Frecuencia de sucesos 2

1.1. La imagen mental de la línea de tiempo

Cuando se habla de pastillas, campanadas o disparos, conviene imaginar una línea horizontal en la que cada marca representa un suceso.

Por ejemplo, si un paciente toma su medicamento cada $8$ horas, se tiene:

En esta línea hay:

• $5$ tomas;
• $4$ intervalos de $8$ horas;
• tiempo total desde la primera hasta la quinta toma: $4 \times 8 = 32$ horas.

Ese es el punto central: si hay $n$ tomas, hay $n-1$ intervalos.

Por eso, si un problema dice que un tratamiento duró $X$ horas y que las tomas fueron cada $t$ horas, el número de tomas no es $X/t$, sino:

$$\text{número de tomas} = \frac{X}{t} + 1$$

Y, al revés, si conocemos el número total de tomas $m$, la duración desde la primera hasta la última toma es:

$$X = (m-1)t$$

1.2. Campanadas: el modelo del “sonido instantáneo”

El caso de las campanadas es uno de los clásicos de este tema.

En los problemas escolares y preuniversitarios se asume, salvo que se diga lo contrario, que la duración de cada campanada es instantánea. Así, el tiempo que “tarda un reloj en dar $n$ campanadas” se reparte en los silencios entre campanada y campanada.

Si un reloj da $n$ campanadas en $T$ segundos, entonces hay:

$$n-1$$

intervalos de silencio.

Por tanto, el tiempo entre dos campanadas consecutivas es:

$$t = \frac{T}{n-1}$$

Ejemplo breve:

Un reloj da $5$ campanadas en $12$ segundos. Entonces hay $4$ intervalos, por lo que cada intervalo dura:

$$t = \frac{12}{4} = 3 \text{ s}$$

Si se pregunta cuánto tardará en dar $9$ campanadas, habrá $8$ intervalos:

$$8 \times 3 = 24 \text{ s}$$

El error típico sería hacer una regla de tres directa:

$$5 \text{ campanadas} \rightarrow 12 \text{ s}$$

$$9 \text{ campanadas} \rightarrow x$$

Eso daría $x = 21.6$ s, lo cual es incorrecto, porque no se considera que la primera campanada ocurre en el instante inicial.

Una variante muy importante en los exámenes es aquella en la que un paciente toma una cantidad de pastillas cada cierto tiempo, pero esa cantidad cambia a lo largo del tratamiento.

El enunciado típico es:

• el paciente tiene varios frascos;
• cada frasco contiene una cantidad fija de cápsulas;
• se toma una cantidad de cápsulas de un frasco cada cierto tiempo;
• cuando se agota ese frasco, continúa con el siguiente;
• la cantidad de cápsulas por toma puede cambiar de un frasco a otro.

La lógica de resolución es más importante que memorizar una fórmula.

Método para varios frascos

1. Identificar la frecuencia: cada cuántas horas se da una toma.
   En general, el problema dirá algo como “cada $8$ horas”.

2. Calcular cuántas tomas dura cada frasco:

$$\text{tomas del frasco } i = \frac{\text{cápsulas del frasco } i}{\text{cápsulas por toma en esa etapa}}$$

Debe dar un número entero en los problemas usuales.

3. Sumar todas las tomas:

$$\text{total de tomas} = \text{tomas del frasco 1} + \text{tomas del frasco 2} + \cdots$$

4. Calcular la duración:

$$\text{duración} = (\text{total de tomas} - 1) \times \text{intervalo de tiempo}$$

La justificación es la misma de la línea de tiempo: si hay $m$ tomas y entre toma y toma pasan $t$ horas, entonces desde la primera toma hasta la última hay $m-1$ intervalos de $t$ horas.

Es muy importante no sumar un intervalo adicional al cambiar de frasco. El tratamiento es continuo: el paciente toma el medicamento cada $t$ horas, sin importar de cuál frasco provengan las cápsulas.

2.1. Cuidado con el total de cápsulas

Un error frecuente es sumar todas las cápsulas y dividir entre la última dosis, o entre una dosis promedio. Eso no es correcto cuando la dosis cambia.

Por ejemplo, si un paciente toma:

• $4$ cápsulas por vez en una etapa,
• luego $3$ cápsulas por vez,
• luego $2$ cápsulas por vez,

no se puede calcular la duración dividiendo $360$ cápsulas entre $2$, porque en las primeras etapas tomaba más cápsulas en cada toma.

La forma segura es contar tomas, no cápsulas totales.

Otro tipo de problema que ha aparecido en los exámenes es aquel en el que no conocemos la cantidad de pastillas por toma, pero sí conocemos el total de pastillas consumidas y una relación entre la dosis y el número de periodos.

Es útil distinguir dos palabras que el estudiante suele confundir:

• Toma: cada vez que el paciente ingiere una o varias pastillas.
• Periodo: el intervalo de tiempo entre dos tomas consecutivas.

Si un tratamiento dura $X$ horas y la frecuencia es $t$ horas, entonces el número de periodos $k$ es:

$$k = \frac{X}{t}$$

Y como hay una toma al inicio y otra al final, el número de tomas será:

$$\text{tomas} = k + 1$$

La relación fundamental para el total de pastillas es:

$$\text{total de pastillas} = (\text{pastillas por toma}) \times (\text{número de tomas})$$

Forma de resolver

Supongamos que el paciente toma $x$ pastillas cada $t$ horas.

• Sea $k$ el número de periodos de $t$ horas.
• El número de tomas es $k+1$.
• El total de pastillas es $x(k+1)$.

Si el problema dice, por ejemplo, que $x$ es “el número de periodos menos $3$”, entonces:

$$x = k - 3$$

Reemplazamos en la fórmula del total:

$$x(k+1) = \text{total}$$

$$(k-3)(k+1) = \text{total}$$

Se obtiene una ecuación, generalmente cuadrática, que se resuelve.

Al final, la duración se calcula como:

$$X = kt$$

Una forma alternativa de plantear este mismo problema es despejar $k$ en términos de $x$.

Si:

$$x = k - 3$$

entonces:

$$k = x + 3$$

El número de tomas será:

$$k+1 = x+4$$

Como el total de pastillas es $32$:

$$x(x+4)=32$$

De aquí también se obtiene $x = 4$, y por lo tanto:

$$k = 4+3=7$$

$$X = 7 \times 8 = 56 \text{ h}$$

La misma lógica de las campanadas se aplica a los disparos, pitidos, sirenas o cualquier sonido que se repita en el tiempo.

Si una ametralladora dispara $n$ balas en $T$ segundos, se asume que hay $n-1$ intervalos entre la primera y la última bala.

Por lo tanto, el tiempo entre dos disparos consecutivos es:

$$t = \frac{T}{n-1}$$

Esto permite comparar ritmos de disparo.

Ejemplo breve:

La ametralladora $A$ dispara $4$ balas en $6$ segundos. Entonces tiene $3$ intervalos:

$$t_A = \frac{6}{3} = 2 \text{ s}$$

La ametralladora $B$ dispara $5$ balas en $12$ segundos. Entonces tiene $4$ intervalos:

$$t_B = \frac{12}{4} = 3 \text{ s}$$

Así, $A$ dispara más rápido que $B$, porque entre bala y bala deja menos tiempo.

Si un problema pide igualar la cantidad de balas disparadas por dos armas, conviene expresar la cantidad de disparos en función del tiempo.

Si un arma comienza a disparar en el instante $0$ y deja $t$ segundos entre disparo y disparo, entonces después de $T$ segundos, el número de disparos es:

$$\text{disparos} = \frac{T}{t} + 1$$

siempre que $T$ sea un múltiplo exacto de $t$.

Hay problemas en los que varios sucesos ocurren en orden y luego el ciclo se repite indefinidamente.

El ejemplo más representativo es una lista de canciones que suena de manera continua: termina una, comienza la siguiente, y al terminar la última, vuelve a empezar la primera.

En estos problemas la técnica es:

1. Calcular la duración total del ciclo.

   Si las canciones duran $d_1, d_2, d_3, \ldots, d_n$, la duración del ciclo es:

$$C = d_1 + d_2 + d_3 + \cdots + d_n$$

2. Convertir todo a una misma unidad, por lo general segundos.

3. Ubicar el instante inicial dentro del ciclo.

   Si se dice que el ciclo comenzó al inicio de la canción $1$, y se sale de casa cuando la canción $3$ lleva $50$ segundos sonando, entonces hay que ubicar ese momento absoluto en el ciclo.

   Por ejemplo, si la canción $1$ dura $200$ s y la canción $2$ dura $150$ s, la canción $3$ comienza en:

$$200 + 150 = 350 \text{ s}$$

Si ya sonaban $50$ s de esa canción, el instante inicial absoluto es:

$$350 + 50 = 400 \text{ s}$$

4. Sumar el tiempo transcurrido.

   Si regresa después de $L$ segundos, el instante absoluto de regreso es:

$$t_{\text{regreso}} = t_{\text{inicio}} + L$$

5. Reducir el tiempo absoluto al ciclo.

   Se divide $t_{\text{regreso}}$ entre $C$ y se toma el residuo:

$$r = t_{\text{regreso}} \pmod{C}$$

6. Identificar en qué parte del ciclo cae el residuo.

   Se comparan las duraciones acumuladas de las canciones:

• de $0$ a $d_1$: primera canción;
• de $d_1$ a $d_1+d_2$: segunda canción;
• de $d_1+d_2$ a $d_1+d_2+d_3$: tercera canción;
• y así sucesivamente.

La clave es no olvidar sumar el tiempo que ya había transcurrido de la canción en el momento de salida. Ese es el error más común.

En algunos problemas, el paciente toma dos tipos de pastillas con frecuencias distintas.

Por ejemplo:

• $a$ pastillas del tipo $A$ cada $6$ horas;
• $b$ pastillas del tipo $B$ cada $8$ horas.

Si el tratamiento inicia y termina tomando ambos tipos simultáneamente, entonces la duración $X$ debe ser un múltiplo común de $6$ y $8$.

El mínimo común múltiplo de $6$ y $8$ es:

$$\operatorname{mcm}(6,8) = 24$$

Esto significa que las coincidencias de ambos tipos ocurren en los tiempos:

$$0,\ 24,\ 48,\ 72,\ \ldots$$

Si la duración total es $X$, entonces:

• número de tomas del tipo $A$:
  $$\frac{X}{6}+1$$
• número de tomas del tipo $B$:
  $$\frac{X}{8}+1$$

El total de pastillas consumidas será:

$$a\left(\frac{X}{6}+1\right) + b\left(\frac{X}{8}+1\right)$$

Si el problema da el total de pastillas, se forma una ecuación y se despeja $X$.

Este tipo de problemas combina la idea de intervalos de tiempo con la de coincidencias, que ya se estudió en el tema anterior.

Esquema general

1. Reconocer el suceso: ¿es una toma, una campanada, un disparo, una canción?
2. Reconocer el intervalo: ¿cada cuánto tiempo ocurre?
3. Definir variables:
   • $t$: intervalo de tiempo;
   • $k$: número de intervalos o periodos;
   • $T$: tiempo total;
   • $n$: número de sucesos.
4. Elegir la relación adecuada:
   • si se conoce la duración y se pregunta por el número de sucesos: $n = \frac{T}{t}+1$;
   • si se conoce el número de sucesos y se pregunta por la duración: $T = (n-1)t$.
5. Si hay etapas o varios tipos, construir una tabla para contar tomas.
6. Si hay ciclos, reducir el tiempo al ciclo mediante el residuo.
7. Verificar que la primera y la última toma, campanada o disparo estén bien contados.

Atajos con justificación

Atajo 1: De tomas a duración

Si hay $m$ tomas y la frecuencia es $t$, la duración es:

$$(m-1)t$$

Se justifica porque entre $m$ tomas solo hay $m-1$ intervalos.

Atajo 2: De duración a tomas

Si la duración es $X$ y la frecuencia es $t$, el número de tomas es:

$$\frac{X}{t}+1$$

Se justifica porque hay una toma al inicio y otra al final.

Atajo 3: En secuencias cíclicas

No se necesita simular todo el tiempo transcurrido. Basta tomar el residuo del tiempo total entre la duración del ciclo.

Se justifica porque todo lo que ocurre en un ciclo se repite exactamente en los siguientes.

Atajo 4: En dosis incógnita

Si no se conoce la dosis, se define $x$ como pastillas por toma y se expresa el total como:

$$\text{total} = x \times \text{número de tomas}$$

Luego se reemplaza la relación dada entre $x$ y los periodos.