Verdades y mentiras 1

Cuando dos personajes hablan, no nos interesa únicamente lo que dice cada uno por separado. Muchas veces, la relación entre sus afirmaciones es lo que permite resolver el problema.

Existen tres relaciones fundamentales: proposiciones equivalentes, proposiciones contrarias y proposiciones contradictorias.

1.1 Proposiciones equivalentes

Dos proposiciones son equivalentes cuando expresan el mismo significado, aunque usen palabras distintas. Por eso, siempre tienen el mismo valor de verdad: si una es verdadera, la otra también; si una es falsa, la otra también.

Ejemplo sin contexto:

• Ana: «Hoy es viernes».
• Beto: «Mañana será sábado».

Si Ana dice la verdad, entonces hoy es viernes y mañana será sábado, así que Beto también dice la verdad. Si Ana miente, hoy no es viernes; por lo tanto, mañana no será sábado, y Beto también miente. Las dos proposiciones son equivalentes.

En los problemas de admisión, la equivalencia suele depender del contexto.

Otro ejemplo típico: si solo hay una ganadora y Rosa dice «Vilma campeonó», entonces afirmar «Rosa miente» es equivalente a afirmar «Vilma no campeonó». La equivalencia no está en las palabras sueltas, sino en la situación: si Rosa miente, lo que dijo es falso; y como lo que dijo fue «Vilma campeonó», entonces Vilma no campeonó.

1.2 Proposiciones contrarias

Dos proposiciones son contrarias cuando no pueden ser ambas verdaderas, pero sí pueden ser ambas falsas.

Ejemplo clásico:

• Ana: «Hoy es lunes».
• Beto: «Hoy es martes».

Ambas no pueden ser verdaderas a la vez. Sin embargo, si hoy es miércoles, las dos son falsas. Por eso decimos que son contrarias, no contradictorias.

En los problemas de verdades y mentiras, si encuentras dos proposiciones contrarias, ya sabes algo importante: al menos una de ellas es falsa. Pero todavía no sabes cuál, porque podría ser una de ellas o las dos.

1.3 Proposiciones contradictorias

Dos proposiciones son contradictorias cuando una es exactamente la negación de la otra. En este caso:

• no pueden ser ambas verdaderas;
• no pueden ser ambas falsas;
• siempre una es verdadera y la otra es falsa.

Ejemplos:

• $p$: «Hoy es lunes».
  $q$: «Hoy no es lunes».
• $p$: «Carla es casada».
  $q$: «Carla no es casada».
• $p$: «María miente».
  $q$: «María dice la verdad».

En los problemas, muchas veces la contradicción está disfrazada. Por ejemplo, si Carla dice «Emilia es casada» y Emilia dice «Carla mintió cuando dijo que yo soy casada», Emilia en realidad está diciendo «No soy casada». Por tanto, su afirmación es contradictoria con la de Carla.

También hay contradicción entre:

• «Yo no fui» y «Tú mentiste al decir que no fuiste».
• «Ariel puede entrar a la obra» y «Ariel está mintiendo: no puede entrar».

En síntesis:

El método más potente y más usado en este tema consiste en buscar dos proposiciones contradictorias.

La razón es simple: si dos proposiciones son contradictorias, sabes con certeza que una es verdadera y la otra es falsa. Eso permite fijar valores y, con los datos del problema, deducir los demás.

Pasos del método

1. Traduce cada afirmación a una proposición clara.
2. Busca dos que se contradigan.
3. Marca que entre ellas hay exactamente una verdad y una mentira.
4. Usa el dato global del problema:
   • Si se sabe que hay una sola afirmación verdadera, entonces esa única verdad está en el par contradictorio, y todas las demás son falsas.
   • Si se sabe que hay una sola afirmación falsa, entonces esa única falsa está en el par contradictorio, y todas las demás son verdaderas.
5. Deduce los hechos reales a partir de las afirmaciones que quedaron fijadas.

Ejemplo breve

Un padre sabe que uno de sus cinco hijos causó un desorden. Al preguntarles, estos declaran:

• María: «Yo no causé el desorden».
• Clara: «María miente».
• Francisco: «Clara miente».
• Manuel: «Clara causó el desorden».
• Fernando: «Manuel dice la verdad».

Si solo una de las cinco afirmaciones es verdadera, ¿quién es inocente?

Primero, observa a María y Clara.
María dice: «Yo no causé el desorden».
Clara dice: «María miente», lo cual equivale a decir «María sí causó el desorden».

Esas dos proposiciones son contradictorias: una dice «María no causó» y la otra «María sí causó». Por lo tanto, entre María y Clara hay exactamente una verdad y una mentira.

Como el problema dice que solo una afirmación es verdadera, esa única verdad debe estar entre María y Clara. Entonces, las afirmaciones de Francisco, Manuel y Fernando son falsas.

• Francisco: «Clara miente» es falso, por lo tanto Clara dice la verdad.
• Si Clara dice la verdad, entonces María miente.
• Manuel: «Clara causó el desorden» es falso, por lo tanto Clara no causó el desorden.
• Fernando: «Manuel dice la verdad» es falso, por lo tanto Manuel miente.

Así, Clara dice la verdad y no causó el desorden; Clara es la inocente.

Este ejemplo muestra lo poderosa que es la contradicción: una vez encontrada, fija todos los demás valores.

No siempre encontraremos un par contradictorio útil. Tampoco siempre bastará con él. En esos casos se usa el principio de suposición, que consiste en:

1. Elegir una proposición o una persona que sea clave, es decir, que al suponer su valor de verdad determine muchos otros valores.
2. Suponer que esa proposición es verdadera o falsa.
3. Asignar los valores de las demás proposiciones usando las reglas del problema.
4. Verificar si se cumplen todos los datos.
5. Si se llega a una contradicción, la suposición inicial era incorrecta; se cambia por la otra posibilidad.

Este método también se llama análisis de casos.

¿Cómo elegir una buena suposición?

Conviene suponer sobre:

• la persona que ganó o que cometió la acción;
• la caja cuyo rótulo podría ser falso;
• la primera afirmación de un personaje que hace dos afirmaciones;
• una proposición que aparece relacionada con varias otras.

Un atajo importante: cuando hay dos posibilidades contrarias, muchas veces solo necesitas probar una. Si falla, la otra es la correcta.

Ejemplo breve

En una carrera de 100 metros participan cinco personas: André, Boris, Carlos, David y Evaristo. No hay empates. Al preguntar quién ganó, responden:

• André: «Boris ganó».
• Boris: «Carlos ganó».
• Carlos: «David ganó».
• David: «Yo no gané».
• Evaristo: «Yo no gané».

Si hubo un único ganador y solo una de las cinco afirmaciones es verdadera, ¿quién ganó?

Este problema no se resuelve cómodamente buscando una contradicción al inicio. Conviene suponer quién ganó.

Si suponemos que el ganador fue Evaristo:

• André: «Boris ganó» → falso.
• Boris: «Carlos ganó» → falso.
• Carlos: «David ganó» → falso.
• David: «Yo no gané» → verdadero.
• Evaristo: «Yo no gané» → falso.

Se obtiene exactamente una afirmación verdadera. Por lo tanto, Evaristo ganó.

Si hubiéramos supuesto que ganó David, habría ocurrido lo siguiente:

• Carlos: «David ganó» → verdadero.
• David: «Yo no gané» → falso.
• Evaristo: «Yo no gané» → verdadero.

Habría al menos dos verdades, lo que contradice el dato. Por eso, David no pudo ser el ganador.

En la UNMSM, los problemas de verdades y mentiras no aparecen con una única forma. A continuación se presentan las variantes más comunes y el enfoque adecuado para cada una.

4.1 «Solo uno miente» o «solo uno dice la verdad»

En esta variante, el dato central es el número de afirmaciones verdaderas o falsas.

Estrategia:

• Si encuentras un par contradictorio, ya tienes localizada la única verdad o la única mentira, según el caso. Las demás quedan automáticamente determinadas.
• Si encuentras un par de proposiciones equivalentes, recuerda que ambas deben tener el mismo valor. Eso puede descartar posibilidades.

4.2 «Todos mienten»

Cuando se dice que un personaje miente siempre, cada una de sus afirmaciones es falsa. Entonces, se reemplaza cada afirmación por su negación y se buscan los datos que cumplan todas las negaciones.

Ejemplo típico:
Si un niño dice:

• «Tengo más de 18 años».
• «Mi edad es par».
• «Hace 7 años mi edad era de una cifra».

Y se sabe que miente siempre, negamos:

• «Tengo a lo más 18 años» → $\text{edad} \le 18$.
• «Mi edad es impar».
• «Hace 7 años mi edad no era de una cifra» → hace 7 años tenía dos cifras → $\text{edad} - 7 \ge 10$ → $\text{edad} \ge 17$.

Entonces, la edad debe ser un número impar entre 17 y 18 inclusive. El único es 17.

4.3 Cada persona dice una verdad y una mentira

Aquí cada personaje formula dos afirmaciones, y se sabe que una es verdadera y la otra es falsa, aunque no se indica cuál.

Estrategia:

• No conviene asumir que la primera es verdadera.
• Se elige una afirmación clave y se supone verdadera o falsa.
• Luego se exige que cada personaje tenga exactamente una V y una F.
• Se verifica que no se rompan las restricciones externas: que no haya empates, que las profesiones sean distintas, que no haya dos ganadores, etc.

4.4 Tablas de respuestas

En estos problemas se muestra una tabla con las respuestas de varios estudiantes a una serie de preguntas. Se informa, por ejemplo, que uno respondió todas bien, otro todas mal y los demás tuvieron uno, dos o tres errores.

Estrategia:

• La fila del estudiante que respondió todas correctamente es la clave.
• Los demás se comparan con esa clave contando diferencias.
• El estudiante que respondió todas incorrectamente tendrá todas sus respuestas opuestas a las de la clave.
• Si no se sabe quién es la clave, se supone y se verifica que el número de errores de los demás coincida con el dato.

4.5 Conteo de mentirosos

Hay problemas en los que se pregunta cuántos mentirosos hay. La idea central es que un mentiroso no puede decir la verdad, y un veraz no puede decir una mentira.

Un formato muy regular es este: se reúne a $n$ personas y se les pregunta «¿cuántos mentirosos hay?». La primera dice «1», la segunda dice «2», …, la última dice «$n$».

Sea $m$ el número real de mentirosos. Entonces:

• La afirmación «hay $m$ mentirosos» es verdadera.
• Las demás afirmaciones «hay $k$ mentirosos» con $k \neq m$ son falsas.

Como cada persona da un número distinto, solo una persona dice la verdad. Por lo tanto, hay exactamente un veraz y $n-1$ mentirosos.

4.6 Cajas rotuladas y correspondencias

También se presentan problemas de cajas, bolsas o etiquetas donde hay rótulos que indican el contenido. Algunos rótulos son verdaderos y otros falsos.

Estrategia:

• Suponer qué rótulo es falso.
• Verificar que los contenidos resultantes coincidan con las condiciones del problema.
• Usar restricciones numéricas como sumas totales, cantidades de billetes o pesos para descartar casos.