Elementos recreativos 3 (dominós, situaciones sobre deudas)

La ficha de dominó

Una ficha de dominó es un rectángulo dividido en dos casillas cuadradas. Cada casilla muestra una cantidad de puntos desde $0$ hasta $6$. Al $0$ también se le llama “blanca”.

La ficha anterior se denota $5|2$. Eso significa que una casilla tiene 5 puntos y la otra 2.

Si las dos casillas tienen el mismo número, la ficha se llama doble. Por ejemplo: $0|0$, $1|1$, $3|3$, $6|6$.

Si las dos casillas tienen números distintos, la ficha se llama mixta. Por ejemplo: $0|3$, $2|5$, $4|6$.

El juego completo

Un juego completo de dominó contiene 28 fichas. Esto se debe a que hay:

• 7 fichas dobles: $$0|0,\ 1|1,\ 2|2,\ 3|3,\ 4|4,\ 5|5,\ 6|6.$$
• 21 fichas mixtas, que son todas las combinaciones de dos números distintos entre 0 y 6: $$\binom{7}{2}=21.$$

Por lo tanto: $$7+21=28.$$

Cada ficha es única; no se repite. Esta propiedad es fundamental en los problemas de minimización, porque no podemos usar varias copias de una misma ficha.

¿Cuántas veces aparece cada número?

Un dato muy importante para resolver problemas de admisión es cuántas veces aparece cada número en el juego completo.

Fijemos un número, por ejemplo el $4$.

• El $4$ aparece en las fichas mixtas con los otros seis números: $$0|4,\ 1|4,\ 2|4,\ 3|4,\ 4|5,\ 4|6.$$ En cada una de esas 6 fichas, el $4$ aparece una vez.
• Además, el $4$ aparece dos veces en la ficha doble $4|4$.

Entonces, el número $4$ aparece en $6+2=8$ casillas en total.

Lo mismo ocurre con cualquier número del $0$ al $6$: cada número aparece en 8 casillas.

Así, el total de puntos del juego completo es: $$8(0+1+2+3+4+5+6)=8\cdot 21=168.$$

Este es el dato más importante de los problemas de dominó.

Suma de puntos de una ficha

La suma de puntos de una ficha $a|b$ es simplemente: $$a+b.$$

Por ejemplo:

• $3|5$ suma $8$.
• $0|0$ suma $0$.
• $6|6$ suma $12$.

Las fichas de menor suma del juego completo son:

Esto es útil porque, cuando se pide minimizar una suma, conviene empezar probando con las fichas más “baratas” del juego.

La regla de adyacencia

En el dominó, la regla básica de colocación es la siguiente:

Las casillas adyacentes de dos fichas contiguas deben tener el mismo número de puntos.

Por ejemplo, si colocamos la ficha $2|3$ junto a otra ficha, la casilla de contacto debe mostrar el mismo número en ambas fichas.

En esa cadena:

• La ficha $2|3$ tiene a la derecha una casilla con 3.
• La ficha $3|5$ tiene a la izquierda una casilla con 3, por eso se puede juntar con la anterior.
• La ficha $3|5$ tiene a la derecha una casilla con 5.
• La ficha $5|0$ tiene a la izquierda una casilla con 5.

Así se forma una cadena válida: $$2|3 \quad 3|5 \quad 5|0.$$

Leer diagramas con fichas ocultas o retiradas

En los problemas de admisión suele aparecer una figura con fichas colocadas y algunas fichas retiradas. Los lugares vacíos se marcan con líneas punteadas o con sombreado.

Para razonar en estos problemas:

1. Asigna una variable a cada casilla desconocida.
2. Usa la regla de adyacencia: si dos casillas contiguas pertenecen a fichas vecinas, deben tener el mismo valor; por lo tanto, una misma variable puede repetirse en varias posiciones.
3. Escribe cada ficha como un par de variables.
4. Usa las restricciones del problema: la suma total de puntos, el hecho de que las fichas provienen de un juego completo, los valores permitidos de cada casilla ($0$ a $6$) y la unicidad de cada ficha.

En una cadena sin bifurcaciones, cada número interno aparece dos veces en las zonas de contacto, mientras que los extremos pueden aparecer una sola vez. En figuras con uniones en “T” o en cruz, el número de la casilla central debe ser el mismo para todas las fichas que concurren allí.

Las fichas no se repiten

Un error frecuente es tratar de usar dos fichas $0|1$, dos fichas $0|0$, etc. En el juego completo solo hay una ficha de cada tipo. Por eso, al reconstruir una disposición o elegir fichas, se debe verificar que no se repita ningún par $a|b$.

Una variante muy importante de los problemas de dominó es aquella en la que se eligen fichas y se colocan en posiciones con una parte superior y una parte inferior.

Cada ficha tiene dos casillas. Si la ficha se coloca vertical, una casilla queda arriba y otra abajo. Si se coloca horizontal, una casilla queda a la izquierda y otra a la derecha. En ambos casos, la idea es la misma: la ficha aporta un número a una zona y el otro número a la otra zona.

La condición de proporción

Supongamos que se eligen $n$ fichas y se colocan de modo que una casilla de cada ficha esté en la parte superior y la otra en la parte inferior.

Sean:

• $S_{\text{sup}}$: suma de los puntos de las casillas superiores.
• $S_{\text{inf}}$: suma de los puntos de las casillas inferiores.
• $T$: suma total de puntos de todas las fichas elegidas.

Entonces: $$T = S_{\text{sup}} + S_{\text{inf}}.$$

Si el problema pide que la suma superior sea, por ejemplo, el cuádruplo de la inferior: $$S_{\text{sup}}=4S_{\text{inf}},$$ entonces: $$T = 4S_{\text{inf}} + S_{\text{inf}} = 5S_{\text{inf}}.$$

Por lo tanto, la suma total $T$ debe ser múltiplo de $5$.

Este es el paso clave: la proporción convierte la suma total en un múltiplo fijo.

Estrategia para minimizar

Para hallar la mínima suma total posible:

1. Calcula la suma mínima absoluta de $n$ fichas del dominó, usando las fichas más baratas.
2. Plantea la condición de proporción y obtén que $T$ debe ser múltiplo de un número, por ejemplo $5$.
3. Prueba desde el primer múltiplo que sea mayor o igual a la suma mínima absoluta.
4. Verifica si ese valor es alcanzable con $n$ fichas distintas del dominó y con una orientación adecuada.
5. Si no es alcanzable, sube al siguiente candidato.

La suma mínima absoluta de algunas cantidades de fichas es:

Por ejemplo, para 6 fichas, las seis fichas de menor suma son: $$0|0,\ 0|1,\ 0|2,\ 1|1,\ 0|3,\ 1|2,$$ que suman: $$0+1+2+2+3+3=11.$$

Si la condición exige que $T$ sea múltiplo de $5$, el primer candidato no es $11$, sino $15$. Luego hay que verificar si existen seis fichas distintas cuya partición entre superior e inferior cumpla la proporción.

Verificación de existencia

Probar un valor de $T$ no es solo decir “$T$ es múltiplo”. Hay que mostrar que existen las fichas y la orientación.

Para verificar, conviene:

1. Igualar $S_{\text{inf}}=k$.
2. Obtener $S_{\text{sup}}$ con la proporción.
3. Buscar fichas concretas del dominó cuyas mitades inferiores sumen $k$ y cuyas mitades superiores sumen $S_{\text{sup}}$.
4. Revisar que ninguna ficha se repita.

En la práctica, si se quiere minimizar, se asignan las mitades inferiores más pequeñas posibles: muchos ceros y unos, y se completan las superiores con las otras casillas de las fichas elegidas.

Ahora pasamos a las situaciones sobre deudas.

En la vida cotidiana, si Juan le debe a Pedro y Pedro le debe a Juan, no siempre es necesario que cada uno pague por separado. Se puede comparar lo que cada uno debe y lo que le deben, y pagar solo la diferencia.

Los problemas de admisión usan exactamente esta idea.

La idea de deuda neta

Supongamos que tenemos varias personas y una lista de deudas entre ellas:

• $A$ debe $x$ a $B$.
• $B$ debe $y$ a $C$.
• $C$ debe $z$ a $A$.

Para cada persona se define:

• Total que debe: la suma de todos los montos que esa persona debe.
• Total que le deben: la suma de todos los montos que otras personas le deben a ella.

Luego se calcula el saldo neto: $$\text{Saldo} = \text{total que le deben} - \text{total que debe}.$$

Interpretación:

• Si el saldo es positivo, la persona es acreedora neta: en la liquidación final debe recibir ese saldo.
• Si el saldo es negativo, la persona es deudora neta: en la liquidación final debe pagar el valor absoluto de ese saldo.
• Si el saldo es cero, sus deudas y cobros se compensan exactamente.

Propiedad fundamental

La suma de todos los saldos netos siempre es cero.

Esto ocurre porque cada deuda aparece dos veces: una vez como “debe” para una persona y otra vez como “le deben” para otra. Por eso, lo que unos deben es exactamente lo que otros van a cobrar.

Entonces, para cancelar todas las deudas, basta que los deudores netos paguen sus saldos a los acreedores netos.

Ejemplo breve

Tres personas: $A$, $B$ y $C$.

Deudas:

• $A$ debe S/. 80 a $B$.
• $B$ debe S/. 30 a $C$.
• $C$ debe S/. 40 a $A$.

Tabla de saldos:

Deudores netos: $A$ debe pagar 40 y $C$ debe pagar 10.
Acreedor neto: $B$ debe recibir 50.

La cancelación se logra si:

• $A$ paga S/. 40 a $B$.
• $C$ paga S/. 10 a $B$.

Observa que no importa a quién le debía originalmente cada uno. $C$, por ejemplo, le debía originalmente a $A$, pero en el pago equivalente le paga a $B$. El efecto neto es el mismo.

Método paso a paso

Para resolver una situación sobre deudas:

1. Lee con cuidado a quién le debe cada persona. No confundas “$A$ debe a $B$” con “$B$ debe a $A$”.
2. Haz una tabla con las columnas: persona, total que debe, total que le deben, saldo.
3. Calcula los saldos netos.
4. Identifica deudores y acreedores netos.
5. Propón pagos de los deudores hacia los acreedores por los montos exactos de sus saldos.
6. Verifica que todos queden con saldo cero.

Cancelación de deudas mutuas

Un atajo útil es cancelar deudas entre las mismas personas.

Por ejemplo, si:

• $X$ debe S/. 100 a $Y$.
• $Y$ debe S/. 70 a $X$.

Eso es equivalente a que $X$ deba a $Y$ solamente: $$100-70=30.$$

La deuda menor se cancela con parte de la deuda mayor.

Este procedimiento simplifica el problema y puede hacerse antes de calcular los saldos.

También se puede usar con ciclos, por ejemplo si $A$ debe a $B$, $B$ debe a $C$ y $C$ debe a $A$. En ese caso, se puede reducir el ciclo restando el menor de los tres montos.

Verificación de opciones múltiples

En el examen, las preguntas suelen presentar opciones con pagos propuestos.

Para saber cuál es la correcta:

1. Calcula los saldos netos.
2. Compara cada opción con esos saldos.
3. La opción correcta debe lograr que los deudores netos paguen exactamente lo que deben y los acreedores netos reciban exactamente lo que les deben.
4. Desconfía de opciones que dejan a alguna persona con saldo pendiente.

Esta técnica es más rápida y segura que intentar rastrear cada deuda original.