Perímetros de regiones poligonales y circulares

El perímetro de una región plana es la medida de la longitud de su borde o contorno. Si la región es un polígono, el perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados. Si la región tiene arcos, el perímetro incluye tanto segmentos como arcos que aparezcan en el borde.

Por ejemplo, un rectángulo de lados $3$ cm y $5$ cm tiene perímetro
$$3+5+3+5=16\ \text{cm}.$$

Observa que la región interior del rectángulo mide $15\ \text{cm}^{2}$ de área, pero el perímetro mide $16\ \text{cm}$. Son medidas distintas: una mide superficie y otra mide longitud del borde.

Un truco simple para no olvidar qué estás midiendo: imagina que recorres el borde de la figura con un hilo. El perímetro es la longitud de ese hilo.

Las fórmulas siguientes son la base de casi todos los problemas. Te conviene entenderlas más que memorizarlas, porque todas provienen de sumar lados.

Ejemplo breve. Un cuadrado de lado $5$ cm tiene perímetro $4\times 5=20$ cm. Un rectángulo de $8$ cm por $3$ cm tiene perímetro $2(8+3)=22$ cm.

En los problemas de escala, recuerda que si una maqueta o dibujo se amplía con un factor $k$, todas las longitudes se multiplican por $k$. Por lo tanto, el perímetro también se multiplica por $k$.

Muchas figuras del examen están formadas por piezas adosadas: cuadraditos, rectángulos, fichas de madera, etc. La clave es esta:

El perímetro de una figura compuesta solo incluye los lados que quedan en el contorno exterior. Los lados que están pegados entre piezas no se cuentan.

Hay dos maneras de calcularlo.

Método 1: Recorrer el contorno.
Imagina que caminas por el borde de la figura y sumas los segmentos que vas pisando.

En esta cruz, cada cuadrado tiene lado $1$ cm. Si recorres el contorno, encuentras $12$ lados de $1$ cm. Por lo tanto, el perímetro es $12$ cm.

Método 2: Sumar perímetros de las piezas y restar los lados compartidos.
Cada cuadrado tiene perímetro $4$ cm. Como hay $5$ cuadrados, la suma de todos sus perímetros sería
$$5\times 4=20\ \text{cm}.$$
Pero el cuadrado central comparte un lado con cada uno de los cuatro cuadrados. Cada lado compartido fue contado dos veces en la suma anterior, así que se debe restar dos veces su longitud. Hay $4$ lados compartidos de $1$ cm, entonces se resta
$$4\times 2\times 1=8\ \text{cm}.$$
Perímetro total:
$$20-8=12\ \text{cm}.$$
Ambos métodos dan el mismo resultado.

Esta idea se aplica igualmente a figuras formadas por rectángulos congruentes.

También es frecuente comparar perímetros de figuras que tienen la misma área. No debes suponer que figuras de igual área tienen igual perímetro: al ser más alargada o más ramificada, una figura puede tener más borde con la misma superficie.

Cuando una región tiene bordes curvos, se deben medir también los arcos.

La longitud de una circunferencia completa de radio $r$ es
$$2\pi r.$$
A partir de esa fórmula se obtienen las demás:

• Semicircunferencia: arco de media vuelta
  $$\pi r.$$
  Si la región es un semicírculo, su borde completo es el arco más el diámetro: $$\pi r + 2r.$$

• Cuadrante: arco de un cuarto de vuelta
  $$\frac{\pi r}{2}.$$
  Si la región es un cuadrante, su perímetro es
  $$\frac{\pi r}{2}+2r.$$

• Sector circular de radio $r$ y ángulo central $\alpha$ en grados: su arco mide
  $$2\pi r \times \frac{\alpha}{360^{\circ}},$$
  y el perímetro del sector es ese arco más los dos radios:
  $$2\pi r \times \frac{\alpha}{360^{\circ}}+2r.$$

Ejemplo breve. Un sector de radio $4$ cm y ángulo $90^{\circ}$ tiene arco
$$2\pi(4)\times \frac{90}{360} = 8\pi \times \frac{1}{4}=2\pi\ \text{cm}.$$
Su perímetro es
$$2\pi+2(4)=2\pi+8\ \text{cm}.$$

Propiedad útil: arcos de semicircunferencias sobre un mismo segmento

Hay una propiedad que ahorra mucho trabajo en los problemas con varias semicircunferencias.

Si un segmento de longitud $L$ se divide en varios segmentos de longitudes $d_1,d_2,\ldots,d_n$, y sobre cada uno se dibuja una semicircunferencia, la suma de las longitudes de todos esos arcos es
$$\frac{\pi}{2} (d_1+d_2+\cdots+d_n) = \frac{\pi}{2} L.$$

La razón es simple: el arco de una semicircunferencia de diámetro $d_i$ mide
$$\frac{\pi d_i}{2}.$$
Al sumar todos los arcos, se obtiene
$$\frac{\pi}{2}(d_1+d_2+\cdots+d_n),$$
y como los diámetros cubren todo el segmento, la suma de los diámetros es $L$.

Esto significa que, si solo te interesa la suma de los arcos, no importa en cuántas partes se haya dividido el segmento; importa la longitud total.

Muchos problemas plantean construir una figura grande a partir de varias copias congruentes de una figura pequeña, exigiendo que la figura grande sea semejante a la pequeña.

Recuerda lo siguiente:

• Si una figura se amplía con un factor de escala $k$, todas sus longitudes se multiplican por $k$. Por eso, el perímetro de la figura ampliada es
  $$P_{\text{grande}} = kP_{\text{original}}.$$

• Como la semejante grande se cubre con copias de la figura original, el número de piezas necesarias es $k^{2}$.
  Esto se debe a que, al multiplicar todas las longitudes por $k$, el área se multiplica por $k^{2}$, y la cantidad de piezas originales que caben es justamente $k^{2}$.

Método para resolver problemas de fichas semejantes:

1. Identifica el perímetro $P$ de la figura original.
2. Sea $k$ el factor de escala buscado.
3. Como cada pieza original ocupa una vez el lugar de la figura base, la figura grande de escala $k$ necesita $k^{2}$ piezas.
4. Si dispones de $N$ piezas, debes hallar el mayor entero $k$ tal que
   $$k^{2}\le N.$$
5. El perímetro de la figura grande es $kP$.

Ejemplo breve. Una ficha tiene perímetro $10$ cm. Se dispone de $50$ fichas. El mayor entero $k$ con $k^{2}\le 50$ es $k=7$, porque $7^{2}=49$ y $8^{2}=64$. Entonces la figura semejante más grande tendrá perímetro
$$7\times 10=70\ \text{cm}.$$

Cuando se corta una figura, el perímetro cambia porque aparecen nuevos bordes y desaparecen otros.

6.1. Cortar una pieza en dos

Si una pieza se divide en dos mediante un corte, cada una de las piezas resultantes tendrá como borde:

• una parte del contorno exterior original, y
• la línea de corte.

Por ejemplo, un rectángulo de $18$ cm por $12$ cm se corta por la mitad, paralelamente al lado de $18$ cm. Cada pieza resulta de $18$ cm por $6$ cm, y su perímetro es
$$2(18+6)=48\ \text{cm}.$$

Observa que la línea de corte mide $6$ cm y aparece como un lado en cada una de las dos piezas. En general:

$$\text{Perímetro de una pieza} = \frac{\text{perímetro exterior original}}{2} + \text{longitud de la línea de corte}.$$

Esta fórmula es útil cuando el corte divide la figura en dos piezas congruentes o simétricas.

6.2. Cortes en las esquinas

Si se corta una esquina de un polígono mediante un segmento recto, el nuevo borde reemplaza dos tramos del contorno original por el segmento de corte.

Por ejemplo, en un cuadrado, al cortar una esquina con un segmento, se eliminan dos segmentos de los lados originales y se agrega el corte. Para calcular el perímetro de la figura resultante, conviene:

1. Comenzar con el perímetro original.
2. Restar las longitudes de los tramos de lados que desaparecen.
3. Sumar las longitudes de los cortes.

6.3. Cortes en papel doblado

Cuando se dobla un papel, un corte hecho sobre el papel doblado se replica en todas las capas. Al desplegar, aparecen varios huecos o bordes internos. En esos problemas, el perímetro de la pieza desplegada es:

$$\text{perímetro del borde exterior} + \text{suma de los perímetros de los huecos}.$$

Los huecos pueden ser poligonales o circulares. Por eso, antes de calcular, hay que determinar cuántas capas de papel fueron cortadas y cuántas veces se reprodujo el corte.

Algunos problemas piden el mayor o menor perímetro posible bajo ciertas condiciones. Las ideas generales son:

1. Al unir piezas sobre un plano, para maximizar el perímetro conviene que las piezas estén en contacto por la menor cantidad posible de lados.
   Para minimizarlo, conviene formar la figura más compacta posible, cercana a un cuadrado.

2. Al cortar una figura en dos piezas congruentes, el perímetro de una pieza es la mitad del contorno exterior original más la línea de corte. Por lo tanto, para maximizar el perímetro de una pieza hay que maximizar la longitud del corte.
   En cuadrículas, esto se logra con cortes que serpentean por las líneas de la cuadrícula, en lugar de cortes rectos.

3. Al colocar trozos rectangulares en contacto, conviene buscar disposiciones en las que el mayor número de lados quede en el contorno exterior y el menor número posible quede compartido.