Análisis combinatorio II. Probabilidades I

1.1 Idea intuitiva y definición

Supón que de cuatro estudiantes $\{A, B, C, D\}$ se van a elegir dos para representar al aula. Las selecciones $AB$ y $BA$ son la misma, porque se trata de las mismas dos personas. Si usáramos permutaciones, contaríamos $4!/(4-2)! = 12$ ordenamientos. Pero como cada pareja aparece dos veces, la cantidad real de selecciones es $$\frac{12}{2} = 6.$$

Una combinación de $n$ elementos tomados de $r$ en $r$ es todo subconjunto de $r$ elementos elegidos de un total de $n$, sin importar el orden. Se denota por $$C^n_r,\qquad C(n,r),\qquad \binom{n}{r}.$$

La fórmula es: $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}.$$

La justificación es directa: para formar una permutación de $r$ elementos tomados de $n$, primero se elige un subconjunto de $r$ elementos y luego se ordena. Como ordenar $r$ elementos puede hacerse de $r!$ formas, se cumple: $$P^n_r = \binom{n}{r}\cdot r!,$$ de donde $$\binom{n}{r} = \frac{P^n_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}.$$

Ejemplo 1. ¿Cuántos grupos de 3 personas se pueden formar con 7 personas?

Como el orden no interesa: $$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1} = 35.$$

1.2 Propiedades básicas de las combinaciones

• $\binom{n}{0} = 1$: solo hay una forma de no elegir ningún elemento.
• $\binom{n}{n} = 1$: solo hay una forma de elegir todos.
• $\binom{n}{1} = n$: hay tantas maneras de elegir uno como elementos hay.
• $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$: elegir $r$ elementos equivale a elegir los $n-r$ que no formarán parte de la selección.

Por ejemplo, $$\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45.$$

1.3 Cómo resolver problemas de combinaciones

Sigue estos pasos:

1. Define cuántos elementos hay en total y cuántos se van a seleccionar.
2. Pregunta: ¿importa el orden? Si al cambiar el orden se obtiene otra posibilidad, usa permutación; si no, usa combinación.
3. Si hay varias categorías independientes, calcula las combinaciones por separado y multiplica.
4. Si aparecen condiciones como “por lo menos” o “a lo más”, separa en casos o usa el complemento.

Ejemplo 2. De 5 médicos y 10 enfermeras se debe formar un equipo de 10 personas con al menos 3 médicos.

Los casos posibles son:

• 3 médicos y 7 enfermeras,
• 4 médicos y 6 enfermeras,
• 5 médicos y 5 enfermeras.

Cada caso se calcula con combinaciones y los resultados se suman, porque son situaciones disjuntas.

1.4 Combinaciones con categorías disjuntas

Cuando los elementos se clasifican en categorías que no se superponen, el conteo es directo: se elige la cantidad pedida de cada categoría y se multiplican las combinaciones.

Ejemplo 3. En una florería hay 5 rosas rojas, 4 rosas blancas, 3 tulipanes y 6 margaritas. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 2 rosas rojas, 1 rosa blanca, 2 tulipanes y 3 margaritas?

Solución: $$\binom{5}{2}\binom{4}{1}\binom{3}{2}\binom{6}{3}.$$ Cada elección es independiente, por eso se multiplican.

2.1 Experimento aleatorio, espacio muestral y evento

Un experimento aleatorio es toda prueba o ensayo que, al repetirse en las mismas condiciones, no permite predecir el resultado con certeza; el resultado depende del azar. Ejemplos: lanzar un dado, lanzar dos monedas, extraer una bola de una urna.

El espacio muestral, denotado por $\Omega$, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Para el lanzamiento de un dado normal: $$\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}.$$ Para el lanzamiento de dos monedas y observando cara $C$ o sello $S$: $$\Omega = \{CC; CS; SC; SS\}.$$

Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se denota con letras mayúsculas. Por ejemplo, si se lanza un dado y definimos: $$A: \text{se obtiene un número par},$$ entonces $$A = \{2; 4; 6\}.$$ El número de elementos de un evento se denota $n(A)$. En este caso, $n(A) = 3$.

2.2 Eventos particulares

• Evento imposible: no tiene elementos. Por ejemplo, en un dado, obtener un puntaje mayor que 6. Es $\emptyset$.
• Evento seguro: contiene todo el espacio muestral. Por ejemplo, obtener un puntaje menor que 7 en un dado normal.
• Evento unitario o elemental: tiene exactamente un elemento. Por ejemplo, obtener el número primo par en un dado: $\{2\}$.

2.3 Operaciones con eventos

Como los eventos son conjuntos, se pueden operar.

Ejemplo 4. Se lanza un dado. Sea $$A = \{2;4;6\} \quad \text{(par)},$$ $$B = \{2;3;5\} \quad \text{(primo)}.$$ Entonces: $$A \cup B = \{2;3;4;5;6\},$$ $$A \cap B = \{2\},$$ $$A - B = \{4;6\},$$ $$A \triangle B = \{3;4;5;6\},$$ $$A^c = \{1;3;5\}.$$

2.4 Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, $$A \cap B = \emptyset.$$ Por ejemplo, al lanzar un dado, “obtener un número par” y “obtener 5” son mutuamente excluyentes.

Esta idea es clave para sumar probabilidades correctamente.

3.1 Regla de Laplace

Si un experimento aleatorio tiene un espacio muestral finito y todos los resultados posibles son igualmente probables, la probabilidad de un evento $A$ se define como $$P(A) = \frac{\text{número de casos favorables a } A}{\text{número de casos posibles}} = \frac{n(A)}{n(\Omega)}.$$ Esta es la definición clásica de probabilidad, también llamada regla de Laplace.

La condición de equiprobabilidad es esencial: todos los resultados elementales deben tener la misma oportunidad de ocurrir. Un dado normal, una moneda equilibrada o la extracción al azar de una bola entre bolas idénticas cumplen esta condición.

Ejemplo 5. Al lanzar un dado normal, si $A$ es “obtener un número par”: $$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

Ejemplo 6. Una bolsa contiene 4 bolas negras, 5 blancas y 6 rojas. El total de bolas es 15. La probabilidad de extraer una bola negra es $$P(\text{negra}) = \frac{4}{15}.$$

3.2 Propiedades de la probabilidad

De la definición clásica se desprenden estas propiedades.

• $0 \le P(A) \le 1$ para todo evento $A$.
• $P(\Omega) = 1$ y $P(\emptyset) = 0$.
• Probabilidad del complemento: $$P(A^c) = 1 - P(A).$$ Esta propiedad es muy útil en problemas con “al menos”, “a lo más” o “por lo menos”.
• Probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$ El término $P(A \cap B)$ se resta para no contar dos veces los casos comunes.
• Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes, entonces $$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$$

Ejemplo 7. En el lanzamiento de un dado, sean $A$ “par” y $B$ “primo”. Ya vimos que $A = \{2;4;6\}$, $B = \{2;3;5\}$ y $A \cap B = \{2\}$. Entonces $$P(A) = \frac{3}{6},\quad P(B) = \frac{3}{6},\quad P(A \cap B) = \frac{1}{6}.$$ Luego: $$P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}.$$

3.3 Probabilidad cuando los casos son individuos con frecuencias

A veces el espacio muestral es un grupo de personas o de objetos. Si cada individuo es un caso equiprobable, la probabilidad de un evento se obtiene como una frecuencia relativa: $$P(A) = \frac{\text{cantidad de individuos que cumplen } A}{\text{total de individuos}}.$$

Por ejemplo, si en un aula de 40 estudiantes 8 obtuvieron nota 13 y 6 obtuvieron nota 15, entonces elegir al azar un estudiante con nota 13 es más probable que elegir uno con nota 15, porque $$\frac{8}{40} > \frac{6}{40}.$$

4.1 Probabilidad con combinaciones

En muchos problemas, los casos posibles y favorables se cuentan con combinaciones. La regla de oro es usar el mismo criterio de conteo para ambos. Si no importa el orden, cuentas los favorables y los totales con combinaciones; si importa el orden, usas permutaciones. Lo importante es la consistencia.

Ejemplo 8. De un grupo de 7 hombres y 5 mujeres se elige al azar un comité de 6 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité incluya a lo más 2 mujeres?

El total de comités posibles es $\binom{12}{6}$. Los casos favorables son:

• 0 mujeres y 6 hombres: $\binom{7}{6}$,
• 1 mujer y 5 hombres: $\binom{5}{1}\binom{7}{5}$,
• 2 mujeres y 4 hombres: $\binom{5}{2}\binom{7}{4}$.

Se suman esos casos y se divide entre el total.

4.2 Probabilidad con permutaciones y bloques

Cuando los elementos se ordenan en fila y hay condiciones de agrupación, se cuentan los casos favorables usando bloques.

Ejemplo 9. Se tienen 2 libros de Aritmética, 2 de Álgebra y 2 de Física, todos de autores distintos. Se ordenan al azar en fila. ¿Cuál es la probabilidad de que los libros del mismo curso estén siempre juntos?

• Total de ordenamientos: $6!$, porque hay 6 libros distintos.
• Casos favorables: se forman 3 bloques, uno por curso. Los bloques se ordenan de $3!$ formas y dentro de cada bloque los dos libros se ordenan de $2!$ formas cada uno. $$\text{Favorables} = 3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!.$$
• Probabilidad: $$P = \frac{3!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!}{6!}.$$

4.3 Experimentos por etapas y probabilidad total

Muchos experimentos se realizan por etapas: primero se elige una urna, se lanza una moneda o se transfiere una bola, y después se hace una extracción. En estos casos, la probabilidad de un resultado final se obtiene sumando las probabilidades de los caminos que conducen a él. Cada camino se calcula multiplicando las probabilidades de sus pasos.

Si hay dos caminos que conducen al evento $A$ y son mutuamente excluyentes, se cumple: $$P(A) = P(\text{camino 1})\cdot P(A \text{ en el camino 1}) + P(\text{camino 2})\cdot P(A \text{ en el camino 2}).$$ El segundo factor de cada producto se calcula sobre el espacio muestral reducido que queda después de la primera etapa. Esta técnica se conoce como probabilidad total; se formalizará en Probabilidades II, pero su lógica ya se usa desde Probabilidades I.

Ejemplo 10. Una caja $U$ contiene 2 bolas blancas y 5 rojas; otra caja $V$ contiene 4 bolas blancas y 7 rojas. Se elige una caja al azar y luego se extrae una bola. La probabilidad de que la bola sea roja es: $$P(\text{roja}) = P(U)\cdot P(\text{roja en } U) + P(V)\cdot P(\text{roja en } V).$$ Como la caja se elige al azar, $P(U) = P(V) = 1/2$. Luego se calcula cada proporción dentro de su caja y se suman los productos.

Este mismo esquema se aplica cuando se transfiere una bola de una urna a otra: la primera etapa es el color de la bola transferida; la segunda etapa, la extracción final. La composición de la urna cambia, por lo que la probabilidad de la segunda etapa depende de lo que ocurrió en la primera.

4.4 Extracciones sin reposición

Cuando se extraen elementos uno por uno y no se reponen, el espacio muestral se reduce en cada paso. Para calcular la probabilidad de una secuencia completa, se multiplican las probabilidades de cada extracción.

Ejemplo 11. Entre 8 focos hay 2 defectuosos y 6 buenos. Se prueban dos focos uno por uno sin reponerlos. La probabilidad de que los dos primeros sean defectuosos es: $$P(\text{2 defectuosos}) = \frac{2}{8}\cdot \frac{1}{7}.$$ En el primer intento hay 2 defectuosos entre 8; en el segundo queda 1 defectuoso entre 7.

También se puede resolver con combinaciones: el total de formas de elegir 2 focos de 8 es $\binom{8}{2}$, y el caso favorable es elegir los 2 defectuosos de los 2 que hay, $\binom{2}{2} = 1$. Ambos métodos dan la misma probabilidad.