Interpretación de la información 2 (sistema de ecuaciones)

Una ecuación lineal con dos variables es una igualdad de la forma

$$ax+by=c,$$

donde $a$, $b$ y $c$ son constantes reales, y $a$ y $b$ no son ambos cero.

Veamos un ejemplo:

$$x+y=10.$$

Esta ecuación tiene infinitas soluciones: $(1;9)$, $(2;8)$, $(5;5)$, etc.

No podemos determinar un único valor de $x$ y de $y$ con una sola ecuación, porque hay muchos pares ordenados que la cumplen.

Para que haya un único par ordenado, necesitamos otra condición independiente. Por ejemplo:

$$\begin{cases} x+y=10, \\ x-y=4. \end{cases}$$

Ahora sí hay un solo par que cumple ambas igualdades: $x=7$, $y=3$.

Un sistema de ecuaciones lineales es, entonces, un conjunto de dos o más ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.

En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se escribe así:

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1, \\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$$

Resolver el sistema significa hallar el par ordenado $(x;y)$ que satisface las dos ecuaciones.

1.1. Interpretación gráfica

Cada ecuación lineal con dos variables representa una recta en el plano cartesiano.

Así, resolver un sistema $2\times2$ es hallar el punto de intersección de dos rectas.

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No siempre un sistema tiene solución única. Dado

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1, \\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$$

podemos comparar los coeficientes.

Si todos los denominadores son distintos de cero:

Ejemplo de sistema compatible determinado:

$$\begin{cases} 2x+y=5, \\ x-y=1. \end{cases}$$

Comparando: $\frac{2}{1}\neq \frac{1}{-1}$. Por lo tanto, tiene solución única.

Ejemplo de sistema incompatible:

$$\begin{cases} x+y=2, \\ 2x+2y=5. \end{cases}$$

La segunda ecuación es el doble de la primera en los coeficientes de $x$ y $y$, pero no en el término independiente. Son rectas paralelas: no hay solución.

Ejemplo de sistema compatible indeterminado:

$$\begin{cases} x+y=2, \\ 2x+2y=4. \end{cases}$$

La segunda ecuación es el doble de la primera. Son la misma recta: hay infinitas soluciones.

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3.1. Método de reducción o eliminación

Consiste en sumar o restar las ecuaciones de modo que una de las variables se elimine.

Ejemplo. Resolver:

$$\begin{cases} 2x+3y=12, \\ 5x-3y=9. \end{cases}$$

Observamos que los coeficientes de $y$ son $3$ y $-3$.

Sumamos ambas ecuaciones:

$$(2x+3y)+(5x-3y)=12+9$$

$$7x=21$$

$$x=3.$$

Reemplazamos $x=3$ en la primera ecuación:

$$2(3)+3y=12$$

$$6+3y=12$$

$$3y=6$$

$$y=2.$$

Solución: $(3;2)$.

Si los coeficientes no son opuestos, se multiplican las ecuaciones por números convenientes.

Atajo práctico para el sistema con suma y valor unitario

Cuando el sistema tiene la forma

$$\begin{cases} x+y=N, \\ ax+by=C, \end{cases}$$

se puede despejar directamente, pero conviene entender de dónde sale.

Despejando $y=N-x$ y reemplazando:

$$ax+b(N-x)=C$$

$$ax+bN-bx=C$$

$$(a-b)x=C-bN$$

$$x=\frac{C-bN}{a-b}.$$

Este es el origen del llamado “método del rombo” o “del rectángulo”: no es una fórmula mágica, es eliminación organizada.

3.2. Método de sustitución

Conviene cuando una de las variables ya está despejada o cuando un coeficiente es $1$ o $-1$.

Ejemplo. Resolver:

$$\begin{cases} x-2y=-1, \\ 3x+y=11. \end{cases}$$

De la primera ecuación:

$$x=2y-1.$$

Sustituimos en la segunda:

$$3(2y-1)+y=11$$

$$6y-3+y=11$$

$$7y=14$$

$$y=2.$$

Luego:

$$x=2(2)-1=3.$$

Solución: $(3;2)$.

Error común: sustituir la expresión en la misma ecuación de donde se despejó. Eso produce una identidad como $0=0$ y no permite hallar el valor.

3.3. Método de igualación

Se usa cuando una misma variable está despejada en ambas ecuaciones, o puede despejarse fácilmente.

Ejemplo. Resolver:

$$\begin{cases} y=2x+1, \\ y=7-x. \end{cases}$$

Igualamos:

$$2x+1=7-x$$

$$3x=6$$

$$x=2.$$

Luego:

$$y=2(2)+1=5.$$

Solución: $(2;5)$.

3.4. Regla de Cramer

Es un método mecánico muy útil cuando hay parámetros o coeficientes grandes.

Para el sistema

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1, \\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$$

definimos:

$$\Delta=a_1b_2-a_2b_1,$$

$$\Delta_x=c_1b_2-c_2b_1,$$

$$\Delta_y=a_1c_2-a_2c_1.$$

Si $\Delta\neq0$, entonces:

$$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}.$$

Ejemplo. Aplicamos Cramer al sistema anterior:

$$\begin{cases} 2x+3y=12, \\ 5x-3y=9. \end{cases}$$

$$\Delta=2(-3)-5(3)=-6-15=-21.$$

$$\Delta_x=12(-3)-9(3)=-36-27=-63.$$

$$\Delta_y=2(9)-5(12)=18-60=-42.$$

Entonces:

$$x=\frac{-63}{-21}=3, \qquad y=\frac{-42}{-21}=2.$$

Solución: $(3;2)$.

La condición $\Delta\neq0$ es exactamente la condición para que el sistema tenga solución única.

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Los sistemas de tres incógnitas aparecen en el examen con menos frecuencia, pero cuando aparecen suelen ser directos.

El procedimiento general es:

1. Elegir una variable para eliminar.
2. Eliminarla en dos pares de ecuaciones.
3. Obtener un sistema $2\times2$.
4. Resolver ese sistema $2\times2$.
5. Reemplazar los dos valores hallados en una de las ecuaciones originales.

Ejemplo. Resolver:

$$\begin{cases} x+y+z=6, \\ 2x-y+z=3, \\ x+2y-z=2. \end{cases}$$

Llamemos:

• (1): $x+y+z=6$
• (2): $2x-y+z=3$
• (3): $x+2y-z=2$

Eliminamos $z$ entre (1) y (2). Restamos (1) de (2):

$$(2x-x)+(-y-y)+(z-z)=3-6$$

$$x-2y=-3.$$

Eliminamos $z$ entre (1) y (3). Sumamos (1) y (3):

$$(x+x)+(y+2y)+(z-z)=6+2$$

$$2x+3y=8.$$

Ahora resolvemos:

$$\begin{cases} x-2y=-3, \\ 2x+3y=8. \end{cases}$$

De la primera:

$$x=2y-3.$$

Reemplazamos en la segunda:

$$2(2y-3)+3y=8$$

$$4y-6+3y=8$$

$$7y=14$$

$$y=2.$$

Entonces:

$$x=2(2)-3=1.$$

Volvemos a (1):

$$1+2+z=6$$

$$z=3.$$

Solución: $(1;2;3)$.

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En San Marcos, la parte más importante no es despejar, sino plantear.

5.1. Procedimiento general para plantear

1. Lee atentamente todo el problema.
2. Identifica las cantidades desconocidas.
3. Asígnales variables, de preferencia con letras que ayuden a recordar:
   • $H$: número de hombres
   • $M$: número de mujeres
   • $p$: precio de un artículo
   • $t$: tiempo
4. Separa las condiciones.
5. Escribe una ecuación por cada condición independiente.
6. Verifica que haya tantas ecuaciones como incógnitas, o que el problema pida una relación entre ellas.
7. Resuelve el sistema.
8. Verifica que la respuesta cumple todas las condiciones y responde exactamente lo pedido.

5.2. Expresiones verbales frecuentes

No memorices la tabla: lo importante es leer con cuidado la dirección de la relación.

5.3. Uso de la constante $k$ en proporciones

Cuando el texto dice:

“La cantidad de hombres y mujeres está en la relación de $2$ a $3$”,

no escribas $H=2$ y $M=3$. Eso solo significa que:

$$\frac{H}{M}=\frac{2}{3}.$$

Lo más útil es escribir:

$$H=2k, \qquad M=3k,$$

donde $k$ es un factor común.

Si hay una suma total, por ejemplo $H+M=50$, entonces:

$$2k+3k=50$$

$$5k=50$$

$$k=10.$$

Así, $H=20$ y $M=30$.

Cuando hay varias razones encadenadas, se iguala el término común.

Ejemplo.

Se sabe que:

$$\text{A}:\text{B}=4:3, \qquad \text{B}:\text{C}=7:11.$$

Queremos expresar A, B y C con una sola $k$.

Multiplicamos la primera razón por 7 y la segunda por 3:

$$\text{A}:\text{B}=28:21, \qquad \text{B}:\text{C}=21:33.$$

Entonces:

$$\text{A}:\text{B}:\text{C}=28:21:33.$$

Escribimos:

$$A=28k, \qquad B=21k, \qquad C=33k.$$

5.4. Organizar información en tablas

Cuando hay muchos datos, conviene colocarlos en una tabla.

Ejemplo. En un aula hay hombres y mujeres. El total es 40 y la diferencia entre hombres y mujeres es 8.

Luego resolvemos:

$$\begin{cases} x+y=40, \\ x-y=8. \end{cases}$$

Sumando: $2x=48$, $x=24$. Luego $y=16$.

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6.1. Billetes y monedas

Aquí debes distinguir claramente dos cosas:

• el número de billetes o monedas;
• el dinero que representan.

Si $x$ es el número de billetes de S/50, entonces el dinero que representan es $50x$, no $x$.

Modelo estándar:

$$\begin{cases} x+y=N, \\ ax+by=C, \end{cases}$$

donde:

• $x$, $y$: cantidades de cada denominación;
• $a$, $b$: valores unitarios;
• $N$: total de billetes o monedas;
• $C$: total de dinero.

6.2. Compras y equivalencias de precios

En problemas de compras, las incógnitas suelen ser los precios unitarios.

Si se pregunta cuántos artículos de un tipo equivalen a otro, muchas veces no se necesita hallar precios absolutos: basta expresar todos los precios en función de uno de ellos.

La idea es:

1. Asignar variables a cada producto.
2. Traducir las equivalencias.
3. Sustituir en cadena hasta obtener la relación pedida.

6.3. Préstamos e intercambios de dinero

Cuando una persona le presta dinero a otra, el total entre ambas no cambia, pero los montos individuales sí.

Si $A$ y $O$ son montos actuales:

• Si $A$ le presta 10 a $O$, entonces $A$ queda con $A-10$ y $O$ con $O+10$.
• Si $O$ le presta 8 a $A$, entonces $O$ queda con $O-8$ y $A$ con $A+8$.

Debes aplicar las condiciones a los nuevos montos, no a los originales.

6.4. Pesos, bolsas y mezclas

Otro tipo frecuente es el de objetos que se comparan en peso.

Modelo general:

Sea $F$ el peso de una bolsa de frijol y $M$ el peso de una bolsa de maíz.

Si el dato dice:

“El peso de 5 bolsas de frijol equivale al peso de 3 bolsas de maíz más 8 kilos”,

se traduce:

$$5F=3M+8.$$

Si otro dato dice:

“El peso de 3 bolsas de frijol más 2 kilos equivale al peso de 3 bolsas de maíz más 5 kilos”,

se traduce:

$$3F+2=3M+5.$$

Se obtiene un sistema $2\times2$ sencillo.

6.5. Trabajo y eficiencias

En problemas de trabajo compartido, conviene manejar la fracción de obra que cada persona hace en un día, no el número de días como variable directa.

Si una persona tarda $d$ días en hacer toda la obra, entonces en un día hace $\frac{1}{d}$ de la obra.

Modelo general:

Sean:

• $x$: parte de la obra que hace el primero en un día.
• $y$: parte de la obra que hace el segundo en un día.

Si juntos tardan $T$ días:

$$T(x+y)=1.$$

Si trabajan juntos durante algunos días y luego uno continúa solo, se plantea otra ecuación sumando las partes realizadas.

6.6. Trueques y equivalencias en cadena

En problemas de trueque se dan equivalencias entre productos:

$$A+C=5B,$$

$$A+B=C,$$

$$B+C=D.$$

Muchas veces no se pide el valor absoluto de los productos, sino expresar uno en función de otro.

Idea clave: sustituir en cadena.

Por ejemplo, de $A+B=C$, reemplazamos $C$ en la primera:

$$A+(A+B)=5B$$

$$2A+B=5B$$

$$2A=4B$$

$$A=2B.$$

Entonces:

$$C=A+B=2B+B=3B.$$

Luego:

$$D=B+C=B+3B=4B.$$

Por lo tanto, una medida de $D$ equivale a 4 medidas de $B$.

6.7. Progresiones aritméticas y geométricas

Algunos problemas combinan sistemas con progresiones.

Para tres cantidades en progresión aritmética, suele convenir escribirlas como:

$$x-r, \quad x, \quad x+r.$$

La suma de las tres es:

$$(x-r)+x+(x+r)=3x.$$

Si se conoce la suma, se halla rápidamente el término central.

Si se conoce que la razón es 2, también se puede escribir:

$$x, \quad x+2, \quad x+4.$$

Para tres números en progresión geométrica, se pueden escribir como:

$$\frac{a}{r}, \quad a, \quad ar,$$

y se aplica la propiedad:

$$(\text{término central})^2 = (\text{primer término})(\text{tercer término}).$$

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No todos los sistemas con apariencia complicada son difíciles. Algunos se reducen a sistemas lineales.

7.1. Ecuaciones con exponentes

Si aparece:

$$2^{x+y}=128,$$

se igualan exponentes con bases iguales:

$$128=2^7 \quad\Rightarrow\quad x+y=7.$$

Luego, si se tiene además:

$$2x-y=2,$$

ya se formó un sistema lineal:

$$\begin{cases} x+y=7, \\ 2x-y=2. \end{cases}$$

Sumando:

$$3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3.$$

Luego:

$$y=7-3=4.$$

7.2. Suma, producto, suma de cuadrados y suma de cubos

Cuando se conocen suma y suma de cuadrados, se puede hallar producto y suma de cubos mediante identidades:

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,$$

$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).$$

Ejemplo.

Si:

$$x+y=1, \qquad x^2+y^2=2,$$

hallamos $xy$:

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$$

$$2=1^2-2xy$$

$$2=1-2xy$$

$$2xy=-1$$

$$xy=-\frac{1}{2}.$$

Luego:

$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$$

$$=1^3-3\left(-\frac{1}{2}\right)(1)$$

$$=1+\frac{3}{2}$$

$$=\frac{5}{2}.$$

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