Lógica de clases

Una clase es una agrupación o colección de elementos, concretos o abstractos, que tienen una característica común.

Ejemplos:

• La clase de los estudiantes.
• La clase de los ingenieros.
• La clase de los números primos.
• La clase de los docentes.

En este curso, y especialmente en el examen de admisión, toda clase mencionada en una proposición se supone que tiene al menos un elemento; es decir, no es vacía. Esta suposición es muy importante para algunas deducciones: si una afirmación dice “todo joven es valiente”, asumimos que efectivamente existen jóvenes.

Diferencia entre clase y elemento.
No es lo mismo decir “el médico” que “la clase de los médicos”. La clase agrupa a todos los elementos que cumplen la condición; el elemento es un miembro concreto de esa clase.

En los problemas de lógica de clases, las clases se grafican generalmente como círculos dentro de un rectángulo que representa el universo $U$.

Las convenciones gráficas son:

• Región sombreada o vacía: no puede haber elementos ahí.
• Región marcada con una X: existe al menos un elemento ahí.
• Región sin marcas: no se puede asegurar si hay o no elementos.

Una proposición categórica es un enunciado que establece una relación de inclusión o exclusión, total o parcial, entre dos clases.

Ejemplos:

• Todo estudiante es puntual.
• Ningún chofer es imprudente.
• Algunos peruanos son ingenieros.
• Algunos libros no son extensos.

Elementos de una proposición categórica

En la proposición

$$\text{Todo estudiante es organizado}$$

se identifican:

• Cuantificador: “Todo”.
• Sujeto: “estudiante”.
• Verbo: “es”.
• Predicado: “organizado”.

El sujeto es la clase de la que se habla.
El predicado es la característica o clase que se le atribuye.

Clasificación según su cantidad

• Universal: se refiere a todos los elementos de la clase sujeto.

  • Todo estudiante es puntual.
  • Ningún chofer es imprudente.

• Particular: se refiere a algunos elementos de la clase sujeto.

  • Algunos peruanos son ingenieros.
  • Algunos libros no son extensos.

En lógica de clases, “algunos” significa “existe al menos uno”, no necesariamente “unos pocos”.

Clasificación según su cualidad

• Afirmativa: expresa inclusión, total o parcial, de la clase sujeto en la clase predicado.

  • Todo estudiante es puntual.
  • Algunos peruanos son ingenieros.

• Negativa: expresa exclusión, total o parcial, de la clase sujeto respecto de la clase predicado.

  • Ningún chofer es imprudente.
  • Algunos libros no son extensos.

Las cuatro formas típicas

Al cruzar cantidad y cualidad se obtienen las cuatro proposiciones categóricas clásicas:

Las letras A, E, I, O provienen de la lógica tradicional y se usan para nombrar rápidamente cada tipo.

Representación gráfica de las cuatro formas típicas

A: Todo $S$ es $P$.
Significa: no existen elementos de $S$ fuera de $P$.

Ejemplo: Todo médico es colegiado.
Todo el círculo “médicos” está dentro del círculo “colegiados”. Puede haber colegiados que no sean médicos.

E: Ningún $S$ es $P$.
Significa: no existen elementos que sean a la vez $S$ y $P$.

Ejemplo: Ningún loro es mamífero.
Las clases “lores” y “mamíferos” son disjuntas.

I: Algún $S$ es $P$.
Significa: existe al menos un elemento en la intersección.

Ejemplo: Algún ingeniero es músico.
Hay al menos una persona que es ingeniera y músico a la vez.

O: Algún $S$ no es $P$.
Significa: existe al menos un elemento de $S$ que no está en $P$.

Ejemplo: Algún postulante no es limeño.
Existe al menos un postulante que no está dentro de la clase “limeños”.

Negar una proposición es construir otra proposición que sea falsa cuando la original es verdadera y verdadera cuando la original es falsa.

En las proposiciones categóricas típicas, la negación se obtiene cambiando la cantidad y la cualidad:

• si es universal, pasa a particular;
• si es particular, pasa a universal;
• si es afirmativa, pasa a negativa;
• si es negativa, pasa a afirmativa.

Tabla de negaciones

Ejemplos

• Proposición: Todos los policías son valientes.
  Negación: Algunos policías no son valientes.

• Proposición: Ningún alumno es irresponsable.
  Negación: Algún alumno es irresponsable.

• Proposición: Algunos días son lluviosos.
  Negación: Ningún día es lluvioso.

• Proposición: Algunos celulares no son modernos.
  Negación: Todos los celulares son modernos.

Un error muy común es creer que la negación de “Todo $S$ es $P$” es “Ningún $S$ es $P$”. Eso es falso: si hay algunos $S$ que son $P$ y otros que no lo son, la afirmación “Todo $S$ es $P$” es falsa, pero “Ningún $S$ es $P$” también lo es. La negación correcta es “Algún $S$ no es $P$”.

En los exámenes no siempre aparecen las proposiciones escritas con los cuantificadores clásicos todo, ninguno, algún. Es frecuente encontrar expresiones equivalentes.

4.1 Cuantificadores no explícitos o formas atípicas

Para “Todo $S$ es $P$”:

• Los $S$ son $P$.
• Cada $S$ es $P$.
• Cualquier $S$ es $P$.

Ejemplo: Los médicos son colegiados equivale a Todo médico es colegiado.

Para “Ningún $S$ es $P$”:

• No hay $S$ que sea $P$.
• No existe $S$ que sea $P$.
• Nunca un $S$ es $P$.

Ejemplo: No hay médico que sea deshonesto equivale a Ningún médico es deshonesto.

Para “Algún $S$ es $P$”:

• Varios $S$ son $P$.
• Muchos $S$ son $P$.
• Pocos $S$ son $P$.
• Existe por lo menos un $S$ que es $P$.
• Hay $S$ que es $P$.
• La mayoría de $S$ son $P$.
• Casi todos los $S$ son $P$.

⚠️ En estos problemas, expresiones como “la mayoría” o “casi todos” se interpretan únicamente como “existe al menos uno”. No se debe usar el dato “más de la mitad” como si fuera una información cuantitativa adicional, salvo que el problema esté dentro de cardinalidad de conjuntos.

4.2 Equivalencias importantes

1. Simetría de la universal negativa.
$$\text{Ningún } S \text{ es } P \equiv \text{Ningún } P \text{ es } S$$

Ejemplo: Ningún loro es mamífero equivale a Ningún mamífero es loro.

2. Simetría de la particular afirmativa.
$$\text{Algún } S \text{ es } P \equiv \text{Algún } P \text{ es } S$$

Ejemplo: Algún ingeniero es músico equivale a Algún músico es ingeniero.

3. La particular negativa traslada el “no” al predicado.
$$\text{Algún } S \text{ no es } P \equiv \text{Algún } S \text{ es no } P$$

Ejemplo: Algún libro no es extenso equivale a Algún libro es no extenso.

4. Contraposición de la universal afirmativa.
$$\text{Todo } S \text{ es } P \equiv \text{Todo no } P \text{ es no } S$$

Ejemplo: Todo peruano es sudamericano equivale a Todo no sudamericano es no peruano.

5. Predicado negado.
$$\text{Ningún } S \text{ es no } P \equiv \text{Todo } S \text{ es } P$$

Ejemplo: Ningún alumno es desordenado equivale a Todo alumno es ordenado, porque “desordenado” es “no ordenado”.

$$\text{Todo } S \text{ es no } P \equiv \text{Ningún } S \text{ es } P$$

Ejemplo: Todo hombre es infiel equivale a Ningún hombre es fiel, si “infiel” se entiende como “no fiel”.

6. Distinción clave entre “es no $P$” y “no es $P$”.

• Todo $S$ es no $P$: equivale a Ningún $S$ es $P$.
• Todo $S$ no es $P$: se interpreta como No todo $S$ es $P$, es decir, Algún $S$ no es $P$.

Ejemplo: Todos los jueces no son imparciales equivale a Algunos jueces no son imparciales.

7. Casos con doble negación atípica.
$$\text{Ningún } S \text{ no es } P \equiv \text{Algún } S \text{ es } P$$

Ejemplo: Ningún alumno no es responsable equivale a Algún alumno es responsable.

Un silogismo categórico es un argumento lógico formado por dos premisas y una conclusión. Las premisas relacionan tres clases; una de ellas se repite en ambas premisas y sirve como puente.

Ejemplo:

• Premisa 1: Todos los médicos son colegiados.
• Premisa 2: Ningún colegiado es improvisado.
• Conclusión: Ningún médico es improvisado.

Aquí las tres clases son: médicos, colegiados e improvisados. La clase repetida es colegiados.

Método paso a paso

1. Identifica las premisas y las clases.
Subraya el sujeto y el predicado de cada premisa. Observa cuál clase se repite.

2. Grafica primero las premisas universales.
Las universales suelen fijar más claramente las regiones vacías.

• Todo $A$ es $B$: dibuja $A$ dentro de $B$.
• Ningún $A$ es $B$: dibuja $A$ y $B$ separados.

3. Coloca la información de la otra premisa.

• Algún $A$ es $B$: marca una X en $A \cap B$.
• Algún $A$ no es $B$: marca una X en la parte de $A$ fuera de $B$.

4. Usa la clase repetida como puente.
Si la clase repetida aparece dentro de una segunda clase, o separada de ella, esa relación se transmite a la tercera clase.

5. Redacta la conclusión garantizada.
Solo se concluye lo que el gráfico muestra de manera segura.

Casos típicos de silogismos categóricos

En este último caso, la conclusión Algún $B$ es $C$ se apoya en que la clase $A$ no es vacía. Como todo $A$ es $B$ y todo $A$ es $C$, existe al menos un elemento de $A$ que está en $B$ y en $C$.

No toda combinación de dos premisas produce conclusión. Si las dos premisas son particulares, o si la información solo permite varias posibilidades distintas, no se puede deducir una proposición categórica segura.

En muchos problemas de admisión, las clases se tratan como conjuntos finitos y se pregunta por cuántos elementos hay en una región. Para ello se usan diagramas de Venn y la fórmula de cardinalidad para dos clases.

6.1 Fórmula para dos clases

Si $A$ y $B$ son dos clases dentro de un universo $U$, la cantidad de elementos que están en $A$ o en $B$ es:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

La resta de $n(A \cap B)$ corrige el doble conteo: los elementos de la intersección fueron contados una vez en $A$ y otra en $B$.

Regiones del diagrama de dos clases

Las regiones se calculan así:

• Solo $A$:
  $$n(\text{solo } A) = n(A) - n(A \cap B)$$

• Solo $B$:
  $$n(\text{solo } B) = n(B) - n(A \cap B)$$

• Ni $A$ ni $B$:
  $$n(\text{ni } A \text{ ni } B) = n(U) - n(A \cup B)$$

Ejemplo breve

En un aula de 40 estudiantes, 18 estudian álgebra, 15 estudian geometría y 6 estudian ambas materias.

• Solo álgebra: $18 - 6 = 12$.
• Solo geometría: $15 - 6 = 9$.
• Álgebra o geometría: $18 + 15 - 6 = 27$.
• Ninguna de las dos: $40 - 27 = 13$.

6.2 Extensión a tres clases

Para tres clases $A$, $B$ y $C$, la cardinalidad de la unión se calcula con:

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$$

Aquí también es importante distinguir entre “solo una de las tres”, “exactamente dos” y “las tres”.

Las preguntas de admisión también combinan la idea de clase con operaciones más generales de conjuntos.

7.1 Número de subconjuntos

Dado un conjunto $A$ con $n(A)$ elementos, el conjunto potencia $P(A)$ es la clase de todos los subconjuntos de $A$.

La cantidad de subconjuntos de $A$ es:

$$n(P(A)) = 2^{n(A)}$$

Esto se debe a que cada elemento de $A$ tiene dos posibilidades: estar o no estar en un subconjunto.

Ejemplo: si $A = \{1, 2\}$, entonces

$$P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$$

y

$$n(P(A)) = 2^2 = 4$$

Si se sabe que un conjunto tiene 8 subconjuntos, entonces

$$2^{n(A)} = 8 \quad \Rightarrow \quad n(A) = 3$$

7.2 Producto cartesiano

El producto cartesiano $A \times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados $(a,b)$ tales que:

$$a \in A \quad \text{y} \quad b \in B$$

Para tres conjuntos:

$$A \times B \times C = \{(a,b,c) \mid a \in A,\ b \in B,\ c \in C\}$$

El orden importa: $(2,3)$ no es lo mismo que $(3,2)$. En una terna $(x,y,z)$, la primera coordenada debe pertenecer al primer conjunto, la segunda al segundo conjunto y la tercera al tercer conjunto.

Ejemplo: si $A = \{1,2\}$ y $B = \{2,3\}$, entonces:

$$A \times B = \{(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)\}$$

El par $(3,1)$ no pertenece a $A \times B$, porque $3 \notin A$.