Calendarios 2

La idea central de todo el tema es esta:

$$365 = 7 \times 52 + 1$$ $$366 = 7 \times 52 + 2$$

Es decir:

• Un año común equivale a 52 semanas completas más 1 día.
• Un año bisiesto equivale a 52 semanas completas más 2 días.

Consecuencia para el inicio y el final de un año

Supongamos que un año comienza en un día $X$.

• Si el año es común, tiene 365 días, es decir, 52 semanas más 1 día. Entonces el 31 de diciembre caerá en el mismo día $X$ con el que comenzó el año.

  • Ejemplo: si un año común inicia lunes, termina lunes.

• Si el año es bisiesto, tiene 366 días, es decir, 52 semanas más 2 días. Entonces el 31 de diciembre caerá en el día siguiente a $X$.

  • Ejemplo: si un año bisiesto inicia lunes, termina martes.

De aquí se desprende otra observación muy útil:

• En un año común, el día de la semana con el que inicia el año aparece 53 veces, mientras que los demás días aparecen 52 veces.
• En un año bisiesto, aparecen 53 veces dos días consecutivos: el día con el que inicia el año y el día siguiente.

Por ejemplo, si un año bisiesto inicia viernes, entonces ese año tendrá más viernes y más sábados que los demás días de la semana. Esta propiedad permite resolver problemas del tipo: «cierto año tiene más días viernes y sábados que los demás».

Para trabajar con años, primero debemos saber cuándo un año es bisiesto.

Regla general

Sea un año de la forma $\overline{abcd}$.

Caso 1: El año no termina en 00.
Es bisiesto si las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.
Equivalentemente, si el año es divisible entre 4.

Ejemplos:

• 1896: termina en 96, y $96 = 4 \times 24$. Fue bisiesto.
• 1932: $32$ es múltiplo de 4. Fue bisiesto.
• 2020: $20$ es múltiplo de 4. Fue bisiesto.
• 1991: $91$ no es múltiplo de 4. No fue bisiesto.
• 2034: $34$ no es múltiplo de 4. No será bisiesto.

Caso 2: El año termina en 00, es decir, es un año secular.
Solo es bisiesto si es divisible entre 400.
Una forma rápida: tomar las dos primeras cifras y ver si forman un múltiplo de 4.

Ejemplos:

• 1600: $16$ es múltiplo de 4. Fue bisiesto.
• 2000: $20$ es múltiplo de 4. Fue bisiesto.
• 2400: $24$ es múltiplo de 4. Será bisiesto.
• 1800: $18$ no es múltiplo de 4. No fue bisiesto.
• 1900: $19$ no es múltiplo de 4. No fue bisiesto.
• 2100: $21$ no es múltiplo de 4. No será bisiesto.

Observa que 1900 y 2100 sí son divisibles entre 4, porque terminan en 00 y cualquier número terminado en 00 es divisible entre 4. Sin embargo, la regla del calendario gregoriano establece que, de los años seculares, solo son bisiestos los múltiplos de 400.

El error más común en los problemas de años es contar 1900 o 2100 como bisiestos. Las academias suelen llamar a esto «la trampa del año secular».

En muchos problemas no interesa saber únicamente si un año es bisiesto, sino cuántos bisiestos hay entre dos años para calcular el desplazamiento total de una fecha.

No es correcto decir simplemente «cada 4 años hay un bisiesto» y dividir entre 4, porque los años seculares no bisiestos rompen esa regularidad.

Procedimiento para contar años bisiestos en un intervalo

1. Identifica el primer año bisiesto dentro del intervalo.
2. Identifica el último año bisiesto dentro del intervalo.
3. Cuenta los múltiplos de 4 entre ambos usando: $$\frac{\text{último bisiesto} - \text{primero bisiesto}}{4} + 1$$
4. Si en el intervalo hay un año secular no bisiesto, réstalo.

Ejemplo 1

¿Cuántos años bisiestos hay entre 2010 y 2037?

• Primer bisiesto: 2012.
• Último bisiesto: 2036.
• Cantidad: $$\frac{2036-2012}{4}+1 = \frac{24}{4}+1 = 6+1 = 7.$$
• No hay años seculares en ese intervalo.

Los bisiestos son: 2012, 2016, 2020, 2024, 2028, 2032 y 2036.

Ejemplo 2

¿Cuántos años bisiestos hay entre 1889 y 2010?

• Primer bisiesto: 1892.
• Último bisiesto: 2008.
• Cantidad de múltiplos de 4: $$\frac{2008-1892}{4}+1 = \frac{116}{4}+1 = 29+1 = 30.$$
• En ese intervalo está 1900, que es secular y no bisiesto. Por lo tanto, se resta: $$30-1=29.$$

Ejemplo 3

¿Cuántos bisiestos efectivos hay entre el 23 de noviembre de 2020 y el 23 de noviembre de 2121?

Como la fecha es posterior al 29 de febrero, el bisiesto del año 2020 ya pasó y no se cuenta; en cambio, se cuentan los bisiestos desde 2024 hasta 2120.

• Primer bisiesto: 2024.
• Último bisiesto: 2120.
• Múltiplos de 4: $$\frac{2120-2024}{4}+1 = \frac{96}{4}+1 = 24+1 = 25.$$
• En ese rango está 2100, secular no bisiesto. Se resta: $$25-1=24.$$

Este tipo de conteo será decisivo en la sección siguiente.

Aquí está el corazón del tema: cuántos días se desplaza una misma fecha al trasladarse varios años.

Supongamos que tenemos una fecha $F$ en un año $A$ y queremos saber en qué día de la semana caerá esa misma fecha $F$ en el año $A+n$, es decir, $n$ años después.

Cada año aporta:

• 1 día de desplazamiento por ser común ($365 = 7 \times 52 + 1$).
• 1 día adicional si el 29 de febrero queda efectivamente atravesado entre las dos fechas.

Por lo tanto:

$$\text{Desplazamiento total} = n + b$$ donde $b$ es la cantidad de años bisiestos efectivos atravesados en el recorrido.

Ese resultado se reduce módulo 7 y se suma o resta al día inicial.

¿Cuáles bisiestos son «efectivos»?

No todos los bisiestos ubicados entre los años $A$ y $A+n$ aportan su día extra. Depende de si el 29 de febrero cae entre las dos fechas.

Caso 1: Fecha anterior al 29 de febrero

Son las fechas entre el 1 de enero y el 28 de febrero.

Si partimos del 2 de febrero de un año y avanzamos al 2 de febrero del año siguiente, el 29 de febrero del año de partida, si existe, cae después de la fecha inicial y antes de la fecha final. Por eso, si el año de partida es bisiesto, aporta un día extra.

En este caso, al avanzar de $A$ a $A+n$, se cuentan los bisiestos que cumplen: $$A \le B < A+n.$$ Es decir, se incluye $A$ si es bisiesto y se excluye $A+n$, porque el 29 de febrero del año final todavía no ha ocurrido cuando llegamos a la fecha final.

Caso 2: Fecha posterior al 29 de febrero

Son las fechas entre el 1 de marzo y el 31 de diciembre.

Si partimos del 24 de junio de un año y avanzamos al 24 de junio del año siguiente, el 29 de febrero del año de partida ya pasó, por lo que no se atraviesa. En cambio, el 29 de febrero del año siguiente está entre la fecha de partida y la de llegada. Por eso, si el año de llegada es bisiesto, aporta un día extra.

En este caso, al avanzar de $A$ a $A+n$, se cuentan los bisiestos que cumplen: $$A < B \le A+n.$$ Es decir, se excluye $A$ y se incluye $A+n$.

Para retroceder fechas

Si queremos retroceder de una fecha en el año mayor al año menor, el conjunto de bisiestos efectivos es el mismo que se usaría para avanzar del año menor al mayor, pues se trata del mismo intervalo recorrido. La diferencia es que el desplazamiento obtenido se resta.

Tabla resumen

Ejemplo rápido 1

Si el 2 de febrero de 2012 fue jueves, ¿qué día será el 2 de febrero de 2024?

• $A=2012$, $A+n=2024$, $n=12$.
• Fecha anterior al 29 de febrero.
• Bisiestos efectivos: $2012 \le B < 2024$.
  • Son 2012, 2016 y 2020: $b=3$.
• Desplazamiento: $$12+3=15 \equiv 1 \pmod{7}.$$
• Jueves + 1 = viernes.

Ejemplo rápido 2

Si el 24 de junio de 2020 fue miércoles, ¿qué día fue el 24 de junio de 1995?

• Año menor: $A=1995$, año mayor: $A+n=2020$, $n=25$.
• Fecha posterior al 29 de febrero.
• Bisiestos efectivos: $1995 < B \le 2020$.
  • Son 1996, 2000, 2004, 2008, 2012, 2016 y 2020: $b=7$.
• Desplazamiento: $$25+7=32 \equiv 4 \pmod{7}.$$
• Como retrocedemos: miércoles − 4 = sábado.

Cuando la fecha de partida y la de llegada no son la misma, se debe combinar el desplazamiento por años con la variación de meses y días dentro de un mismo año.

Procedimiento paso a paso

1. Identifica los datos:

   • Fecha inicial $F_1$, año $A$, día de la semana conocido.
   • Fecha final $F_2$, año $B$, día de la semana pedido.

2. Si $A = B$:
   Es un problema de variación de meses y días dentro del mismo año, como los de Calendarios 1. Cuenta los días transcurridos y reduce módulo 7.

3. Si $A \neq B$:
   a) Primero lleva la fecha inicial $F_1$ del año $A$ a la misma fecha $F_1$ del año $B$, usando el desplazamiento anual: $$n = B - A.$$ Calcula los bisiestos efectivos según $F_1$, halla $$n + b,$$ y reduce módulo 7.

   b) Luego, dentro del año $B$, ajusta desde $F_1$ hasta $F_2$ contando días transcurridos.

   c) Suma ambos desplazamientos y reduce módulo 7.

Este método evita tener que contar todos los días uno por uno y es el que se usa en la mayoría de soluciones de admisión.

Método alternativo: días totales

También puedes calcular los días totales entre las dos fechas:

$$\text{Días totales} = \text{días restantes del año inicial} + \text{días de años intermedios completos} + \text{días transcurridos del año final}.$$

Este método es más largo, pero sirve para verificar. En los exámenes conviene dominar ambos.

Atajo: $n + b$ en lugar de sumar 365 por cada año

Cada año común aporta 1 día; cada bisiesto efectivo aporta 1 día extra. Por eso, para una misma fecha:

$$\text{Desplazamiento} = n + b.$$

No es necesario multiplicar 365 por la cantidad de años. Por ejemplo, para 25 años con 7 bisiestos:

$$25+7=32.$$

Treinta y dos días equivalen a 4 días de desplazamiento, que es lo mismo que si hubieras sumado $25 \times 365 + 7$ y dividido entre 7.

Atajo para 100 años

En un bloque de 100 años, normalmente hay 24 bisiestos. Por lo tanto, el desplazamiento de una misma fecha suele ser:

$$100+24=124 \equiv 5 \pmod{7}.$$

Así, una fecha avanza 5 días en 100 años, siempre que no se atraviese un año secular bisiesto como el 2000. Si el intervalo incluye un secular bisiesto, el desplazamiento puede ser de 6 días.

Esto se debe a que en 100 años hay 24 o 25 bisiestos según si el bloque incluye un año múltiplo de 400.

Atajo para 400 años

En 400 años hay exactamente 97 bisiestos. El desplazamiento total de una fecha es:

$$400+97=497 \equiv 0 \pmod{7}.$$

Por eso, el calendario gregoriano se repite cada 400 años. Este dato no suele ser necesario en el examen, pero es útil como verificación.

Año con más días de un determinado día

• Si un año común tiene más lunes que otros días, entonces inició lunes.
• Si un año bisiesto tiene más lunes y martes que otros días, entonces inició lunes.

Esta propiedad se utiliza en problemas del tipo: «Cierto año tiene más días viernes y sábado que los demás. Si el 5 de abril de ese año fue martes...».

Fecha 29 de febrero

El 29 de febrero solo existe en años bisiestos. Si un problema involucra esa fecha, conviene reemplazarla por el 1 de marzo del mismo año. Por ejemplo:

$$29 \text{ de febrero de } 2024$$ equivale a $$1 \text{ de marzo de } 2024$$ para efectos de desplazamientos posteriores.