Reflexión respecto a los ejes $X$ e $Y$

Respecto al eje $X$:
El eje $X$ es una recta horizontal. Al reflejar un punto $P(x;y)$ respecto al eje $X$:

$$P(x;y) \rightarrow P'(x;-y)$$

• La abscisa $x$ no cambia.
• La ordenada $y$ cambia de signo.

Ejemplo breve: $A(3;5)$ se refleja respecto al eje $X$ y se obtiene $A'(3;-5)$.

Respecto al eje $Y$:
El eje $Y$ es vertical. Al reflejar un punto $P(x;y)$ respecto al eje $Y$:

$$P(x;y) \rightarrow P'(-x;y)$$

• La abscisa $x$ cambia de signo.
• La ordenada $y$ no cambia.

Ejemplo breve: $A(3;5)$ se refleja respecto al eje $Y$ y se obtiene $A'(-3;5)$.

2.2 Simetría central respecto al origen

Cuando el centro de simetría es el origen $O(0;0)$, la regla es:

$$P(x;y) \rightarrow P'(-x;-y)$$

En este caso, ambas coordenadas cambian de signo.

Ejemplo breve: $A(4;-7)$ se transforma en $A'(-4;7)$.

Esta transformación equivale a reflejar respecto al eje $X$ y luego respecto al eje $Y$, o viceversa.

2.3 Simetría central respecto a un punto cualquiera $P(a;b)$

Muchas preguntas no usan el origen como centro de simetría, sino un punto $P(a;b)$. En este caso, el centro de simetría $P$ es el punto medio entre el punto original $A(x;y)$ y su simétrico $A'(x';y')$.

Por fórmula de punto medio:

$$a=\frac{x+x'}{2}, \qquad b=\frac{y+y'}{2}$$

Despejando:

$$x'=2a-x$$ $$y'=2b-y$$

Esta es la regla práctica para simetría central.

Ejemplo breve: el simétrico de $A(-5;4)$ respecto al punto $P(-2;1)$ es:

$$x' = 2(-2)-(-5) = -4+5=1$$ $$y' = 2(1)-4 = 2-4=-2$$

Entonces $A'(1;-2)$.

2.4 Reflexión respecto a rectas horizontales y verticales

No siempre el eje de simetría es el eje $X$ o el eje $Y$. A veces es una recta paralela a ellos.

Eje horizontal $y=k$:
Al reflejar $P(x;y)$ respecto a la recta $y=k$:

$$P(x;y) \rightarrow P'(x;2k-y)$$

• La abscisa $x$ se mantiene.
• La ordenada cambia según $2k-y$.

Esto se debe a que $k$ es el punto medio entre $y$ e $y'$: $$\frac{y+y'}{2}=k \quad \Rightarrow \quad y'=2k-y.$$

Ejemplo breve: el simétrico de $C(3;5)$ respecto a la recta $y=2$ es: $$C'(3;2(2)-5)=C'(3;-1).$$

Eje vertical $x=k$:
Al reflejar $P(x;y)$ respecto a la recta $x=k$:

$$P(x;y) \rightarrow P'(2k-x;y)$$

• La ordenada $y$ se mantiene.
• La abscisa cambia según $2k-x$.

Ejemplo breve: el simétrico de $A(1;4)$ respecto a la recta $x=3$ es: $$A'(2(3)-1;4)=A'(5;4).$$

Aquí aparece un error común: si el eje es $x=3$ y el punto tiene abscisa $1$, algunos creen que el simétrico es $x'=3-1=2$ o $x'=3+1=4$. La regla correcta es $x'=2k-x$. En este caso, $2(3)-1=5$.

2.5 Reflexión respecto a las rectas $y=x$, $y=-x$ y sus paralelas

También se pregunta por ejes inclinados.

Respecto a la recta $y=x$:
La reflexión simplemente intercambia las coordenadas:

$$P(x;y) \rightarrow P'(y;x)$$

Ejemplo breve: $B(-3;-5)$ se refleja respecto a $y=x$ y se obtiene $B'(-5;-3)$.

Respecto a la recta $y=-x$:
Se intercambian las coordenadas y ambas cambian de signo:

$$P(x;y) \rightarrow P'(-y;-x)$$

Ejemplo breve: $P(2;5)$ se refleja respecto a $y=-x$ y se obtiene $P'(-5;-2)$.

Rectas paralelas a $y=x$:
Si el eje es $y=x+c$, la regla es:

$$P(x;y) \rightarrow P'(y-c;x+c)$$

Esto se puede deducir con las condiciones de perpendicularidad y punto medio, pero conviene memorizarla.

Ejemplo breve: para $y=x-1$, tenemos $c=-1$. Entonces:

$$P(x;y) \rightarrow P'(y+1;x-1)$$

Así, $M(-1;3)$ se transforma en $M'(4;-2)$.

Rectas paralelas a $y=-x$:
Si el eje es $y=-x+c$, la regla es:

$$P(x;y) \rightarrow P'(c-y;c-x)$$

Ejemplo breve: para $y=-x+2$, el punto $P(1;4)$ se transforma en: $$P'(2-4;2-1)=P'(-2;1).$$

En varios problemas, a una figura se le aplican dos transformaciones consecutivas. La clave es aplicar la segunda transformación sobre el resultado de la primera, no sobre la figura original.

3.1 Doble reflexión respecto a los ejes $X$ e $Y$

Si reflejamos un punto respecto al eje $Y$ y luego respecto al eje $X$:

$$P(x;y) \xrightarrow{\text{eje }Y} (-x;y) \xrightarrow{\text{eje }X} (-x;-y)$$

El resultado final es $(-x;-y)$, es decir, una simetría central respecto al origen.

Si se invierte el orden, el resultado es el mismo:

$$P(x;y) \xrightarrow{\text{eje }X} (x;-y) \xrightarrow{\text{eje }Y} (-x;-y)$$

Por lo tanto, dos reflexiones respecto a ejes perpendiculares equivalen a un giro de 180° alrededor del punto donde se cruzan los ejes.

3.2 Simetría en la recta numérica

Una versión unidimensional aparece cuando se trabaja sobre una recta numérica. Si $A$ y $B$ son puntos de la recta:

• El simétrico de $A$ respecto a $B$ es: $$A' = 2B - A$$
• El simétrico de $B$ respecto a $A$ es: $$B' = 2A - B$$

Esto funciona porque el punto de simetría es el punto medio entre el original y su imagen.

Ejemplo breve: el simétrico de $A(-3)$ respecto a $B(2)$ es: $$A' = 2(2)-(-3)=4+3=7.$$ El simétrico de $B(2)$ respecto a $A(-3)$ es: $$B' = 2(-3)-2 = -6-2=-8.$$

3.3 Rotación de 90° alrededor del origen

Aunque el tema central es simetría, en el bloque de transformaciones geométricas San Marcos ha preguntado también por rotaciones de 90°. No hay que confundirlas con reflexiones: una rotación es un giro, no un espejo.

Para una rotación de 90° en sentido antihorario respecto al origen:

$$P(x;y) \rightarrow P'(-y;x)$$

Para una rotación de 90° en sentido horario respecto al origen:

$$P(x;y) \rightarrow P'(y;-x)$$

La justificación es simple: el punto $(1;0)$ al girar 90° antihorario cae en $(0;1)$, y el punto $(0;1)$ cae en $(-1;0)$. Por eso:

$$(x;y)=x(1;0)+y(0;1)$$

se convierte en:

$$x(0;1)+y(-1;0)=(-y;x).$$

Ejemplo breve: $P(3;2)$ al rotar 90° antihorario se convierte en $P'(-2;3)$. Al rotar 90° horario se convierte en $P''(2;-3)$.

No todo es coordenadas. También hay preguntas visuales donde debes identificar la figura simétrica o completar una figura para que una recta sea eje de simetría.

4.1 Identificar y completar imágenes especulares

Para reconocer si una figura es simétrica respecto a un eje, verifica dos cosas:

1. Distancia: cada punto de la figura original debe tener su correspondiente al otro lado del eje, a la misma distancia.
2. Perpendicularidad: el segmento que une un punto con su simétrico debe ser perpendicular al eje.

En preguntas de opciones múltiples, muchas veces no necesitas transformar coordenadas: basta con imaginar el espejo. Compara los puntos extremos, los vértices y las posiciones relativas.

4.2 El eje de simetría en un tablero de fichas

Un tipo especial de pregunta pide completar una cuadrícula con fichas para que una recta $L$ sea eje de simetría.

El método es:

• Considera la recta $L$ como un espejo.
• Toma cada ficha ubicada en uno de los lados de $L$.
• Refleja mentalmente esa ficha al otro lado de $L$, respetando la misma distancia en celdas.
• Si la casilla correspondiente del otro lado está vacía, esa es una ficha que debes agregar.
• Repite con todas las fichas y cuenta cuántas casillas nuevas se necesitan.

Las fichas que están exactamente sobre $L$ ya son simétricas consigo mismas y no necesitan agregar otra.

Una aplicación muy concreta de la simetría son los problemas con papel doblado. Al doblar una hoja, la línea de doblez se comporta como un eje de simetría.

5.1 Dobleces y cortes: desplegar con simetría

Cuando doblas un papel y haces un corte, al desplegarlo el corte se replica en todas las capas. La razón es que cada doblez es un eje de simetría: las marcas de un lado aparecen reflejadas en el otro.

Para contar piezas después de desplegar:

1. Identifica cuántos ejes de simetría generan los dobleces.
2. Piensa en la hoja doblada como un pequeño sector que se replicará simétricamente.
3. Cada corte hecho en la hoja doblada genera marcas en las posiciones simétricas respecto a los dobleces.
4. Despliega mentalmente capa por capa y reconstruye la figura completa.
5. Recién después cuenta cuántas piezas tienen la forma pedida.

5.2 El doblez como mediatriz: problemas de medidas

Otro problema típico es doblar un papel rectangular haciendo coincidir dos vértices opuestos. En ese caso, la línea de doblez es la mediatriz de la diagonal que une dichos vértices.

Veamos la interpretación geométrica:

• Si el rectángulo tiene ancho $a$ y largo $L$, y se dobla haciendo coincidir el vértice inferior izquierdo con el superior derecho, la diagonal va de $(0;0)$ a $(L;a)$.
• La línea de doblez es perpendicular a esa diagonal y pasa por su punto medio.
• Dentro del rectángulo, la longitud del doblez se puede calcular con coordenadas y Pitágoras.

En los problemas de admisión, se suele dar el ancho y la longitud del doblez, y se pide el largo. El planteo es:

$$d = \frac{a}{L}\sqrt{a^2+L^2}$$

cuando el doblez corta los bordes superior e inferior del rectángulo alargado. Pero más importante que memorizar la fórmula es entender el método:

1. Coloca el rectángulo en el plano cartesiano.
2. Ubica los dos vértices opuestos que se hacen coincidir.
3. Halla el punto medio de la diagonal que los une.
4. Plantea que el doblez es perpendicular a esa diagonal.
5. Calcula los extremos del doblez sobre los bordes del rectángulo.
6. Aplica Pitágoras para relacionar largo, ancho y longitud del doblez.

Algunos textos y ciclos de estudio incluyen dentro de esta semana una breve introducción a los diagramas de flujo, también llamados flujogramas. Aunque no es propiamente simetría, aparece combinado en los materiales por ser parte del razonamiento lógico secuencial.

Un diagrama de flujo es una representación gráfica de un proceso ordenado. Sus símbolos básicos son:

• Óvalo: inicio y fin.
• Rectángulo: proceso u operación.
• Rombo: decisión, con preguntas que se responden $\text{sí}$ o $\text{no}$.
• Flechas: indican el orden.

Para resolver un diagrama de flujo:

1. Identifica el valor inicial de la variable o variables.
2. Sigue las flechas paso a paso.
3. Cuando llegues a un rombo, responde la pregunta y toma el camino correcto.
4. Actualiza el valor de las variables cada vez que pases por un rectángulo.
5. Repite hasta llegar al fin y escribe el valor final.

Ejemplo breve: si un diagrama inicia con $x=7$ y la primera decisión es “¿$x$ es par?”, como 7 es impar, se toma el camino “no” y se ejecuta $x=3x+1=22$. Finalmente se escribe $22$.

Este tipo de preguntas es más de seguimiento de instrucciones que de simetría, pero conviene conocerlo si tu academia lo integra al tema.