Teoría de conjuntos II: operaciones entre conjuntos, leyes de conjuntos

1.1 Unión de conjuntos

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, su unión $A \cup B$ es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a $A$, a $B$, o a ambos.

Formalmente:

$A \cup B = \{ x : x \in A \vee x \in B \}.$

El símbolo $\vee$ se lee «o» e incluye la posibilidad de que el elemento esté en ambos conjuntos; es el «o inclusivo».

Ejemplo. Si $A = \{1,2,3,4\}$ y $B = \{3,4,5\}$, entonces

$A \cup B = \{1,2,3,4,5\}.$

Observa que los elementos repetidos $3$ y $4$ se escriben una sola vez.

1.2 Intersección de conjuntos

La intersección $A \cap B$ es el conjunto de elementos comunes a $A$ y a $B$:

$A \cap B = \{ x : x \in A \wedge x \in B \}.$

El símbolo $\wedge$ se lee «y».

Ejemplo. Para los conjuntos anteriores,

$A \cap B = \{3,4\}.$

1.3 Conjuntos disjuntos

Si $A \cap B = \varnothing$, decimos que $A$ y $B$ son disjuntos: no tienen elementos en común.

Dos conjuntos diferentes no necesariamente son disjuntos. Por ejemplo, $\{1,3,5\}$ y $\{1,2,4\}$ son diferentes, pero no disjuntos porque comparten el $1$.

Propiedades básicas de la unión e intersección:

• $A \cup \varnothing = A$
• $A \cap \varnothing = \varnothing$
• $A \cup A = A$
• $A \cap A = A$
• Si $A \subset B$, entonces $A \cup B = B$ y $A \cap B = A$.

2.1 Diferencia de conjuntos

La diferencia $A - B$ (también se escribe $A \setminus B$) es el conjunto formado por los elementos que están en $A$ y no están en $B$:

$A - B = \{ x : x \in A \wedge x \notin B \}.$

Se lee «A menos B» o «A pero no B».

Ejemplo. Si $A = \{1,2,3,4\}$ y $B = \{3,4,5\}$, entonces

$A - B = \{1,2\}, \qquad B - A = \{5\}.$

La diferencia no es conmutativa: $A - B$ y $B - A$ no suelen ser iguales.

Casos importantes:

• Si $A$ y $B$ son disjuntos, entonces $A - B = A$ y $B - A = B$.
• Si $A \subset B$, entonces $A - B = \varnothing$.
• Si $B \subset A$, entonces $B - A = \varnothing$.

Además, la diferencia se puede expresar mediante intersección y complemento:

$A - B = A \cap B'.$

Esta igualdad es muy usada para simplificar expresiones.

2.2 Complemento de un conjunto

Sea $U$ el conjunto universal y $A \subset U$. El complemento de $A$, denotado $A'$, $A^c$, $C(A)$ o $\overline{A}$, es el conjunto de elementos de $U$ que no pertenecen a $A$:

$A' = U - A = \{ x \in U : x \notin A \}.$

Ejemplo. Si $U = \{1,2,3,4,5,6\}$ y $A = \{1,3,5\}$, entonces

$A' = \{2,4,6\}.$

Propiedades inmediatas:

• $U' = \varnothing$
• $\varnothing' = U$
• $(A')' = A$
• $A \cup A' = U$
• $A \cap A' = \varnothing$

La diferencia se relaciona con el complemento mediante:

$A - B = A \cap B'.$

2.3 Diferencia simétrica

La diferencia simétrica $A \,\triangle\, B$ es el conjunto de elementos que pertenecen a $A$ o a $B$, pero no a ambos a la vez.

Se define como:

$A \,\triangle\, B = (A - B) \cup (B - A).$

También se puede escribir:

$A \,\triangle\, B = (A \cup B) - (A \cap B).$

En palabras: son los elementos que están exactamente en uno de los dos conjuntos.

Ejemplo. Si $A = \{1,2,3,4\}$ y $B = \{3,4,5\}$, entonces

$A \,\triangle\, B = \{1,2\} \cup \{5\} = \{1,2,5\}.$

Propiedades útiles:

• $A \,\triangle\, \varnothing = A$
• $A \,\triangle\, U = A'$
• $A \,\triangle\, A = \varnothing$
• $A \,\triangle\, B = B \,\triangle\, A$
• $(A \,\triangle\, B) \,\triangle\, C = A \,\triangle\, (B \,\triangle\, C)$

Su cardinal se calcula con:

$n(A \,\triangle\, B) = n(A) + n(B) - 2n(A \cap B).$

La razón es que al sumar $n(A)$ y $n(B)$, los elementos comunes se cuentan dos veces, pero en la diferencia simétrica esos elementos no deben aparecer; por eso se restan dos veces.

Dado un conjunto $A$, su conjunto potencia $P(A)$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $A$, incluidos $\varnothing$ y el propio $A$.

Ejemplo. Si $A = \{a,b\}$, entonces

$P(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}.$

Su cardinal es $n(P(A)) = 4$.

En general, si $A$ tiene $n$ elementos, el número de subconjuntos de $A$ es

$n(P(A)) = 2^{n(A)} = 2^n.$

Esto se justifica pensando en que cada elemento de $A$ puede estar o no estar en un subconjunto, lo que da $2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^n$ posibilidades.

Ejemplo. Si $A$ tiene $5$ elementos, entonces $n(P(A)) = 2^5 = 32$.

También conviene recordar:

• El número de subconjuntos propios es $2^n - 1$, porque se excluye al mismo conjunto $A$.
• El número de subconjuntos no vacíos es $2^n - 1$, porque se excluye al vacío.

En muchos problemas no se listan todos los elementos, sino que se dan cardinales. Para resolverlos se usan fórmulas de cardinalidad, casi siempre acompañadas de diagramas de Venn.

4.1 Fórmula para dos conjuntos

Para dos conjuntos $A$ y $B$:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B).$

La justificación es clara: al sumar $n(A)$ y $n(B)$, los elementos de la intersección se cuentan dos veces, por lo que hay que restar una vez $n(A \cap B)$.

Si $A$ y $B$ son disjuntos, $n(A \cap B) = 0$, y la fórmula se reduce a:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B).$

También se puede despejar la intersección:

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B).$

Ejemplo. Si $n(A) = 30$, $n(B) = 20$ y $n(A \cup B) = 40$, entonces

$n(A \cap B) = 30 + 20 - 40 = 10.$

4.2 Fórmula para tres conjuntos

Para tres conjuntos $A$, $B$ y $C$:

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C).$

La lógica es: sumas los cardinales de cada conjunto, restas las intersecciones de a pares porque se contaron de más, y vuelves a sumar la intersección triple porque al restar los pares la quitaste más veces de lo necesario.

Ejemplo. Si $n(A) = 50$, $n(B) = 40$, $n(C) = 30$, $n(A \cap B) = 10$, $n(A \cap C) = 8$, $n(B \cap C) = 6$ y $n(A \cap B \cap C) = 3$, entonces

$n(A \cup B \cup C) = 50 + 40 + 30 - 10 - 8 - 6 + 3 = 99.$

4.3 Relación entre totales y regiones exclusivas

Muchos problemas piden el número de elementos que están exactamente en un solo conjunto, sin dar todas las intersecciones de a pares. En esos casos se usa una relación muy práctica.

Llamemos:

• $s$: número de elementos que están exactamente en un conjunto.
• $d$: número de elementos que están exactamente en dos conjuntos.
• $t$: número de elementos que están en los tres conjuntos.

Entonces, la unión se descompone como:

$n(A \cup B \cup C) = s + d + t.$

Por otro lado, al sumar los cardinales de cada conjunto, cada elemento de $s$ se cuenta una vez, cada elemento de $d$ se cuenta dos veces y cada elemento de $t$ se cuenta tres veces:

$n(A) + n(B) + n(C) = s + 2d + 3t.$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cup B \cup C) = d + 2t.$

Esta igualdad permite hallar $d$ cuando se conocen $t$ y las sumas totales, y luego hallar $s$.

Aunque el tema central son las operaciones entre conjuntos, el producto cartesiano también se estudia en esta unidad porque su resultado es un conjunto.

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, su producto cartesiano $A \times B$ es el conjunto de pares ordenados:

$A \times B = \{ (a,b) : a \in A \wedge b \in B \}.$

El primer elemento del par proviene de $A$ y el segundo de $B$.

Ejemplo. Si $A = \{1,2\}$ y $B = \{x,y\}$, entonces

$A \times B = \{ (1,x),(1,y),(2,x),(2,y) \}.$

Su cardinal es

$n(A \times B) = n(A) \times n(B).$

El producto cartesiano no es conmutativo en general: $A \times B \neq B \times A$, salvo que $A = B$ o se trate de casos triviales.

Las leyes del álgebra de conjuntos son identidades que se cumplen para conjuntos cualesquiera $A$, $B$ y $C$ dentro de un universal $U$. Sirven para simplificar expresiones, demostrar igualdades y resolver operaciones sin necesidad de listar elementos.

6.1 Idempotencia

$A \cup A = A$
$A \cap A = A$

6.2 Conmutatividad

$A \cup B = B \cup A$
$A \cap B = B \cap A$

6.3 Asociatividad

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Esto permite escribir $A \cup B \cup C$ sin paréntesis.

6.4 Distributiva

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Hay dos versiones: la unión se distribuye sobre la intersección y la intersección se distribuye sobre la unión.

6.5 Identidad o de la unidad

$A \cup \varnothing = A$
$A \cap U = A$
$A \cup U = U$
$A \cap \varnothing = \varnothing$

6.6 Del complemento

$A \cup A' = U$
$A \cap A' = \varnothing$
$(U)' = \varnothing$
$(\varnothing)' = U$
$(A')' = A$

6.7 De Morgan

$(A \cup B)' = A' \cap B'$
$(A \cap B)' = A' \cup B'$

En palabras: el complemento de la unión es la intersección de los complementos, y el complemento de la intersección es la unión de los complementos.

Para tres conjuntos, De Morgan se generaliza:

$(A \cup B \cup C)' = A' \cap B' \cap C'$
$(A \cap B \cap C)' = A' \cup B' \cup C'$

Ejemplo. Si $U = \{1,2,3,4,5\}$, $A = \{1,2\}$ y $B = \{2,3\}$, entonces $A \cup B = \{1,2,3\}$, por lo que $(A \cup B)' = \{4,5\}$. Por otra parte, $A' = \{3,4,5\}$, $B' = \{1,4,5\}$ y $A' \cap B' = \{4,5\}$. Se verifica De Morgan.

6.8 Absorción

$A \cup (A \cap B) = A$
$A \cap (A \cup B) = A$

También son útiles las formas con complemento:

$A \cup (A' \cap B) = A \cup B$
$A \cap (A' \cup B) = A \cap B$

6.9 De la diferencia

$A - B = A \cap B'$

La diferencia simétrica se define:

$A \,\triangle\, B = (A \cup B) - (A \cap B) = (A - B) \cup (B - A)$

6.10 Cómo se usan estas leyes

Para simplificar una expresión conjuntista:

1. Reescribe toda diferencia como intersección con complemento.
2. Aplica De Morgan para eliminar complementos de uniones o intersecciones grandes.
3. Usa distributiva para expandir si es necesario.
4. Aplica $A \cap A' = \varnothing$ y $A \cup A' = U$.
5. Simplifica con identidad y absorción.

Ejemplo breve. Simplifiquemos $(A \cup B) \cap A'$.

Por distributiva:

$(A \cup B) \cap A' = (A \cap A') \cup (B \cap A') = \varnothing \cup (B \cap A') = B \cap A' = B - A.$

Por lo tanto, $(A \cup B) \cap A' = B - A$.

Los diagramas de Venn ayudan a visualizar operaciones y a resolver problemas donde se cuentan elementos de varios conjuntos.

7.1 Diagrama de Venn con dos conjuntos

Para dos conjuntos $A$ y $B$, se forman cuatro regiones:

• Solo $A$
• Solo $B$
• $A \cap B$
• Fuera de ambos, dentro de $U$

Al resolver, se asigna una variable a cada región y se traducen los datos a ecuaciones.

7.2 Diagrama de Venn con tres conjuntos

Para tres conjuntos $A$, $B$ y $C$, se forman ocho regiones: tres exclusivas, tres intersecciones de a pares, la intersección triple y la exterior.

Procedimiento recomendado:

1. Identifica el universal y los tres conjuntos.
2. Coloca primero la intersección triple, si se conoce.
3. Llena las intersecciones de a pares; si el dato incluye la triple, réstala.
4. Llena las regiones exclusivas restando de cada total las partes ya colocadas.
5. Completa la región exterior con el total del universal menos la unión.

7.3 Diagrama de Lewis Carroll

Se usa cuando hay dos clasificaciones que forman categorías complementarias, por ejemplo hombres/mujeres y con lentes/sin lentes, o comunitario/deportivo/medioambiental con inclusiones?

En realidad, el diagrama de Lewis Carroll es una tabla de doble entrada. Es ideal cuando las categorías son disjuntas y cubren todo el universo.

Ejemplo. Personas clasificadas por sexo y por uso de lentes.

Tabla de doble entrada: Varones/Mujeres y Con/Sin lentes

La ventaja es que cada celda representa una intersección y los totales por fila o columna se suman directamente.

En los problemas de admisión, a veces se pide simplificar una expresión conjuntista para luego calcular un cardinal o identificar una condición. Veamos un método general.

Dada una expresión como

$[(A \cap B')' \cup (A - B)] \cap A,$

se procede así:

1. Reescribir diferencias:

   $A - B = A \cap B'$.

   La expresión queda:

   $[(A \cap B')' \cup (A \cap B')] \cap A.$

2. Aplicar complemento de una unión:

   $X' \cup X = U$, donde $X = A \cap B'$.

   Por lo tanto, el corchete es $U$.

3. La expresión se reduce a:

   $U \cap A = A$.

Así, la expresión original es $A$.

En otros casos conviene usar De Morgan y distributiva, como se mostró en la sección de leyes.