Inductivo numérico y gráfico 2

1.1. ¿Qué es una sucesión recurrente?

Una sucesión es recurrente cuando un término se define a partir de los términos anteriores. Por ejemplo:

$$a_1 = 3, \quad a_2 = 4, \quad a_n = \text{cifra de unidades del producto } a_{n-1} \cdot a_{n-2}.$$

Esto significa:

• $a_1 = 3$, $a_2 = 4$.
• $a_3$ es la cifra de unidades de $3 \times 4 = 12$, es decir, $2$.
• $a_4$ es la cifra de unidades de $4 \times 2 = 8$, es decir, $8$.
• $a_5$ es la cifra de unidades de $2 \times 8 = 16$, es decir, $6$.
• Y así sucesivamente.

Los primeros términos son:

$$3,\ 4,\ 2,\ 8,\ 6,\ 8,\ 8,\ 4,\ 2,\ 8,\ 6,\ 8,\ 8,\ 4,\ 2, \dots$$

Observa que, a partir de un momento, aparece un bloque que se repite:

$$2,\ 8,\ 6,\ 8,\ 8,\ 4$$

Ese bloque tiene 6 términos. A este tipo de regularidad se le llama periodicidad.

1.2. Cómo encontrar la regla periódica

Para resolver problemas de este tipo, sigue estos pasos:

1. Escribe los primeros términos con cuidado, aplicando la regla dada.
2. Detecta el bloque que se repite. Para ello, escribe al menos 10 o 12 términos. A veces la sucesión no es periódica desde el inicio; puede tener dos o tres términos iniciales antes de entrar a un ciclo.
3. Mide el periodo $p$: la cantidad de términos que tiene el bloque repetitivo.
4. Calcula el residuo de la posición pedida con respecto al periodo.
5. Ubica el término pedido dentro del bloque.

En el ejemplo anterior, los términos $1$ y $2$ ($3$ y $4$) no forman parte del ciclo. El ciclo comienza en el término $3$ y es:

$$\underbrace{2,\ 8,\ 6,\ 8,\ 8,\ 4}_{\text{periodo } p=6}.$$

Si nos pidieran el término $a_{100}$, haríamos lo siguiente:

• Como el ciclo comienza en el término $3$, restamos $2$:
  $$100 - 2 = 98.$$
• Dividimos $98$ entre el periodo $6$:
  $$98 = 6 \times 16 + 2.$$ El residuo es $2$.
• Eso significa que el término $a_{100}$ es el segundo término del bloque repetitivo, es decir, $8$.

Este método evita escribir cientos de términos.

Una vez dominado este procedimiento, el manejo del residuo es la clave: si el residuo es $0$, el término pedido es el último del bloque; si es $1$, es el primero; y así sucesivamente.

No todas las sucesiones son periódicas. Muchas crecen de manera regular y se pueden modelar mediante una fórmula en función de $n$. Dos familias importantes son las sucesiones lineales y las cuadráticas.

2.1. Diferencias finitas

Para descubrir si una sucesión es lineal o cuadrática, se calculan las diferencias entre términos consecutivos.

Ejemplo: Considera la sucesión

$$3,\ 8,\ 17,\ 30,\ 47, \dots$$

Calculamos las primeras diferencias:

$$8-3=5,\quad 17-8=9,\quad 30-17=13,\quad 47-30=17.$$

Las primeras diferencias son:

$$5,\ 9,\ 13,\ 17, \dots$$

No son constantes, así que no es una sucesión lineal. Calculamos las segundas diferencias:

$$9-5=4,\quad 13-9=4,\quad 17-13=4.$$

Todas son $4$. Como las segundas diferencias son constantes, la sucesión es cuadrática.

2.2. Fórmula general de una sucesión cuadrática

Si las segundas diferencias son constantes, el término general tiene la forma:

$$a_n = An^2 + Bn + C.$$

Hay varias maneras de hallar $A$, $B$ y $C$. Una forma rápida es usar:

$$a_n = a_1 + (n-1)d_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{2} \Delta^2,$$

donde $d_1$ es la primera diferencia entre $a_2$ y $a_1$, y $\Delta^2$ es la segunda diferencia constante.

En nuestro ejemplo:

$$a_1 = 3, \quad d_1 = 5, \quad \Delta^2 = 4.$$

Entonces:

$$a_n = 3 + (n-1) \cdot 5 + \frac{(n-1)(n-2)}{2} \cdot 4.$$

Al simplificar:

$$a_n = 3 + 5n - 5 + 2(n-1)(n-2),$$

$$a_n = 2n^2 - n + 2.$$

Comprobamos:

• Para $n=1$: $2(1)^2 - 1 + 2 = 3$.
• Para $n=2$: $2(4) - 2 + 2 = 8$.
• Para $n=3$: $2(9) - 3 + 2 = 17$.

Todo coincide.

Si se pide $a_{20}$:

$$a_{20} = 2(20)^2 - 20 + 2 = 800 - 20 + 2 = 782.$$

También podemos resolver este tipo de problemas sumando diferencias, pero la fórmula general es más cómoda cuando $n$ es grande.

Un tipo de problema recurrente en el examen es el que presenta una sucesión distribuida en filas, y se pide el primer o el último término de una fila lejana, o la suma de sus términos.

3.1. Idea clave: posición acumulada

Supongamos que tenemos la sucesión de números impares que empieza en $3$:

$$3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15, \dots$$

El término $k$-ésimo de esta sucesión es:

$$a_k = 3 + 2(k-1) = 2k+1.$$

Ahora, agrupamos estos números en filas de la siguiente manera:

• Fila 1: $10$ términos.
• Fila 2: $20$ términos.
• Fila 3: $30$ términos.
• Y en general, fila $n$: $10n$ términos.

Pregunta típica: ¿cuál es el último término de la fila $n$?

Para responder, primero hay que saber en qué posición global se encuentra el último término de la fila $n$.

La cantidad de términos acumulados hasta la fila $n$ es:

$$10 + 20 + 30 + \cdots + 10n.$$

Factorizando $10$:

$$10(1+2+3+\cdots+n) = 10 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 5n(n+1).$$

Por lo tanto, el último término de la fila $n$ ocupa la posición global:

$$k = 5n(n+1).$$

Como el término de la sucesión original es $a_k = 2k+1$, el último término de la fila $n$ es:

$$2[5n(n+1)] + 1 = 10n(n+1)+1.$$

Probemos:

• Fila 1: $10(1)(2)+1 = 21$. Los primeros 10 términos son $3,5,7,9,11,13,15,17,19,21$; el último es $21$. Correcto.
• Fila 2: $10(2)(3)+1 = 61$. El término $30$ de la sucesión original es $2(30)+1 = 61$. Correcto.

Este método es muy potente.

En estos problemas, el error más común es usar directamente $n$ como si fuera la posición del término, olvidando que hay que sumar todos los términos de las filas anteriores.

Otra familia de problemas que ha aparecido en los exámenes es la del conteo de maneras de leer un número en un arreglo triangular.

4.1. ¿Qué significa “leer” en un arreglo triangular?

Imagina que se presenta un número, por ejemplo $424$, distribuido así:

$$\begin{array}{c} 4\\ 2 \quad 2\\ 4 \quad 4 \quad 4 \end{array}$$

Se pide leer el número $424$ considerando igual distancia mínima de una cifra a otra. Es decir, se parte de la cifra superior y en cada paso se desciende a una cifra adyacente de la fila inmediata inferior, ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha.

4.2. Método de suma de nodos

Una manera de contar es asignar a cada cifra un número que indique cuántas formas hay de llegar hasta ella.

1. Escribimos $1$ en la cifra inicial, porque solo hay una forma de empezar.
2. En la fila siguiente, cada cifra recibe la suma de los valores de las cifras superiores que le pueden llegar.
3. Al final, la suma de los valores de la última fila es el número total de lecturas.

Para $424$:

• Primera cifra: $4$, valor $1$.
• Segunda fila: $2 \quad 2$. A cada uno le llega solo el camino de arriba, así que ambos valen $1$.
• Tercera fila: $4 \quad 4 \quad 4$. El primer $4$ recibe $1$ desde arriba; el segundo $4$ recibe $1+1=2$; el tercero recibe $1$.
• Los valores de la última fila son $1, 2, 1$.

El total de lecturas es:

$$1+2+1 = 4.$$

Este método también se conoce como método de Pascal, porque los números que se forman son los del triángulo de Pascal.

4.3. El atajo $2^{n-1}$ y sus límites

En arreglos simétricos en los que cada cifra tiene exactamente dos salidas hacia la fila inferior, el número de lecturas de una palabra de $m$ cifras es:

$$2^{m-1}.$$

Sin embargo, no todos los arreglos cumplen esa condición. A veces las filas no son simétricas, o no todas las cifras tienen dos opciones. En esos casos hay que aplicar el método general de suma de nodos.

Este tema conecta directamente con el siguiente, porque el conteo de lecturas de palabras usa exactamente la misma lógica.

Algunos problemas combinan figuras geométricas con números distribuidos en ellas, y piden hallar un valor desconocido $x$. Aquí no se trata de contar elementos de una figura grande, sino de inducir la regla de formación a partir de dos o tres casos particulares.

El método es:

1. Observar los números de cada figura.
2. Probar relaciones simples: suma de extremos, producto, diferencia, suma más producto, etc.
3. Verificar que la relación se cumpla en todas las figuras dadas.
4. Aplicarla a la figura en la que falta $x$.

Ejemplo breve: En una secuencia de triángulos, cada triángulo tiene tres números en sus vértices y un número al centro. Si en los triángulos dados se cumple que el número central es igual a la suma de los dos vértices inferiores menos el vértice superior, entonces para hallar $x$ solo hay que aplicar esa operación.

Este tipo de pregunta exige paciencia y flexibilidad: si una primera relación no funciona, se prueba otra. Es conveniente analizar primero las operaciones más simples y, si no funcionan, ensayar combinaciones.

6.1. Método general

En los problemas de figuras, casi siempre el objetivo es contar cuántos elementos hay en una figura $n$ muy grande, a partir de las primeras figuras. La estrategia es:

1. Contar cuántos elementos hay en las figuras pequeñas: $F_1, F_2, F_3, F_4$.
2. Expresar cada resultado en función del número de figura.
3. Descubrir el patrón. Este puede ser lineal, cuadrático, cúbico, o una suma notable.
4. Evaluar la fórmula para la figura pedida.

Veamos dos situaciones típicas.

6.2. Figuras con láminas cuadradas de colores

Imagina que se construye una figura con láminas cuadradas, alternando láminas blancas y negras, y que para figuras pequeñas el número de láminas negras es el siguiente:

Observa que los resultados forman una sucesión lineal:

$$1,\ 4,\ 7,\ 10, \dots$$

La diferencia común es $3$, y el término general es:

$$\text{láminas negras} = 3n - 2.$$

Comprobamos:

• Para $n=1$: $3(1)-2 = 1$.
• Para $n=2$: $3(2)-2 = 4$.
• Para $n=3$: $3(3)-2 = 7$.
• Para $n=4$: $3(4)-2 = 10$.

Si en el problema se pide el número de láminas negras para una figura con $n=2020$ láminas por lado, solo evaluamos:

$$3(2020) - 2 = 6058.$$

Este tipo de deducción es típico: se cuentan tres o cuatro casos, se observa que los resultados forman una progresión aritmética, y se generaliza.

6.3. Torres de cubos y suma de cubos

Otro caso notable son las torres construidas con cubos. Muchas veces, la figura $n$ se forma agregando un piso de $n^3$ cubos a la torre anterior.

Por ejemplo, si:

• Figura 1: $1$ cubo.
• Figura 2: $1 + 8 = 9$ cubos.
• Figura 3: $1 + 8 + 27 = 36$ cubos.
• Figura 4: $1 + 8 + 27 + 64 = 100$ cubos.

Entonces, la figura $n$ tiene:

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3.$$

Usamos la fórmula notable:

$$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$

Así, para la figura $10$:

$$1^3 + 2^3 + \cdots + 10^3 = \left(\frac{10 \cdot 11}{2}\right)^2 = 55^2 = 3025.$$

Este patrón es muy frecuente cuando las torres crecen en tres dimensiones de manera escalonada.

A lo largo del tema hemos visto varios atajos. Aquí los agrupamos y explicamos por qué funcionan.

• Sucesiones periódicas: en lugar de calcular todos los términos, se busca el periodo. El residuo de la posición con respecto al periodo nos dice exactamente en qué punto del ciclo estamos. Por eso funciona: la periodicidad garantiza que $a_{n+p}=a_n$ para todo $n$ a partir del inicio del ciclo.

• Sucesiones cuadráticas: si las segundas diferencias son constantes, la fórmula general es cuadrática. El método de diferencias finitas funciona porque la derivada discreta de un polinomio cuadrático es lineal, y la segunda derivada discreta es constante.

• Arreglos en filas: no se usa $n$ como posición. Se acumulan los términos de las filas anteriores con la suma de una progresión aritmética. Este atajo evita escribir todas las filas.

• Conteo de lecturas: la suma de nodos funciona porque cada camino que llega a una cifra proviene de uno de los nodos superiores. El total en cada nodo es la suma de los totales de sus predecesores. El atajo $2^{n-1}$ funciona solo si cada nodo interior tiene exactamente dos salidas.

• Figuras geométricas: el método de casos particulares funciona porque la estructura de la figura se repite a escala. Si el patrón de crecimiento es constante (lineal), cuadrático o cúbico, se puede detectar con 3 o 4 casos.