Situaciones deportivas 1 (con 3 equipos solo tablas)

Imagina que tres equipos $A$, $B$ y $C$ juegan un triangular todos contra todos, es decir, cada equipo juega exactamente una vez contra cada uno de los otros dos. Al final, la tabla de goles a favor ($GF$) y goles en contra ($GC$) podría verse así:

La tabla nos dice cuántos goles anotó y recibió cada equipo en total durante sus dos partidos. Pero no nos dice el marcador de cada partido. Por ejemplo, $A$ anotó $5$ goles en total: ¿cuántos a $B$ y cuántos a $C$? La respuesta no es evidente, pero los datos de la tabla la condicionan fuertemente.

El objetivo de este tipo de problemas es reconstruir el marcador de un partido determinado usando los totales y, si las hay, las condiciones adicionales (empates, diferencias de goles, totales de partidos, etc.).

Hay una propiedad fundamental que usaremos en todos los problemas:

En un partido de fútbol o fulbito, los goles que un equipo anota son exactamente los goles que el rival recibe. Por lo tanto, si sumamos los goles a favor de todos los equipos, obtenemos el total de goles anotados en el torneo; y si sumamos los goles en contra, obtenemos exactamente ese mismo total, porque cada gol anotado fue recibido por alguien.

Es decir:

$$\sum GF = \sum GC = T$$

donde $T$ es el total de goles anotados en todos los partidos.

En un triangular de tres equipos, cada equipo juega $2$ partidos y hay $3$ partidos en total. Por eso, si una tabla está incompleta, esta igualdad nos permite completar una casilla que falte.

Ejemplo inmediato. Si tenemos

Sabemos que $\sum GF = 5+3+2=10$. Entonces $\sum GC = 10$. Como $A$ recibió $2$ y $B$ recibió $4$, el equipo $C$ recibió

$$GC(C) = 10 - 2 - 4 = 4.$$

Así completamos la tabla.

Cuando tenemos tres equipos $A$, $B$ y $C$, conviene dar nombre a los goles de cada partido. Una forma muy clara es usar una tabla de doble entrada:

Aquí:

• $a$: goles que $A$ le anotó a $B$.
• $c$: goles que $B$ le anotó a $A$.
• $b$: goles que $A$ le anotó a $C$.
• $e$: goles que $C$ le anotó a $A$.
• $d$: goles que $B$ le anotó a $C$.
• $f$: goles que $C$ le anotó a $B$.

Cada fila muestra la descomposición de los goles a favor del equipo correspondiente; cada columna, la descomposición de los goles en contra.

Matriz de doble entrada para un triangular de tres equipos

Esta representación es muy útil porque convierte el problema en un sistema de ecuaciones con variables $a,b,c,d,e,f$, todas enteras no negativas. Por ejemplo:

• $GF(A) = a+b$
• $GC(A) = c+e$
• $GF(B) = c+d$
• $GC(B) = a+f$
• $GF(C) = e+f$
• $GC(C) = b+d$

Además, los resultados de los partidos son:

• $A$ vs $B$ : $a - c$
• $A$ vs $C$ : $b - e$
• $B$ vs $C$ : $d - f$

El problema suele pedir uno de estos marcadores.

Cuando enfrentes una pregunta de tablas de tres equipos, te recomiendo seguir este orden:

Paso 1: Completar la tabla si falta algún dato

Usa la igualdad $\sum GF = \sum GC$ para hallar una casilla vacía. Si aparecen otras columnas como partidos jugados ($PJ$), ganados ($PG$), empatados ($PE$) y perdidos ($PP$), aplica también sus relaciones (las veremos más adelante).

Paso 2: Traducir las condiciones del enunciado a ecuaciones

Cada condición tiene una traducción algebraica inmediata:

• “$A$ y $B$ empataron”: $a = c$.
• “$A$ le ganó a $B$ por dos goles de diferencia”: $a = c + 2$.
• “El total de goles del partido $A$ vs $B$ fue $5$”: $a + c = 5$.
• “En todos los partidos se anotaron goles”: todos los marcadores no pueden ser $0-0$.
• “Los totales de goles de los partidos son números consecutivos”: $a+c$, $b+e$ y $d+f$ son tres números consecutivos.

Paso 3: Descomponer los goles a favor de cada equipo

Escribe las sumas de los $GF$ y $GC$ en términos de las variables. Luego usa las restricciones para reducir posibilidades.

Paso 4: Resolver las ecuaciones

Como las variables son enteras no negativas, muchas veces solo hay unas pocas posibilidades. Conviene probar con las variables que aparecen en las condiciones.

Paso 5: Verificar todos los resultados

Una vez que encuentres una solución, revisa que todos los totales de la tabla se cumplan. Si no, descártala y prueba con otra.

Este método es una aplicación directa del razonamiento con ecuaciones diofánticas del tema anterior: buscamos soluciones enteras no negativas de un sistema lineal.

A continuación, las situaciones más comunes que aparecen en los exámenes y cómo se traducen.

1. Empates

Un empate entre dos equipos significa que ambos anotaron la misma cantidad de goles en ese partido. Si usamos las variables de la matriz, $A$ vs $B$ empataron implica $a = c$. Si hubo dos empates en un triangular de tres partidos, eso impone dos igualdades de ese tipo, lo que reduce fuertemente las posibilidades.

2. Diferencia de goles en un partido

Si se dice que $A$ le ganó a $B$ por dos goles de diferencia, entonces $a > c$ y $a = c + 2$. No se debe confundir esta diferencia en un partido con la diferencia total de goles de la tabla ($GF - GC$ de un equipo), que corresponde a todos sus partidos.

3. Totales de goles de los partidos como números consecutivos

Si los totales de goles de los tres partidos son números consecutivos, y la suma de todos los goles del torneo es $T$, podemos plantear:

$$p + (p+1) + (p+2) = T$$

de donde se obtiene $p$. Esto nos dice exactamente cuáles son los tres totales de partido, aunque no necesariamente a qué partido corresponde cada uno.

4. “En todos los partidos se anotaron goles” o “en ningún partido se anotaron...”

La frase “en todos los partidos se anotaron goles” significa que ningún partido terminó $0-0$. Es decir, cada partido tiene al menos un gol en total. Otras restricciones, como “en ningún partido se anotaron más de cuatro goles”, acotan superiormente los totales.

5. “Un equipo ganó todos sus partidos”

Si $A$ ganó todos sus partidos, entonces en sus dos partidos anotó más goles que su rival: $a > c$ y $b > e$. Esto, junto con $GF(A)$ y $GC(A)$, ayuda a descomponer sus goles.

Algunas tablas no solo muestran $GF$ y $GC$, sino también partidos jugados, ganados, empatados y perdidos. En un triangular de tres equipos:

• Cada equipo ya jugó $2$ partidos: $PJ = 2$ para todos.
• $PG + PE + PP = 2$ para cada equipo.
• Un empate se registra como $PE$ para ambos equipos involucrados. Por eso, la suma de los $PE$ de todos los equipos es igual al doble del número de partidos empatados:

$$\sum PE = 2E$$

donde $E$ es el número de partidos empatados.

• La suma de los $PG$ de todos los equipos es igual al número de partidos decididos (no empatados):

$$\sum PG = \sum PP = D$$

donde $D$ es el número de partidos en que hubo un ganador.

Como en un triangular hay $3$ partidos en total:

$$D + E = 3.$$

Si además se usa el sistema de puntaje habitual —$3$ puntos por partido ganado, $1$ por empate y $0$ por derrota—, el puntaje total del torneo es:

$$\text{Puntaje total} = 3D + 2E.$$

Sustituyendo $D = 3 - E$, se obtiene:

$$\text{Puntaje total} = 3(3-E) + 2E = 9 - E.$$

Esta relación es muy práctica: si nos dan el puntaje total de un triangular, podemos deducir cuántos empates hubo.