Situaciones con balanzas 1

Una balanza de dos platillos está formada por un punto de apoyo y dos brazos que terminan en platillos. Si los brazos son simétricos, la balanza queda en equilibrio cuando el peso total colocado en el platillo izquierdo es exactamente igual al peso total colocado en el platillo derecho.

Algunas definiciones importantes:

• Pesar es determinar la masa de un cuerpo.
• Pesada es cada uso de la balanza, es decir, cada vez que colocamos objetos y pesas en los platillos para lograr un equilibrio o comparar pesos.
• Pesa es un objeto cuyo peso conocemos exactamente y se usa como referencia.

La clave de este tema es entender que en una pesada se pueden colocar tanto el producto que se desea pesar como las pesas, en cualquiera de los dos platillos. Muchas personas asumen que las pesas siempre van en un platillo y el producto en el otro; sin embargo, las estrategias más eficientes suelen colocar pesas y producto en ambos lados.

Ejemplo inmediato: si tenemos una pesa de 5 kg y colocamos en el otro platillo una bolsa con azúcar hasta equilibrar, la bolsa pesa 5 kg. Es el uso más básico.

Muchos problemas de admisión presentan una o varias balanzas en equilibrio con objetos geométricos (esferas, cubos, cilindros, triángulos) y piden hallar el peso de alguno de ellos.

El método es el siguiente:

1. Asignar una variable a cada tipo de objeto distinto, por ejemplo:
   • $e$: peso de una esfera
   • $c$: peso de un cubo
   • $t$: peso de un triángulo
2. Traducir cada balanza en equilibrio a una ecuación.
3. Resolver el sistema de ecuaciones.

Los objetos idénticos tienen siempre el mismo peso. Los objetos de distinta forma pueden tener pesos iguales o diferentes, según el problema.

Ejemplo breve: si en una balanza en equilibrio hay $2$ esferas y una pesa de $6$ kg en el platillo izquierdo, y en el derecho hay $1$ esfera y una pesa de $10$ kg, llamamos $x$ al peso de la esfera. La ecuación es:

$$2x + 6 = x + 10$$

Restando $x$ y $6$ en ambos lados:

$$x = 4$$

Por lo tanto, cada esfera pesa $4$ kg.

Este tipo de lectura también aparece con varios objetos encadenados, como cadenas, pulseras, frutas, etc. Lo importante es no confundir la cantidad de objetos con el peso.

Cuando una balanza no está en equilibrio, el platillo que desciende es el que tiene mayor peso total. Esta información se traduce en una desigualdad.

Si en el platillo izquierdo hay $A$ kg en total y en el derecho $B$ kg, y el izquierdo está más bajo, entonces:

$$A > B$$

Si el izquierdo está más alto:

$$A < B$$

Estas desigualdades son especialmente útiles cuando los pesos son números enteros, porque permiten acotar valores posibles y hallar máximos o mínimos.

Ejemplo breve: supongamos que en una balanza en desequilibrio, el platillo izquierdo contiene $2$ esferas y $1$ cubo, y el derecho contiene $1$ esfera, $2$ cubos y una pesa de $1$ kg. Si el lado izquierdo está más bajo, se tiene:

$$2e + c > e + 2c + 1$$

Simplificando:

$$e - c > 1$$

Es decir, el peso de una esfera supera al de un cubo en más de $1$ kg. Si además se sabe, por otra balanza, que $e + c = 5$, y los pesos son enteros, se pueden acotar los valores de $e$ y $c$. Por ejemplo, con $e=4$ y $c=1$ se cumple $4 - 1 = 3 > 1$, pero con $e=3$ y $c=2$ no, porque $3 - 2 = 1$, que no es mayor que $1$. Así se puede hallar un máximo o mínimo.

Cuando se dispone de una balanza de dos platillos y de algunas pesas, en una sola pesada se pueden obtener varios pesos diferentes, dependiendo de dónde coloquemos las pesas.

Supongamos que se tienen dos pesas de $a$ kg y $b$ kg.

• Si colocamos ambas pesas en un platillo y el producto en el otro, el producto pesa $a + b$.
• Si colocamos la pesa $a$ en un platillo, la pesa $b$ en el otro, y el producto junto a la pesa $b$, al equilibrar el producto pesa $a - b$.
• Si colocamos la pesa $a$ en un platillo, la pesa $b$ en el otro, y el producto junto a la pesa $a$, al equilibrar el producto pesa $b - a$.

Es decir, en una pesada se pueden obtener la suma o la diferencia de las pesas.

Con más pesas, se pueden obtener todas las combinaciones de sumas y diferencias. Por ejemplo, con pesas de $1$, $3$ y $9$ kg, colocando algunas en un platillo y otras en el otro, se pueden obtener pesos como $7 = 9 - 3 + 1$, $5 = 9 - 3 - 1$, $11 = 9 + 3 - 1$, entre otros.

Esta idea es fundamental: las pesas no solo se suman; también se restan cuando van en platillos opuestos.

Una de las estrategias más importantes en problemas de mínimo número de pesadas es la siguiente: una bolsa con producto ya pesado puede usarse en pesadas posteriores como si fuera una pesa, porque ya conocemos su peso exacto.

Por ejemplo, si en una primera pesada se obtienen $6$ kg de arroz, esos $6$ kg no solo son parte del pedido, sino que en la segunda pesada se pueden colocar en un platillo como si fueran una pesa de $6$ kg, obteniendo así nuevos pesos.

Esto permite “acumular” pesos: se obtiene una parte, se usa esa parte como pesa para obtener otra parte mayor, y así sucesivamente.

Ejemplo breve: se dispone de pesas de $7$ kg y $11$ kg, y se desea obtener $19$ kg de azúcar.

• Primera pesada: se colocan las pesas de $7$ y $11$ kg en platillos opuestos y se equilibra con azúcar junto a la pesa de $7$. El azúcar pesa $11 - 7 = 4$ kg.
• Segunda pesada: se usan los $4$ kg de azúcar ya pesados y la pesa de $11$ kg en un platillo, y en el otro se coloca azúcar hasta equilibrar. El azúcar pesa $4 + 11 = 15$ kg.

Entonces, juntando la primera y la segunda pesada, se obtienen $4 + 15 = 19$ kg. Se realizaron dos pesadas.

Este razonamiento es muy frecuente en los exámenes de admisión.

En muchos problemas, el producto total disponible es conocido, por ejemplo, un saco con $50$ kg de arroz. Si un cliente pide $P$ kg, no es obligatorio pesar directamente los $P$ kg; a veces es más fácil pesar el complemento $50 - P$ y dejar en el saco exactamente lo pedido.

Ejemplo: si se tiene un saco con $120$ kg de azúcar y pesas de $5$, $9$, $12$ y $19$ kg, y se desea obtener $99$ kg, en lugar de pesar $99$ kg es más cómodo pesar $21$ kg, porque $120 - 99 = 21$. Con las pesas de $12$ y $9$ kg se pueden sumar $21$ kg en una sola pesada. Entonces, se coloca arroz en un platillo hasta equilibrar las pesas de $12$ y $9$ kg; al pesar $21$ kg de azúcar, el saco queda con $99$ kg. Una sola pesada resuelve el problema.

Esta técnica se combina con la de “mitades”, que explicamos a continuación.

Otra técnica de gran utilidad consiste en repartir todo el producto disponible (o una parte conocida) entre los dos platillos junto con las pesas, de modo que la balanza quede en equilibrio. En una sola pesada se obtienen dos cantidades complementarias.

Si se tiene un total de producto $T$ kg y pesas por un peso total $Q$ kg, la suma total que participa en la pesada es $T + Q$. Para que haya equilibrio, cada platillo debe contener la mitad de esa suma total, es decir:

$$\frac{T + Q}{2}$$

Según dónde coloquemos las pesas, cada platillo llevará una cantidad de producto distinta.

Ejemplo: se tiene un saco con $40$ kg de harina y dos pesas de $3$ y $8$ kg. Se desea obtener $17,5$ kg. Se reparte todo el producto y las pesas de la siguiente manera:

• Suma total: $40 + 3 + 8 = 51$ kg.
• Cada platillo debe tener $25,5$ kg.
• En el platillo izquierdo colocamos la pesa de $8$ kg y cierta cantidad $x$ de harina.
• En el platillo derecho colocamos la pesa de $3$ kg y el resto $y$ de harina.

Se cumple:

$$x + 8 = 25,5 \quad \Rightarrow \quad x = 17,5$$

$$y + 3 = 25,5 \quad \Rightarrow \quad y = 22,5$$

Así, en una sola pesada se obtienen los $17,5$ kg pedidos (y de paso otros $22,5$ kg).

Este método es muy poderoso cuando el pedido es una cantidad fraccionaria o cuando las pesas no permiten lograrlo directamente.

Al enfrentar un problema de «¿cuántas pesadas como mínimo?», conviene seguir un orden:

1. Identifica el total disponible (por ejemplo, saco de 50 kg) y el pedido (por ejemplo, 23 kg).
2. Lista los pesos que puedes obtener en una sola pesada con las pesas dadas, considerando sumas y diferencias.
3. Verifica si el pedido coincide con alguno de esos pesos o con su complemento respecto al total.
4. Si no se puede en una pesada, piensa si se puede acumular: obtener un primer peso, usarlo como pesa y obtener otro.
5. Considera la técnica de mitades para obtener dos cantidades simultáneamente.
6. Si hay dos pedidos en bolsas separadas, busca si en una misma pesada se pueden equilibrar ambos platillos con cantidades que correspondan a los pedidos, usando las pesas en ambos lados para ajustar.

Este procedimiento evita los saltos de intuición y permite justificar que el número encontrado es el mínimo.

Hay un grupo de problemas en los que no se busca pesar una cantidad, sino identificar entre varios objetos aquel que tiene un peso distinto (más pesado o más liviano). Se cuenta con una balanza de dos platillos y se pregunta por el mínimo número de pesadas necesarias para encontrarlo con seguridad.

La idea central es que cada pesada puede dividir la sospecha en tres grupos, no en dos:

• Primer platillo: grupo A
• Segundo platillo: grupo B
• Grupo C: los que quedan fuera

Si los platillos se equilibran, el objeto distinto está en C. Si no se equilibran, está en el platillo más pesado (o más liviano, según el caso). Así, cada pesada reduce el conjunto de candidatos aproximadamente a la tercera parte.

De allí se desprende la siguiente propiedad:

Si hay un solo objeto de peso distinto y se sabe si es más pesado o más liviano, y hay $n$ objetos en total, el mínimo número $k$ de pesadas necesarias cumple:

$$3^{k-1} < n \le 3^k$$

Por ejemplo, si hay $15$ monedas y una es más ligera, como $3^2 = 9 < 15 \le 27 = 3^3$, se necesitan $k = 3$ pesadas.

En la práctica, se divide el total en tres grupos lo más iguales posible y se continúa.

Algunos problemas involucran una balanza industrial de dos platillos y varias pesas de distintos valores para equilibrar un gran peso. La pregunta suele ser: «¿cuántas pesas como mínimo se deben utilizar?»

En estos casos, el razonamiento es aritmético: se busca representar el peso total como una combinación de las pesas disponibles, usando la mayor cantidad de las pesas más grandes para minimizar el número total.

Ejemplo breve: si se desea equilibrar $581$ kg con pesas de $7$, $8$ y $9$ kg, conviene usar la mayor cantidad posible de pesas de $9$ kg, porque son las de mayor valor, y ajustar el resto con las otras. Dividiendo $581$ entre $9$, se obtiene $64$ pesas de $9$ kg y sobran $5$ kg. Como $5$ no se puede formar con $7$, $8$ o $9$, se reemplazan algunas pesas de $9$ por otras combinaciones hasta que el sobrante sea un múltiplo de $7$ u $8$. Este tipo de ajuste conduce al mínimo.