Números racionales

En $\mathbb{Z}$, la división $13 \div 7$ no tiene resultado entero. Para que toda ecuación de la forma

$$bx=a \qquad (b\neq 0)$$

tenga solución exacta, se amplía el conjunto de los enteros.

El conjunto de los números racionales, denotado por $\mathbb{Q}$, está formado por todos los números que pueden expresarse como

$$> \frac{a}{b}, >$$

donde $a,b\in\mathbb{Z}$ y $b\neq 0$.

Formalmente:

$$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\ \middle|\ a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z},\ b\neq 0\right\}.$$

Ejemplos de números racionales:

$$\frac{1}{2},\quad -\frac{3}{5},\quad \frac{7}{1},\quad \frac{0}{8},\quad \frac{6}{3},\quad -\frac{4}{-7}.$$

Todo número entero es racional, porque puede escribirse como

$$n=\frac{n}{1}.$$

Así, $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$.

El conjunto $\mathbb{Q}$ es denso: entre dos números racionales siempre existe otro número racional. Por ejemplo, entre

$$\frac{1}{2}\quad\text{y}\quad\frac{2}{3}$$

está su promedio:

$$\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{2} = \frac{\frac{3}{6}+\frac{4}{6}}{2} = \frac{7}{12}.$$

Y entre esos dos, nuevamente pueden insertarse otros racionales; por eso se dice que entre dos racionales hay infinitos racionales.

En aritmética, se suele reservar la palabra fracción para los racionales positivos.

Una fracción es un número de la forma

$$> f=\frac{a}{b}, >$$

donde $a$ y $b$ son enteros positivos.

Los términos de una fracción son:

$$\underbrace{\frac{a}{b}}_{\text{fracción}}$$

• $a$: numerador
• $b$: denominador, con $b\neq 0$

El denominador indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad.
El numerador indica cuántas de esas partes se toman.

\

En el lenguaje de los problemas, una fracción también puede interpretarse como:

• una división indicada: $a\div b$;
• una parte de una cantidad;
• una razón entre dos magnitudes: $a:b$.

Las fracciones se clasifican según distintos criterios.

3.1 Según la relación entre numerador y denominador

a) Fracción propia

Una fracción $\frac{a}{b}$ es propia cuando el numerador es menor que el denominador:

$$a<b.$$

Su valor es menor que $1$:

$$\frac{a}{b}<1.$$

Ejemplos:

$$\frac{1}{2},\quad \frac{3}{7},\quad \frac{4}{120},\quad \frac{11}{12}.$$

b) Fracción impropia

Una fracción $\frac{a}{b}$ es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador:

$$a>b.$$

Su valor es mayor que $1$:

$$\frac{a}{b}>1.$$

Ejemplos:

$$\frac{4}{3},\quad \frac{7}{3},\quad \frac{1000}{7},\quad \frac{25}{16}.$$

c) Fracción aparente

Es aquella fracción cuyo numerador es múltiplo del denominador:

$$a=\text{múltiplo de }b.$$

Es decir, al simplificarla se obtiene un número entero.

Ejemplos:

$$\frac{4}{2}=2,\quad \frac{10}{5}=2,\quad \frac{7}{7}=1,\quad \frac{8}{1}=8.$$

Toda fracción con denominador $1$ es aparente.

3.2 Según su simplificación

a) Fracción irreducible

Una fracción $\frac{a}{b}$ es irreducible (también se dice irreductible) cuando el numerador y el denominador son PESI:

$$\operatorname{MCD}(a,b)=1.$$

Ejemplos:

$$\frac{3}{4},\quad \frac{7}{3},\quad \frac{16}{17},\quad \frac{1345}{1344}.$$

b) Fracción reducible

Una fracción es reducible cuando sus términos tienen divisores comunes además de $1$:

$$\operatorname{MCD}(a,b)>1.$$

Ejemplo:

$$\frac{12}{36}$$

es reducible porque

$$\operatorname{MCD}(12,36)=12.$$

Al simplificarla se obtiene:

$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}.$$

La fracción $\frac{1}{3}$ ya es irreducible.

3.3 Según el denominador: fracción decimal

Una fracción es decimal cuando su denominador es una potencia de $10$:

$$\frac{a}{10^n},\qquad n\in\mathbb{Z}^+.$$

Ejemplos:

$$\frac{16}{10},\quad \frac{1}{100},\quad \frac{5}{1000}.$$

Estas fracciones serán el puente hacia el siguiente tema: números decimales.

3.4 Fracciones homogéneas y heterogéneas

• Fracciones homogéneas: tienen el mismo denominador.
  Ejemplo: $\frac{3}{8}$ y $\frac{7}{8}$.

• Fracciones heterogéneas: tienen denominadores diferentes.
  Ejemplo: $\frac{3}{8}$ y $\frac{5}{12}$.

Esta clasificación es muy importante para sumar y restar fracciones.

3.5 Números mixtos

Una fracción impropia puede escribirse como un número mixto:

$$E\frac{a}{b}=E+\frac{a}{b},$$

donde $E$ es un entero positivo y $\frac{a}{b}$ es propia.

Ejemplo:

$$\frac{7}{3}=2+\frac{1}{3}=2\frac{1}{3}.$$

Para convertir un número mixto a fracción:

$$E\frac{a}{b}=\frac{Eb+a}{b}.$$

Ejemplo:

$$2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot 3+1}{3}=\frac{7}{3}.$$

Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número.

Por ejemplo:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\cdots$$

4.1 Criterio de equivalencia

Las fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son equivalentes si y solo si

$$a\cdot d=b\cdot c.$$

Esto se justifica multiplicando en aspa:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad a d = b c.$$

Ejemplo:

$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$

porque

$$12\cdot 3=36\cdot 1.$$

4.2 Familia de fracciones equivalentes

Si $\frac{a}{b}$ es una fracción irreducible, entonces todas sus fracciones equivalentes se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por un mismo entero positivo $k$:

$$\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk},\qquad k\in\mathbb{Z}^+.$$

Ejemplo:

$$\frac{3}{5} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 2} = \frac{6}{10} = \frac{9}{15} = \frac{12}{20} = \cdots$$

Esta propiedad es la base para contar fracciones equivalentes con cierta condición en su denominador o numerador.

Simplificar una fracción significa dividir el numerador y el denominador por su MCD.

$$\frac{a}{b} = \frac{a\div \operatorname{MCD}(a,b)} {b\div \operatorname{MCD}(a,b)}.$$

Ejemplo:

$$\frac{168}{252}$$

Como

$$\operatorname{MCD}(168,252)=84,$$

entonces

$$\frac{168}{252} = \frac{168\div 84}{252\div 84} = \frac{2}{3}.$$

La fracción $\frac{2}{3}$ es la fracción irreducible equivalente a $\frac{168}{252}$.

También se le llama representante canónico de esa familia de fracciones equivalentes.

Aunque este tema se centra en la clasificación y las propiedades, las operaciones con fracciones aparecen en casi todos los problemas de admisión.

6.1 Suma y resta

Para fracciones homogéneas

$$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{b} = \frac{a\pm c}{b}.$$

Ejemplo:

$$\frac{3}{8}+\frac{7}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}.$$

Para fracciones heterogéneas

Se halla el MCM de los denominadores, se convierte cada fracción a una equivalente con ese denominador común y luego se suman los numeradores.

Ejemplo:

$$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}.$$

El MCM de $4$ y $3$ es $12$. Entonces:

$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12},\qquad \frac{2}{3}=\frac{8}{12}.$$

Por lo tanto:

$$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} = \frac{3}{12}+\frac{8}{12} = \frac{11}{12}.$$

6.2 Multiplicación

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}.$$

Ejemplo:

$$\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{4} = \frac{21}{20}.$$

6.3 División

$$\frac{a}{b}\div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}.$$

Ejemplo:

$$\frac{3}{5}\div \frac{7}{4} = \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{7} = \frac{12}{35}.$$

6.4 Potenciación y radicación

Del tema anterior se tiene:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}.$$

Ejemplo:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}.$$

6.5 Aplicaciones típicas

Las fracciones se usan para modelar trabajos, repartos y transacciones comerciales.

Estas propiedades son las que más se usan en los problemas de admisión.

7.1 Propiedad de la fracción irreducible equivalente

Si $\frac{a}{b}$ es irreducible y

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$

entonces existe un entero positivo $k$ tal que

$$c=ak,\qquad d=bk.$$

Es decir, todas las fracciones equivalentes a una fracción irreducible se obtienen multiplicando ambos términos por el mismo $k$.

7.2 Conteo de fracciones irreducibles con denominador fijo

Este es uno de los tipos de pregunta más frecuentes.

Sea $N$ un entero positivo. Una fracción

$$\frac{a}{N}$$

es irreducible si

$$\operatorname{MCD}(a,N)=1.$$

Si además se pide que sea propia, entonces

$$0<a<N.$$

La cantidad de números $a$ con $1\leq a\leq N$ que son PESI con $N$ se calcula con la función de Euler:

$$\varphi(N) = N \left(1-\frac{1}{p_1}\right) \left(1-\frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{p_r}\right),$$

donde $p_1,p_2,\ldots,p_r$ son los factores primos distintos de $N$.

Ejemplo:

$$45=3^2\cdot 5.$$

Entonces:

$$\varphi(45) = 45\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right) = 45\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5} = 24.$$

Por lo tanto, existen $24$ fracciones propias e irreducibles con denominador $45$.

Si además se pide que la fracción esté comprendida entre dos valores, se transforma esa condición en una desigualdad para el numerador.

Por ejemplo, si buscamos

$$\frac{2}{3}<\frac{a}{45}<\frac{4}{5},$$

multiplicamos por $45$:

$$30<a<36.$$

Los numeradores posibles son $31,32,33,34,35$. De ellos, solo interesan los que sean PESI con $45$, es decir, los que no sean múltiplos de $3$ ni de $5$:

$$31,\ 32,\ 34.$$

Hay $3$ fracciones.

7.3 Suma de dos fracciones irreducibles que da un entero

Si $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son fracciones irreducibles y su suma es un entero positivo:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=k,\qquad k\in\mathbb{Z}^+,$$

entonces necesariamente

$$b=d.$$

Justificación:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=k$$

implica

$$ad+bc=kbd.$$

Despejando:

$$ad=b(kd-c).$$

Entonces $b\mid ad$. Como $\operatorname{MCD}(a,b)=1$, se concluye que $b\mid d$. De manera análoga se prueba que $d\mid b$. Por lo tanto:

$$b=d.$$

Esta propiedad simplifica mucho algunos problemas.

7.4 Adición simultánea a ambos términos

Si el valor de una fracción no cambia al añadir $x$ al numerador e $y$ al denominador:

$$\frac{a}{b} = \frac{a+x}{b+y},$$

entonces

$$\frac{a}{b} = \frac{x}{y}.$$

Justificación:

$$a(b+y)=b(a+x)$$

$$ab+ay=ab+bx$$

$$ay=bx$$

$$\frac{a}{b}=\frac{x}{y}.$$

Esta propiedad permite hallar rápidamente la fracción simplificada.

7.5 Comparación de fracciones

Para comparar dos fracciones positivas $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$, basta multiplicar en aspa:

$$\frac{a}{b}<\frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad a d<b c.$$

Ejemplo:

$$\frac{3}{7}\quad\text{y}\quad\frac{5}{11}.$$

Comparando:

$$3\cdot 11=33,\qquad 7\cdot 5=35.$$

Como $33<35$, entonces

$$\frac{3}{7}<\frac{5}{11}.$$

7.6 MCD y MCM de fracciones

Dadas fracciones irreducibles

$$\frac{a}{b},\quad \frac{c}{d},\quad \frac{m}{n},$$

se cumple:

$$\operatorname{MCD} \left(\frac{a}{b},\frac{c}{d},\frac{m}{n}\right) = \frac{\operatorname{MCD}(a,c,m)} {\operatorname{MCM}(b,d,n)}$$

y

$$\operatorname{MCM} \left(\frac{a}{b},\frac{c}{d},\frac{m}{n}\right) = \frac{\operatorname{MCM}(a,c,m)} {\operatorname{MCD}(b,d,n)}.$$

Ejemplo:

$$\operatorname{MCD}\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right) = \frac{\operatorname{MCD}(4,2)}{\operatorname{MCM}(5,3)} = \frac{2}{15}.$$

$$\operatorname{MCM}\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right) = \frac{\operatorname{MCM}(4,2)}{\operatorname{MCD}(5,3)} = \frac{4}{1} = 4.$$

Esta propiedad se usa menos frecuentemente en San Marcos, pero forma parte del manejo formal de fracciones.

7.7 Densidad de los números racionales

Entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional. El más sencillo es el promedio:

$$\frac{a}{b}<\frac{c}{d} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{b} < \frac{ad+bc}{2bd} < \frac{c}{d}.$$

Por eso se dice que $\mathbb{Q}$ es denso.