Conteo de figuras

1.1 ¿Qué es y cuándo se usa?

El conteo por simple inspección consiste en observar directamente la figura, reconocer las piezas que la forman y contarlas siguiendo un criterio fijo. No se utilizan fórmulas complicadas; la herramienta principal es el orden.

Este método es especialmente útil cuando la figura no tiene una disposición tan regular como para aplicar directamente una fórmula, o cuando la figura es pequeña.

Sin embargo, “simple inspección” no significa contar al azar. Si intentas contar todas las figuras de una sola mirada, casi siempre fallarás. La inspección debe ser sistemática.

1.2 Técnica fundamental: etiquetar las regiones simples

Uno de los mejores recursos en el conteo por inspección es asignar un número o una letra a cada región simple de la figura. Luego, en lugar de buscar figuras de manera vaga, contamos:

1. Figuras formadas por una sola región simple.
2. Figuras formadas por la unión de dos regiones simples que sí formen la figura pedida.
3. Figuras formadas por tres regiones simples que formen la figura pedida.
4. Y así sucesivamente.

Este procedimiento reduce muchísimo las omisiones.

1.3 Ejemplo breve: cuadriláteros en una retícula $2 \times 2$

Imagina un rectángulo grande dividido exactamente en cuatro rectángulos pequeños iguales, formando una retícula de dos columnas por dos filas.

Aplicamos la inspección sistemática:

• De 1 región: cada región simple es un cuadrilátero. Hay $4$.
• De 2 regiones: las uniones adyacentes que forman rectángulos son:
  • Dos horizontales: $(1,2)$ y $(3,4)$. Son $2$.
  • Dos verticales: $(1,3)$ y $(2,4)$. Son $2$.
    Total de dos regiones: $4$.
• De 3 regiones: ninguna unión de tres regiones forma un rectángulo completo aquí, porque faltaría una esquina. Hay $0$.
• De 4 regiones: la unión de las cuatro forma el rectángulo grande. Hay $1$.

Por lo tanto, el total de cuadriláteros es:

$$4+4+0+1=9$$

Observa que contamos rectángulos, no solo los cuatro pequeños. Esta es la diferencia entre “ver” y “contar sistemáticamente”.

1.4 Contar triángulos por inspección

Imagina un triángulo grande en el que se ha trazado una línea interior recta desde un vértice hasta un punto del lado opuesto. Esta línea divide al triángulo grande en dos triángulos más pequeños.

Si a la derecha de la figura existe otro triángulo adyacente a uno de esos dos triángulos pequeños, es posible que se formen triángulos adicionales al unir regiones vecinas.

El procedimiento es el mismo:

• Etiqueta cada región triangular simple.
• Cuenta las regiones simples que ya son triángulos.
• Revisa las uniones de dos regiones que formen un triángulo.
• Revisa las uniones de tres o más regiones que también formen un triángulo.
• Suma.

La clave es no dar por terminado el conteo después de contar las regiones pequeñas. Muchas veces los triángulos más difíciles de ver son los compuestos.

1.5 Uso de la simetría

Si una figura es simétrica, se puede aprovechar la simetría para acelerar el conteo.

Por ejemplo, si en una figura simétrica se cuentan $8$ triángulos en la mitad izquierda y se comprueba que la mitad derecha es idéntica, entonces la contribución de ambas mitades es $8 \times 2 = 16$. Luego se agregan, por separado, los triángulos que cruzan la línea de simetría, porque esos no pertenecen a una sola mitad.

Este principio evita contar dos veces los triángulos que se forman entre regiones de ambos lados.

2.1 ¿En qué consiste el método inductivo?

El método por inducción se usa cuando la figura tiene una estructura repetitiva y regular. La idea es analizar casos pequeños, detectar un patrón y generalizarlo mediante una fórmula.

Por ejemplo, si queremos saber cuántos segmentos hay en una línea con $20$ segmentos unitarios consecutivos, no es práctico contarlos uno por uno. En lugar de eso:

• Analizamos el caso con $1$ segmento.
• Luego con $2$ segmentos.
• Luego con $3$ segmentos.
• Observamos cómo cambia el resultado.
• Deducimos una fórmula general.

Esta es la esencia de la inducción en el conteo de figuras. No es inducción matemática formal, sino razonamiento inductivo: de casos particulares a una regla general.

2.2 Segmentos en una línea

Considera una línea recta dividida en $n$ segmentos unitarios consecutivos.

Casos iniciales:

• Si $n=1$: solo hay $1$ segmento.
• Si $n=2$: hay $2$ segmentos pequeños más $1$ segmento grande. Total: $3$.
• Si $n=3$: hay $3$ pequeños, $2$ medianos de dos tramos y $1$ grande. Total: $6$.
• Si $n=4$: hay $4$ pequeños, $3$ de dos tramos, $2$ de tres tramos y $1$ de cuatro tramos. Total: $10$.

El patrón es:

$$1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ldots$$

Cada resultado se obtiene sumando los números naturales desde $1$ hasta $n$. Por lo tanto:

$$\boxed{\text{Número de segmentos} = \frac{n(n+1)}{2}}$$

Justificación:
Un segmento puede tener longitud $1,2,3,\ldots,n$ tramos unitarios.
Existen $n$ segmentos de longitud $1$, $n-1$ de longitud $2$, $n-2$ de longitud $3$, y así sucesivamente hasta $1$ segmento de longitud $n$.
Entonces el total es:

$$n+(n-1)+(n-2)+\cdots+1=\frac{n(n+1)}{2}$$

Esta fórmula es la base de muchas otras, porque el mismo principio de “contar por tamaños consecutivos” se repite en distintas figuras.

2.3 Triángulos generados por líneas desde un vértice

Imagina un triángulo grande $ABC$. Sobre la base $BC$ se toman varios puntos y desde el vértice $A$ se trazan segmentos hacia esos puntos. Si la base queda dividida en $n$ tramos iguales o al menos consecutivos, la figura queda separada en $n$ triángulos pequeños adyacentes.

¿Cuántos triángulos hay en total?

Se pueden formar triángulos tomando:

• $1$ tramo de la base: hay $n$ triángulos pequeños.
• $2$ tramos consecutivos: hay $n-1$ triángulos.
• $3$ tramos consecutivos: hay $n-2$ triángulos.
• ...
• $n$ tramos consecutivos: hay $1$ triángulo.

Nuevamente, el total es:

$$\boxed{\text{Número de triángulos} = \frac{n(n+1)}{2}}$$

Ejemplo:
Si en la base se forman $5$ tramos, entonces:

$$\text{Total de triángulos} = \frac{5\cdot6}{2}=15$$

Este es uno de los modelos inductivos más importantes en el conteo de triángulos.

2.4 Cuadriláteros en una cuadrícula rectangular

Considera una cuadrícula formada por $m$ filas y $n$ columnas de regiones rectangulares simples, usualmente cuadrados o rectángulos idénticos. Por ejemplo, una cuadrícula de $3$ filas por $4$ columnas.

Nos preguntamos: ¿cuántos cuadriláteros en total se pueden formar usando las líneas de la cuadrícula?

Un cuadrilátero en una cuadrícula queda determinado si elegimos:

• Dos líneas horizontales distintas, que serán sus lados superior e inferior.
• Dos líneas verticales distintas, que serán sus lados izquierdo y derecho.

Si hay $m$ filas, entonces hay $m+1$ líneas horizontales.
Si hay $n$ columnas, entonces hay $n+1$ líneas verticales.

El número de maneras de elegir dos líneas horizontales entre $m+1$ es:

$$\binom{m+1}{2} = \frac{m(m+1)}{2}$$

El número de maneras de elegir dos líneas verticales entre $n+1$ es:

$$\binom{n+1}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$$

Como la elección de líneas horizontales y verticales es independiente, el total de cuadriláteros es:

$$\boxed{\text{Cuadriláteros} = \frac{m(m+1)}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}}$$

Ejemplo breve:
En una cuadrícula de $3$ filas por $4$ columnas:

$$\text{Cuadriláteros} = \frac{3\cdot4}{2} \cdot \frac{4\cdot5}{2} = 6 \cdot 10 = 60$$

Es importante notar que aquí se cuentan todos los rectángulos, incluidos los cuadrados. Si la pregunta pidiera solamente cuadrados, necesitaríamos otra fórmula.

2.5 Cuadrados en una cuadrícula

En una cuadrícula no todos los cuadriláteros son cuadrados. Por eso, cuando se pide exclusivamente cuadrados, debemos contar por tamaños.

Supongamos una cuadrícula de $m$ filas por $n$ columnas de casillas cuadradas, con $m \le n$.

• Cuadrados de lado $1$: se pueden colocar $m \times n$ cuadrados.
• Cuadrados de lado $2$: se pueden colocar $(m-1)(n-1)$.
• Cuadrados de lado $3$: se pueden colocar $(m-2)(n-2)$.
• Y así sucesivamente, hasta que uno de los factores sea $1$.

La fórmula general es:

$$\boxed{\text{Cuadrados} = m n + (m-1)(n-1) + (m-2)(n-2) + \cdots}$$

Si la cuadrícula es cuadrada, es decir, $m=n$, entonces:

$$\text{Cuadrados} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2$$

Y podemos usar la fórmula cerrada:

$$\boxed{\text{Cuadrados} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$

Ejemplo breve:
En una cuadrícula de $3 \times 3$:

$$\text{Cuadrados} = 3\cdot3 + 2\cdot2 + 1\cdot1 = 9+4+1=14$$

O con la fórmula:

$$\frac{3\cdot4\cdot7}{6} = 14$$

Esta es una de las fórmulas más utilizadas en los exámenes de admisión cuando se presentan cuadrículas cuadradas.

2.6 Secuencias de figuras

Muchas preguntas de inducción no presentan una cuadrícula fija, sino una secuencia de figuras: $F_1, F_2, F_3,\ldots$. Generalmente se da una condición para los primeros términos y se pregunta por una figura más avanzada, como $F_4$, $F_{10}$, etc.

La estrategia recomendada es:

1. Entender cómo se construye la secuencia: cuántos cuadrados, triángulos o segmentos se agregan de una figura a la siguiente.
2. Calcular los primeros valores de la cantidad pedida.
3. Buscar un patrón en esos valores.
4. Expresar el patrón como fórmula en términos del número de figura $n$.
5. Evaluar la fórmula en el valor solicitado.

Por ejemplo, si en una secuencia de figuras formadas por cuadrados congruentes se pide contar cuadriláteros, es posible que los primeros valores sean algo como:

$$F_1:\ 2,\quad F_2:\ 8,\quad F_3:\ 20,\quad F_4:\ 42$$

De esos valores se puede deducir una fórmula y verificar con los datos dados. La inducción no consiste en adivinar el patrón de manera ciega, sino en verificar que el patrón reproduce los casos conocidos.

2.7 Otros casos regulares

El mismo principio de “contar por tamaños consecutivos” se aplica a otras figuras análogas:

• Sectores circulares: si desde un centro se trazan $n$ radios que dividen una región circular en $n$ sectores básicos, el número total de sectores circulares que se pueden contar es $\frac{n(n+1)}{2}$.
• Ángulos: si desde un punto se trazan $n+1$ rayos consecutivos, el número total de ángulos que se pueden contar es $\frac{n(n+1)}{2}$.

La idea es siempre la misma: una figura básica se puede combinar de manera consecutiva con sus vecinas.

Cuando enfrentes un problema de conteo de figuras, sigue estos pasos:

1. Identifica qué figura piden: triángulos, cuadriláteros, cuadrados, segmentos, etc. No asumas que piden una figura distinta.
2. Observa si la figura es regular y repetitiva. Si es así, probablemente conviene usar inducción o fórmulas ya conocidas.
3. Si la figura es irregular o pequeña, etiqueta las regiones simples y cuenta de manera organizada.
4. Aprovecha la simetría, si existe, pero agrega al final las figuras que cruzan la línea de simetría.
5. Evita el doble conteo: verifica que cada figura se haya contado exactamente una vez.
6. Comprueba con casos pequeños: si usaste una fórmula, pruébala en una versión reducida de la figura para asegurarte de que tiene sentido.