Inductivo verbal 2
Aprenderás a clasificar palabras con letras repetidas o palíndromas en arreglos y a elegir entre método aditivo, descuento por simetría o reflejo para contar sus lecturas sin duplicarlas ni omitirlas.
Ruta de estudio
Estudia a tu ritmo
El contenido cambia según tu experiencia, pero tu progreso queda separado y nunca se pierde.
El porqué del tema
¿Para qué estudiamos este tema?
En el tema anterior aprendiste a contar de cuántas maneras se puede leer una palabra en un arreglo de letras usando el principio de adición y el método aditivo. Allí trabajamos, sobre todo, con palabras sin letras repetidas y con un caso particular de letras repetidas: cuando la última letra vuelve a aparecer y obliga a usar el criterio del reflejo.
Sin embargo, los arreglos literales no siempre son tan amables. Muchas palabras tienen letras dobles o repetidas en el interior; otras son palíndromas (capicúas), es decir, se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Cuando una palabra de este tipo se combina con un arreglo simétrico, aparecen lecturas repetidas: dos caminos distintos pueden representar la misma palabra. Si no las detectamos, contamos de más; si descontamos de más, contamos de menos.
Este tema te dará dos herramientas fundamentales:
- Clasificar la palabra como sin repetición, con dobles letras o palíndroma.
- Elegir correctamente entre el método aditivo, el descuento por simetría y el criterio del reflejo.
En términos sencillos: aquí vas a aprender a no duplicar ni olvidar lecturas cuando las letras se repiten o la palabra es capicúa.
Antes de empezar
Lo que necesitas saber antes
Recordemos brevemente los conceptos que vimos en «Inductivo verbal 1».
1. Letras vecinas y distancia mínima
En un arreglo, dos letras son vecinas si están unidas por una línea o si se encuentran en posiciones adyacentes según el diseño. Algunos problemas exigen unir letras vecinas; otros exigen que todas las lecturas se realicen a igual distancia mínima de una letra a otra.
2. Principio de adición
Si para llegar a una letra se puede venir de dos o más letras anteriores, el número de formas de llegar a esa letra es la suma de las formas de llegar a esas letras anteriores.
3. Método aditivo
Se escribe 1 en la letra inicial. Luego, para cada letra siguiente, se suma los números de las letras vecinas anteriores. Al final, se suman los números que quedaron en la última letra de la palabra.
4. Criterio del reflejo
Cuando una palabra obliga a retroceder en el arreglo (porque una letra final ya apareció antes en una fila superior), se puede reflejar una parte del arreglo para completar una palabra artificial, contar con el método aditivo y luego restar los caminos ficticios que no corresponden a la palabra original.
5. Palabra palíndroma
Una palabra es palíndroma, capicúa o simétrica si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo:
Esta propiedad es clave en este tema.
1. Clasificación de las palabras según sus letras
El primer paso para resolver cualquier problema de inductivo verbal es mirar la palabra y clasificarla.
1.1 Palabras sin repetición de letras
Son aquellas en las que ninguna letra aparece más de una vez.
Ejemplos:
- : A, M, O, R, todas distintas.
- : V, I, R, T, U, A, L, todas distintas.
- : T, E, O, R, Í, A, S, todas distintas.
En estos casos, el conteo es más directo: cada camino geométrico produce una secuencia de letras distinta. No hay riesgo de que dos caminos diferentes generen la misma palabra.
1.2 Palabras con dobles letras
Son palabras en las que una o más letras se repiten.
La repetición puede estar:
- Al final: (A repetida), (O repetida).
- En el interior: (L doble), (A repetida varias veces), (E y S repetidas).
- En varias posiciones: (A, R y C repetidas), (S y O repetidas).
La presencia de letras repetidas no impide usar el método aditivo, pero obliga a revisar si dos caminos distintos pueden representar la misma secuencia de letras. Esto ocurre, sobre todo, en arreglos simétricos o compuestos.
1.3 Palabras palíndromas
Son un caso especial de simetría. La palabra se lee igual al derecho y al revés:
En un arreglo simétrico, una palabra palíndroma puede generar lecturas duplicadas: un camino que la recorre de izquierda a derecha y otro que la recorre de derecha a izquierda producen exactamente la misma palabra.
2. Conteo sin repetición de letras: el caso base
Cuando la palabra no tiene letras repetidas, lo más frecuente es que el problema se resuelva con:
- Fórmula directa: si el arreglo es un triángulo simple de filas y la palabra tiene letras, el número de formas es
- Método aditivo: si el arreglo no es triangular simple o tiene forma irregular.
Ejemplo breve
¿De cuántas maneras se puede leer la palabra en un triángulo de 7 filas?
Como no tiene letras repetidas y el arreglo es triangular simple, usamos
Si llenamos el arreglo con el método aditivo, la última fila tendrá los números del triángulo de Pascal:
cuya suma es .
Este es el caso base: sin repetición no hay descuentos adicionales.
3. Palabras con dobles letras internas
Cuando una palabra tiene letras dobles en posiciones internas, el método aditivo sigue funcionando, pero aparece un nuevo cuidado: las letras repetidas pueden compartir caminos en arreglos compuestos.
Veamos la idea con un ejemplo.
Ejemplo: palabra en dos triángulos
La palabra tiene la letra repetida dos veces. Consideremos un arreglo formado por dos triángulos de 5 filas unidos por la letra central de la última fila.
Cada triángulo, por separado, es un triángulo simple de 5 filas. Por lo tanto, en cada uno hay
formas de leer .
Pero los dos triángulos comparten la letra central de la última fila. Entonces, algunas lecturas que pasan por esa central se están contando dos veces.
¿Cuántas lecturas pasan por la central en un triángulo de 5 filas?
En el triángulo de Pascal, la fila 5 es
La central de la fila 5 corresponde al número . Es decir, 6 caminos terminan en la central.
Por lo tanto, al unir los dos triángulos, hay que restar esas 6 lecturas compartidas:
Este es un punto importante: no siempre se descuenta 1. Cuando se comparte una letra que ocupa una posición central en una fila, hay que calcular cuántos caminos pasan por ella usando el triángulo de Pascal o el método aditivo.
4. Palabras palíndromas: simetría de la palabra y del arreglo
El caso más delicado ocurre cuando la palabra es palíndroma y el arreglo es simétrico.
¿Por qué importa?
Si una palabra es capicúa, leerla de izquierda a derecha es lo mismo que leerla de derecha a izquierda. Entonces, en un arreglo simétrico, un camino y su camino reflejo pueden producir exactamente la misma palabra.
Fórmula para arreglos simétricos
Supón que contaste todos los caminos geométricos (considerando ambos sentidos) y obtuviste . Si caminos están exactamente sobre el eje de simetría, entonces esos caminos no tienen pareja: son su propio reflejo. Los demás caminos vienen en pares que representan la misma palabra.
Por lo tanto, el número de lecturas distintas es
Esta fórmula se usa solo cuando la palabra es palíndroma y el arreglo es simétrico.
Ejemplo breve: palabra en un rombo
Para leer , se empieza en la superior, se baja a una , luego a una , luego a una , y se termina en la inferior.
- De la superior a la central: hay caminos.
- De la central a la inferior: hay otros caminos.
- Combinando ambos tramos: caminos en un sentido.
Como es palíndroma, leerla en sentido contrario no produce formas nuevas: son las mismas 16 lecturas. Por eso el total es .
Si no nos damos cuenta de que la palabra es palíndroma y sumamos ambos sentidos, diríamos , que es un error.
5. El criterio del reflejo en palabras con dobles letras
El criterio del reflejo, que viste en el tema anterior, también se aplica cuando hay dobles letras que obligan a retroceder.
Idea central
Cuando una palabra tiene una letra repetida y el arreglo permite usarla dos veces —una como letra intermedia y otra como letra final—, puede haber rutas que regresen a una fila anterior. Para contarlas de manera ordenada:
- Reflejamos la parte del arreglo que obliga a retroceder.
- Completamos una palabra artificial que se puede leer sin retroceder.
- Contamos las lecturas de la palabra artificial.
- Restamos los caminos ficticios que no corresponden a la palabra original.
Veamos un caso con dobles letras donde se produce retroceso.
Ejemplo: palabra en un rombo
La palabra tiene la letra repetida: una es la segunda letra y otra es la cuarta letra.
Al leer , después de llegar a una de la fila 3, podemos:
- bajar a una de la fila 4, o
- retroceder a una de la fila 2.
Por lo tanto, hay dos tipos de lecturas: las que terminan abajo y las que terminan arriba.
Una forma segura de contar es enumerar según la inicial elegida.
- Si empezamos por la izquierda de la fila 2:
- De esa a la izquierda: 2 caminos finales.
- De esa a la central: 4 caminos finales.
- Si empezamos por la derecha de la fila 2:
- De esa a la central: 4 caminos finales.
- De esa a la derecha: 2 caminos finales.
Total:
El criterio del reflejo nos permitiría sistematizar este conteo sin tener que enumerar todos los casos, reflejando una de las filas de y completando el triángulo. Por eso conviene dominarlo: en arreglos más grandes, enumerar a mano se vuelve inviable.
6. Estrategia general de resolución
Cuando enfrentes un problema de este tipo, sigue estos pasos:
Paso 1: Lee con calma el enunciado
Fíjate si se pide unir letras vecinas o respetar una distancia mínima. Eso cambia qué letras están permitidas.
Paso 2: Clasifica la palabra
Pregúntate:
- ¿Tiene letras repetidas?
- ¿Es palíndroma?
- ¿Cuántas letras tiene?
Paso 3: Observa el arreglo
Determina si es:
- triangular simple,
- arreglo compuesto (varios triángulos),
- simétrico,
- o si obliga a retroceder.
Paso 4: Elige el método
| Situación | Método recomendado |
|---|---|
| Palabra sin repetición en triángulo simple | |
| Palabra sin repetición en arreglo irregular | Método aditivo |
| Palabra con dobles letras, sin retroceso | Método aditivo y descuentos por arreglos compuestos |
| Palabra palíndroma en arreglo simétrico | Contar un sentido y descontar duplicados |
| Palabra con letras repetidas y retroceso | Criterio del reflejo |
Paso 5: Llena la tabla con cuidado
Si usas el método aditivo, escribe 1 en la letra inicial y suma solo las letras vecinas anteriores. No sumes letras iguales solo porque tengan la misma letra.
Paso 6: Revisa los descuentos
Pregúntate:
- ¿Hay letras compartidas entre dos partes del arreglo?
- ¿Cuántos caminos pasan por la letra compartida?
- ¿La palabra es palíndroma y el arreglo es simétrico?
Cuidado
Errores frecuentes
Error 1: Aplicar a cualquier arreglo
La fórmula solo vale para triángulos simples y palabras sin letras repetidas. En arreglos rombos, compuestos o con retrocesos, esta fórmula falla.
Error 2: Contar a mano sin método en arreglos con dobles letras
Cuando hay letras repetidas, enumerar a mano puede llevar a olvidar caminos o contar otros dos veces. Es preferible usar el método aditivo, el descuento por simetría o el criterio del reflejo.
Error 3: En arreglos compuestos, restar siempre 1
No siempre la lectura repetida es una sola. Si la letra compartida está en una fila con varias entradas, puede haber más de un camino que pase por ella. Hay que calcular ese número con el triángulo de Pascal o con el método aditivo.
Error 4: En palabras palíndromas, sumar ambos sentidos
Si la palabra es capicúa y el arreglo es simétrico, leer de un extremo al otro y leer en sentido contrario son la misma palabra. Sumar ambos sentidos duplica el resultado.
Error 5: En el método aditivo, sumar mal las letras repetidas
Cada aparición de una letra en el arreglo es una posición distinta. No se deben sumar automáticamente todos los números de las letras iguales; solo se suman si son vecinas de la letra anterior.
Error 6: En el criterio del reflejo, olvidar restar los caminos ficticios
Al reflejar y completar una palabra artificial, se agregan caminos que no existen en el arreglo original. Si no se restan, el resultado queda inflado.
Aprende resolviendo
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: Palabra sin repetición en triángulo simple
Enunciado: ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra en el siguiente arreglo triangular de 7 filas?
Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.
Ejemplo 2: Doble letra interna y arreglo compuesto
Enunciado: En el arreglo formado por dos triángulos de 5 filas unidos por la letra central de la última fila, ¿de cuántas maneras se puede leer la palabra ?
Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.
Ejemplo 3: Palabra palíndroma en arreglo simétrico
Enunciado: En el arreglo rombo simétrico, ¿de cuántas maneras se puede leer la palabra ?
Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.
Ejemplo 4: Doble letra y retroceso en un rombo
Enunciado: En el arreglo rombo mostrado, ¿de cuántas maneras se puede leer la palabra ?
Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.
Lo que viene
Hacia el siguiente tema
El método aditivo y los descuentos por simetría que acabas de estudiar no se usan solo con letras. En el siguiente tema, Rutas y trayectorias 1, aplicarás la misma lógica para contar caminos en cuadrículas y figuras geométricas. Ahora que ya sabes clasificar, sumar y descontar, podrás trasladar ese razonamiento a trayectorias.
¿Lo dominas?
Pon a prueba lo que aprendiste
9 preguntas de práctica tipo admisión, con clave y resolución explicada.
Evaluación del tema
20 preguntas para medir aprendizaje real
Hasta 6 básicas, 8 intermedias y 6 avanzadas; si un nivel no alcanza, se completa con el nivel más cercano. El diagnóstico recomienda una ruta; la evaluación final actualiza el porcentaje y puede marcar el tema como aprendido.
Aprender desde las preguntas