Cronometría 1

1.1 La idea central: todo intervalo se parte en dos

La base de estos problemas es la siguiente:

Si algo transcurrió en un intervalo de tiempo total $T$, entonces en un instante dado ya transcurrió una parte y el resto falta por transcurrir.

Si llamamos $x$ al tiempo transcurrido, entonces el tiempo que falta es:

$$T - x$$

Esta relación parece muy simple, pero es la clave de casi todos los problemas de tiempo transcurrido.

Ejemplo rápido:
En un día, si ya transcurrieron $x$ horas, entonces faltan $24-x$ horas para que el día termine. Si son las $9$ de la mañana, $x=9$ y faltan $24-9=15$ horas.

1.2 Relaciones como “el doble de”, “la tercera parte de”

Muchos ejercicios plantean una relación entre el tiempo transcurrido y el que falta.

Ejemplo:
¿Qué hora es si el tiempo transcurrido del día es igual a la tercera parte del tiempo que falta para terminar el día?

Resolvemos:

• Transcurrido: $x$
• Falta: $24-x$
• Dato: $x = \frac{1}{3}(24-x)$

$$3x = 24-x$$ $$4x = 24$$ $$x = 6$$

Entonces la hora es $6$ de la mañana.

1.3 Cuando el intervalo no es todo el día

No siempre el intervalo total es $24$ horas. Puede ser entre dos horas del día.

Ejemplo:
Entre las $3$ p. m. y las $4$ p. m. hay $60$ minutos. Si el tiempo transcurrido desde las $3$ p. m. es el doble de lo que falta para las $4$ p. m., ¿qué hora es?

• Total: $60$ minutos.
• Transcurrido desde las $3$ p. m.: $x$
• Falta para las $4$ p. m.: $60-x$
• Dato: $x = 2(60-x)$

$$x = 120 - 2x$$ $$3x = 120$$ $$x = 40$$

Entonces son las $3$ p. m. con $40$ minutos, es decir, las $3:40$ p. m.

1.4 Las palabras “hace” y “dentro”

En este tipo de problemas aparecen frases como:

• “hace $20$ minutos”
• “dentro de $50$ minutos”

Estas frases indican desplazamientos en la línea del tiempo respecto de la hora actual.

Si la hora actual es $H$:

• Hace $a$ minutos: $H-a$
• Dentro de $b$ minutos: $H+b$

Ejemplo:
Son más de las $2$ p. m., pero aún no son las $3$ p. m. Si dentro de $10$ minutos faltará para las $3$ p. m. el mismo tiempo que transcurrió desde las $2$ p. m. hasta hace $20$ minutos, ¿qué hora es?

Sea $x$ el tiempo transcurrido desde las $2$ p. m. hasta la hora actual.

• Desde las $2$ p. m. hasta hace $20$ minutos han transcurrido $x-20$.
• Dentro de $10$ minutos, habrán transcurrido $x+10$ minutos desde las $2$ p. m.
• Lo que faltará para las $3$ p. m. será $60-(x+10)$.

El dato dice:

$$x-20 = 60-(x+10)$$ $$x-20 = 60-x-10$$ $$x-20 = 50-x$$ $$2x = 70$$ $$x = 35$$

Entonces son las $2:35$ p. m.

Este tipo de esquema es muy frecuente en la UNMSM, porque obliga a distinguir entre pasado, presente y futuro.

1.5 La hora como número de dos cifras

Algunos problemas mezclan cronometría con propiedades de los números. Por ejemplo, si las horas transcurridas del día son un número de dos cifras, conviene expresarlas como:

$$10a+b$$

donde $a$ y $b$ son las cifras.

Ejemplo:
Si las horas transcurridas del día son un número de dos cifras y las horas que faltan para terminar el día son la suma de las cifras de las horas transcurridas, se puede plantear:

• Transcurrido: $10a+b$
• Falta: $24-(10a+b)$
• Dato: $24-(10a+b)=a+b$

Esto conduce a una ecuación de dos variables con restricciones para $a$ y $b$, lo que permite hallar la hora.

2.1 Campanadas e intervalos

Un error típico es creer que si un reloj da $3$ campanadas en $6$ segundos, entonces cada campanada dura $2$ segundos. Pero las campanadas son instantáneas; lo que dura es el intervalo entre campanadas.

La regla es:

$$\text{n.° de intervalos} = \text{n.° de campanadas} - 1$$

Si el tiempo entre dos campanadas consecutivas es siempre el mismo, entonces:

$$\text{tiempo total} = (\text{n.° de intervalos}) \times (\text{tiempo de un intervalo})$$

2.2 Método práctico

Para resolver problemas de campanadas conviene usar una tabla de proporcionalidad directa entre intervalos y tiempo total.

Ejemplo:
Un reloj da $3$ campanadas en $6$ segundos. ¿Cuánto tiempo demora en dar $11$ campanadas?

Armamos la tabla:

Como los intervalos son directamente proporcionales al tiempo:

$$\frac{2}{10} = \frac{6}{x}$$ $$2x = 60$$ $$x = 30$$

Entonces demora $30$ segundos.

2.3 Cuidado con relojes que dan campanadas según la hora

Algunos relojes indican la hora dando una campanada por cada hora. Otros dan una campanada menos que la hora, como en una pregunta de la UNMSM.

El procedimiento no cambia: primero se determina cuántas campanadas da, luego se calcula cuántos intervalos son y finalmente se relaciona con el tiempo total.

3.1 Hora marcada y hora real

Cuando un reloj está malogrado, hay que distinguir dos horas:

• Hora real: la hora correcta.
• Hora marcada: la hora que indica el reloj defectuoso.

La relación entre ambas depende de si el reloj se adelanta o se atrasa.

• Si el reloj se adelanta, entonces marca más de lo que debe. Por eso:

$$\text{hora marcada} = \text{hora real} + \text{adelanto}$$

• Si el reloj se atrasa, entonces marca menos de lo que debe. Por eso:

$$\text{hora marcada} = \text{hora real} - \text{atraso}$$

Estas relaciones también se pueden usar despejando:

Ejemplo rápido:
Un reloj se adelanta $5$ minutos. Si la hora real es $3:00$ p. m., entonces la hora marcada es $3:05$ p. m.

Otro reloj se atrasa $5$ minutos. Si la hora real es $3:00$ p. m., entonces la hora marcada es $2:55$ p. m.

3.2 Cálculo del atraso o adelanto total

Muchos problemas dicen que un reloj se atrasa o se adelanta cierta cantidad de tiempo cada cierto tiempo. El cálculo se hace con regla de tres simple.

Ejemplo:
Un reloj se atrasa $4$ minutos cada $80$ minutos. Si ha estado funcionando mal durante $8$ horas, ¿cuántos minutos se atrasó?

Convertimos $8$ horas a minutos:

$$8 \times 60 = 480 \text{ min}$$

Planteamos la proporción:

$$\frac{4 \text{ min de atraso}}{80 \text{ min}} = \frac{x}{480 \text{ min}}$$

$$x = 4 \cdot \frac{480}{80}$$ $$x = 4 \cdot 6$$ $$x = 24$$

Se atrasó $24$ minutos.

Si el reloj marcaba las $10:00$, como está atrasado, la hora real es:

$$10:00 + 24 \text{ min} = 10:24$$

Este razonamiento responde a la pregunta típica: ¿qué hora es en realidad?

3.3 Relojes con adelantos y atrasos combinados

Cuando hay dos relojes malogrados, uno se adelanta y el otro se atrasa, la diferencia entre lo que marcan crece con el tiempo.

Si un reloj adelanta $a$ minutos por hora y otro atrasa $b$ minutos por hora, entonces cada hora real la diferencia entre ambos aumenta:

$$a+b$$

minutos.

Ejemplo:
Un reloj adelanta $1$ minuto por hora y otro atrasa $2$ minutos por hora. Si se sincronizan a las $6:00$ a. m., ¿qué diferencia marcarán a las $2:00$ p. m.?

Tiempo transcurrido: de $6:00$ a. m. a $2:00$ p. m. son $8$ horas.

En $8$ horas:

• El primero adelanta $8$ minutos.
• El segundo atrasa $16$ minutos.

Entonces la diferencia entre sus lecturas es:

$$8 + 16 = 24 \text{ minutos}$$

3.4 ¿Cuándo un reloj defectuoso vuelve a marcar la hora exacta?

Un reloj analógico de manecillas repite su carátula cada $12$ horas. Por eso, si un reloj se atrasa o se adelanta con ritmo constante, volverá a marcar la misma hora correcta cuando el error acumulado sea $12$ horas:

$$12 \text{ h} = 720 \text{ min}$$

Ejemplo:
Un reloj se atrasa $1$ minuto por cada hora real. Si se puso a la hora exacta, ¿al cabo de cuánto tiempo volverá a marcar la hora correcta?

Como se atrasa $1$ minuto por hora, para acumular $720$ minutos de atraso necesita:

$$720 \text{ horas}$$

Esto equivale a:

$$720 \div 24 = 30 \text{ días}$$

Este tipo de análisis se usa cuando la pregunta pide la fecha en que el reloj volverá a indicar la hora correcta.

3.5 Adelantos y atrasos variables

Una variante más avanzada ocurre cuando el atraso o adelanto no es constante, sino que cambia día a día.

Ejemplo clásico:
Un reloj comienza con un adelanto y luego se retrasa $2$ segundos el primer día, $4$ el segundo, $6$ el tercero, y así sucesivamente.

Los atrasos diarios forman una progresión aritmética:

$$2, 4, 6, 8, \ldots$$

El atraso total después de $n$ días es:

$$2+4+6+\cdots+2n = 2(1+2+\cdots+n)$$

$$= 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

$$= n(n+1)$$

Este acumulado debe igualarse al adelanto inicial para que el reloj marque la hora correcta.

3.6 Factor de marcha: clave en problemas largos

Cuando se dice que un reloj se adelanta $a$ minutos cada hora, hay que interpretar bien qué significa.

En $60$ minutos reales, el reloj defectuoso marca:

$$60 + a$$

minutos.

Por lo tanto, la razón entre el tiempo marcado y el tiempo real es:

$$\frac{\text{tiempo marcado}}{\text{tiempo real}} = \frac{60+a}{60}$$

Si se atrasa $a$ minutos por hora, la razón es:

$$\frac{\text{tiempo marcado}}{\text{tiempo real}} = \frac{60-a}{60}$$

Esta idea es especialmente útil cuando el problema da el tiempo marcado en un reloj defectuoso y pide calcular el tiempo real, o viceversa.

Aunque el estudio fino de las manecillas corresponde a Cronometría 2, es útil que aquí tengas las bases para resolver preguntas en las que aparece un reloj dibujado y se te pide leer la hora exacta.

4.1 Las divisiones del reloj

Una circunferencia completa mide $360^\circ$.

En un reloj hay:

• $12$ divisiones de horas.
• $60$ divisiones de minutos.

Por lo tanto:

• Cada división de hora mide $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$.
• Cada división de minuto mide $\frac{360^\circ}{60}=6^\circ$.

4.2 Velocidad de las manecillas

En $60$ minutos:

• El minutero da una vuelta completa: $360^\circ$.
• El horario avanza una división de hora: $30^\circ$.

Entonces, por minuto:

• El minutero avanza:

$$\frac{360^\circ}{60} = 6^\circ/\text{min}$$

• El horario avanza:

$$\frac{30^\circ}{60} = 0{,}5^\circ/\text{min}$$

Esta relación es la base de todos los problemas de ángulos entre manecillas.

4.3 Ángulo entre el horario y el minutero

A una hora de la forma $H$ horas y $M$ minutos, el ángulo entre las dos agujas se puede calcular así:

$$\Delta = |30H - 5{,}5M|$$

La explicación es simple:

• El minutero, a los $M$ minutos, está a $6M$ grados de las $12$.
• El horario, a la hora $H$ y $M$ minutos, está a $30H + 0{,}5M$ grados de las $12$.

La diferencia es:

$$|(30H + 0{,}5M) - 6M| = |30H - 5{,}5M|$$

Si el resultado es mayor que $180^\circ$, el ángulo menor es:

$$360^\circ - \Delta$$

Ejemplo:
Calculemos el ángulo entre las manecillas a las $2:20$.

$$\Delta = |30(2) - 5{,}5(20)|$$ $$\Delta = |60 - 110| = 50^\circ$$

Como $50^\circ < 180^\circ$, el menor ángulo es $50^\circ$.

4.4 Leer la hora a partir de ángulos en una figura

En varios problemas de admisión no se entrega la hora escrita, sino un reloj dibujado y algunos ángulos relacionados. En esos casos, la incógnita suele ser $M$, los minutos después de una hora de referencia conocida.

La estrategia general es:

1. Ubicar la hora referencial aproximada: por ejemplo, entre las $4$ y las $5$.
2. Representar el tiempo como $H:M$, donde $H$ es la hora de referencia y $M$ es desconocido.
3. Plantear una ecuación con los ángulos visibles en la figura.
4. Despejar $M$ y expresar la hora exacta.

Ejemplo sencillo:
A las $4:36$, el ángulo entre las manecillas es:

$$\Delta = |30(4) - 5{,}5(36)|$$ $$\Delta = |120 - 198| = 78^\circ$$

Por lo tanto, si en una figura se viera que las manecillas forman $78^\circ$ entre las $4$ y las $5$, se podría deducir que son aproximadamente las $4:36$.

En el próximo tema se profundizará este procedimiento con posiciones de agujas superpuestas, perpendiculares y opuestas.