Conteo de figuras II

Antes de pasar a los casos especiales, conviene afianzar el método. Imagina una retícula rectangular formada por $a$ cuadrados simples a lo ancho y $b$ cuadrados simples a lo alto.

Cada cuadrilátero de la retícula queda determinado si elegimos:

• dos líneas verticales, que serán sus lados izquierdo y derecho;
• dos líneas horizontales, que serán sus lados inferior y superior.

Como hay $a+1$ líneas verticales y $b+1$ líneas horizontales, el número de cuadriláteros es:

$$\binom{a+1}{2}\binom{b+1}{2} = \frac{a(a+1)}{2}\cdot \frac{b(b+1)}{2}.$$

Ejemplo breve.
Para una retícula de $4$ columnas y $3$ filas de cuadrados simples:

$$\text{cuadriláteros} = \frac{4 \cdot 5}{2}\cdot \frac{3 \cdot 4}{2} = 10 \cdot 6 = 60.$$

Este cálculo será la pieza básica cuando trabajemos figuras compuestas, superpuestas o con regiones excluidas.

Los cuadrados son un caso particular de cuadrilátero: tienen los cuatro lados iguales. Por eso no se pueden contar simplemente eligiendo dos verticales y dos horizontales, porque no todas las elecciones producen un cuadrado.

La manera práctica es contar según el tamaño del cuadrado.

En una retícula de $a$ cuadrados simples de ancho y $b$ de alto:

• un cuadrado de lado $1$ ocupa $1$ columna y $1$ fila;
• un cuadrado de lado $2$ ocupa $2$ columnas y $2$ filas;
• en general, un cuadrado de lado $k$ ocupa $k$ columnas y $k$ filas.

Para un tamaño $k$, hay:

$$(a-k+1)$$

posiciones horizontales, y

$$(b-k+1)$$

posiciones verticales. Por tanto, el total de cuadrados es:

$$\sum_{k=1}^{\min(a,b)}(a-k+1)(b-k+1).$$

Ejemplo breve.
En una retícula de $4$ columnas y $3$ filas:

$$\text{total de cuadrados}=12+6+2=20.$$

La distinción entre cuadriláteros y cuadrados es fundamental: muchos errores provienen de usar la fórmula de cuadriláteros cuando piden cuadrados, o al revés.

Figuras con asteriscos o regiones marcadas

Un tipo de problema muy frecuente es: ¿cuántos cuadriláteros, o cuántos cuadrados, contienen por lo menos un asterisco?

El método directo es complicado: habría que ubicar cada asterisco y contar todas las figuras que lo contienen, evitando contar dos veces las que contienen varios asteriscos.

Por eso se usa el método del complemento:

$$\text{figuras con al menos un asterisco} = \text{total de figuras} - \text{figuras sin asterisco}.$$

La parte difícil no es el total, sino contar las figuras sin asterisco. Para ello se agrupan los cuadrados simples que no tienen asterisco en regiones rectangulares, y se aplica a cada región la fórmula de cuadriláteros o de cuadrados.

Idea clave.
Si un asterisco está dentro de un cuadrilátero, ese cuadrilátero debe incluir al cuadrado simple que contiene el asterisco. Por tanto, para que un cuadrilátero no tenga asteriscos, todos los cuadrados simples que lo forman deben estar libres de asteriscos. Esto permite reducir el problema a pequeñas regiones limpias.

Figuras superpuestas

Otro caso especial aparece cuando una figura es la unión de dos o más retículas rectangulares que se superponen.

Si contamos todos los cuadriláteros de $A$, todos los de $B$ y sumamos, los cuadriláteros que están simultáneamente en $A$ y en $B$ —es decir, en la intersección $C$— quedan contados dos veces. Entonces:

$$\text{total} = (\text{número de cuadriláteros en }A) + (\text{número de cuadriláteros en }B) - (\text{número de cuadriláteros en }C).$$

Este es el principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos, y se aplica igual a cuadrados, cubos o paralelepípedos.

Cuando la figura tiene más de dos regiones superpuestas, se descompone en rectángulos disjuntos o se aplica la inclusión-exclusión de forma ordenada.

Figuras con huecos

Si a una retícula se le quita un bloque rectangular, se puede contar el total del rectángulo grande y restar las figuras que quedan completamente dentro del hueco. Aquí hay que tener cuidado: si una figura cruza el borde del hueco, no pertenece ni al bloque exterior puro ni al hueco.

Por eso, en figuras con huecos suele ser más seguro descomponer en retículas completas disjuntas o usar inclusión-exclusión.

Ahora pasamos a las figuras en 3D. El caso más ordenado es un bloque rectangular formado por cubitos simples.

Imagina un bloque de dimensiones:

• $a$ cubitos de largo,
• $b$ cubitos de ancho,
• $c$ cubitos de alto.

Un paralelepípedo rectangular dentro de este bloque queda determinado si elegimos:

• dos planos verticales transversales, que definen su largo;
• dos planos verticales longitudinales, que definen su ancho;
• dos planos horizontales, que definen su altura.

En la dirección del largo hay $a+1$ planos; en la del ancho, $b+1$; en la de la altura, $c+1$. Entonces:

$$\text{paralelepípedos} = \binom{a+1}{2} \binom{b+1}{2} \binom{c+1}{2}.$$

Equivalentemente:

$$\text{paralelepípedos} = \frac{a(a+1)}{2} \cdot \frac{b(b+1)}{2} \cdot \frac{c(c+1)}{2}.$$

Ejemplo breve.
Para un bloque de $3 \times 2 \times 2$ cubos simples:

$$\text{paralelepípedos} = \frac{3 \cdot 4}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{2} = 6 \cdot 3 \cdot 3 = 54.$$

Observa que esto es la generalización en 3D del conteo de cuadriláteros en una retícula. En el plano elegíamos dos líneas en cada dirección; en el espacio elegimos dos planos en cada dirección.

Así como en el plano era diferente contar cuadriláteros y contar cuadrados, en 3D es diferente contar paralelepípedos y contar cubos.

Un cubo de lado $k$ dentro del bloque debe ocupar:

• $k$ cubitos a lo largo,
• $k$ cubitos a lo ancho,
• $k$ cubitos a lo alto.

Si el bloque tiene dimensiones $a$, $b$ y $c$, el número de cubos de lado $k$ es:

$$(a-k+1)(b-k+1)(c-k+1).$$

Por lo tanto, el total de cubos es:

$$\text{total de cubos} = \sum_{k=1}^{\min(a,b,c)} (a-k+1)(b-k+1)(c-k+1).$$

Ejemplo breve.
En un bloque de $3 \times 3 \times 2$:

• Cubos de lado $1$: $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$
• Cubos de lado $2$: $(3-2+1)(3-2+1)(2-2+1)=2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$

$$\text{total}=18+4=22.$$

Esta suma se detiene cuando $k$ alcanza la menor dimensión del bloque, porque no puede haber un cubo de lado mayor que la dimensión más pequeña.

La mayoría de preguntas de admisión no presenta un bloque rectangular completo, sino un sólido irregular formado por cubitos. Aquí entran dos grandes tipos de problemas: contar los cubos del sólido y completarlo hasta formar un cubo compacto.

Contar cubos en un sólido irregular

Cuando el sólido no es un bloque completo, no se puede aplicar directamente la fórmula de bloques. El método más eficaz es contar por capas.

Procedimiento:

1. Se divide mentalmente el sólido en capas horizontales, de abajo hacia arriba.
2. En cada capa se cuentan los cubitos que la forman.
3. Se suman los resultados de todas las capas.

Ejemplo breve.
Si un sólido tiene una capa inferior con $6$ cubitos y una capa superior con $3$, entonces el sólido tiene

$$6+3=9$$

cubitos.

Un detalle importante: en el examen se asume que el sólido es estable, es decir, no hay cubitos flotando. Todo cubito de una capa superior debe estar apoyado sobre cubitos de la capa inferior. Esto permite deducir cubitos ocultos que no se ven en la vista frontal.

Completar un sólido hasta un cubo compacto

Un formato muy repetido en San Marcos es: se tiene un sólido formado por cierta cantidad de cubitos y se quiere agregar cubitos hasta formar un cubo compacto de arista mínima. ¿Cuántos cubitos se necesitan?

El procedimiento es:

1. Determinar las dimensiones máximas del sólido: largo, ancho y alto, medidos en cubitos.
2. La arista $n$ del cubo compacto debe ser al menos la mayor de esas dimensiones.
3. El cubo compacto tendrá $n^3$ cubitos.
4. Los cubitos que faltan son $n^3$ menos los cubitos que ya tiene el sólido.

Ejemplo breve.
Un sólido tiene $23$ cubitos y sus dimensiones máximas son $4$ cubitos de largo, $3$ de ancho y $3$ de alto. El cubo que lo contenga no puede tener arista $3$, porque el sólido se extiende $4$ cubitos en el largo. Entonces la arista mínima es $4$. El cubo tendrá

$$4^3=64$$

cubitos. Faltan:

$$64-23=41.$$

Cuando el cubo se forma con piezas congruentes

Una variante más exigente es cuando no se parte de un sólido cualquiera, sino de piezas congruentes que deben unirse para formar el cubo compacto.

Si cada pieza tiene $c$ cubitos y se formará un cubo de arista $n$, entonces el cubo tendrá $n^3$ cubitos. Como se usan piezas completas, el total $n^3$ debe ser un múltiplo de $c$:

$$n^3 = k \cdot c.$$

Además, la arista $n$ debe ser compatible con las dimensiones de la pieza: la pieza debe caber dentro del cubo. Esto significa que la arista $n$ debe ser al menos la mayor dimensión de la pieza.

Ejemplo breve.
Una pieza está formada por $9$ cubitos y su mayor dimensión es $4$. Queremos formar un cubo compacto con piezas de este tipo.

• $n=3$ no sirve porque la pieza, que mide $4$ en una dirección, no cabe.
• $n=4$ daría $4^3=64$, que no es múltiplo de $9$.
• $n=5$ daría $5^3=125$, que tampoco es múltiplo de $9$.
• $n=6$ da $6^3=216$, que sí es múltiplo de $9$, pues $216=24 \times 9$.

Por tanto, la menor arista posible es $6$.

Otra pregunta real de San Marcos se refiere a cuántas configuraciones diferentes se pueden formar con varios cubos congruentes unidos por sus caras.

A estos objetos se les llama policubos. Un policubo es un sólido formado por cubos unitarios pegados por caras completas, de modo que el sólido es conexo.

Dos configuraciones se consideran iguales si una puede transformarse en la otra mediante traslaciones, rotaciones y, según el problema, reflexiones. Si no se indica lo contrario, en estos problemas se consideran iguales las configuraciones que coinciden salvo rotación o reflexión.

Para contar las configuraciones manualmente, se puede proceder así:

1. Se parte de una configuración ya conocida con un cubo menos.
2. Se agrega el nuevo cubo en cada posición adyacente posible.
3. Se eliminan las configuraciones que son la misma salvo rotación o reflexión.

Este método es rápido para pocos cubos.

Ejemplo con 3 cubos.
Empezamos con dos cubos pegados: solo hay una configuración: el dicubo lineal. Al agregar el tercer cubo, podemos pegarlo:

• en un extremo, formando una fila de tres cubos;
• en un costado del cubo central o de un extremo, formando una L.

Así se obtienen las dos configuraciones de tricubos: la lineal y la angular.

Para 4 cubos.
Partiendo de los dos tricubos y agregando un cuarto cubo en cada posición posible, y luego descartando las repetidas por rotación o reflexión, se obtienen exactamente 8 configuraciones. Por eso, unir cuatro cubos por sus caras produce, como máximo, 8 configuraciones distintas.

Otro tipo de problema aplicado es el de contar ladrillos o paralelepípedos en un apilamiento, para luego calcular cuántos lotes o cuántas unidades adicionales se necesitan.

El método general es:

1. Contar cuántos ladrillos tiene un lote o una figura, usualmente por capas.
2. Si el apilamiento es regular, se multiplica el número de ladrillos por capa por el número de capas.
3. Si es irregular, se descompone en prismas rectangulares completos y se suman.
4. Para saber cuántos lotes se necesitan, se divide la cantidad requerida entre la cantidad que trae un lote y se redondea hacia arriba.

El redondeo hacia arriba se expresa con la función techo:

$$\text{lotes} = \left\lceil \frac{\text{ladrillos requeridos}}{\text{ladrillos por lote}} \right\rceil.$$

Ejemplo breve.
Si un lote tiene $1\,200$ ladrillos y se requieren $100\,000$ ladrillos:

$$\frac{100\,000}{1\,200} = 83{,}333\ldots$$

Como no se puede comprar una fracción de lote, se necesitan $84$ lotes. Comprar $83$ lotes solo daría

$$83 \times 1\,200 = 99\,600$$

ladrillos, que es insuficiente.

Algunas guías incluyen también el conteo de pirámides de base cuadrada dentro de un sólido. La idea es considerar un cuadrado como base y un punto fuera de su plano como vértice. Se cuenta eligiendo primero la base y luego el vértice. No es un tipo de pregunta frecuente en San Marcos, pero conviene saber que cualquier figura tridimensional de este estilo se reduce a elegir una base y un punto exterior.

También hay problemas con paralelepípedos sombreados o con piezas no cúbicas sobre un bloque de cubos. En esos casos, lo más seguro es descomponer el sólido en bloques completos, contar en cada bloque y restar las intersecciones si las hubiera.