Magnitudes proporcionales I: magnitudes DP y magnitudes IP

Magnitud

Una magnitud es toda característica que se puede medir o contar y que puede variar.

Ejemplos de magnitudes:

Cantidad

Una cantidad es el valor particular que toma una magnitud en un momento determinado.

Por ejemplo, «8 horas» es una cantidad de la magnitud tiempo; «S/1200» es una cantidad de la magnitud costo.

En Aritmética trabajaremos con los valores numéricos de esas cantidades, porque lo que interesa es cómo varían unas respecto de otras.

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Idea intuitiva

Imagina que cada polo deportivo cuesta S/20. La relación entre el número de polos y el costo total es:

Observa lo siguiente:

• si la cantidad de polos se duplica de 1 a 2, el costo también se duplica de 20 a 40;
• si la cantidad se triplica de 2 a 6, el costo también se triplica de 40 a 120;
• si la cantidad se multiplica por $10$, el costo también se multiplica por $10$.

Es decir, ambas magnitudes cambian en la misma proporción.

Además, el cociente entre el costo y el número de polos es constante:

$$\frac{20}{1}=\frac{40}{2}=\frac{60}{3}=\frac{120}{6}=20$$

Ese valor constante se llama constante de proporcionalidad.

Definición formal

Dos magnitudes $A$ y $B$ son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción.

Matemáticamente:

$$A \text{ DP } B \iff \frac{\text{valor de } A}{\text{valor de } B}=k$$

donde $k$ es una constante.

Si tomamos pares de valores correspondientes $a_1,b_1$, $a_2,b_2$, etc., se cumple:

$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}=\cdots=k$$

Consecuencia práctica

Si $A$ es DP a $B$, entonces:

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$$

Esto es muy útil para resolver problemas rápidamente.

Ejemplo rápido

Si 4 lapiceros cuestan S/10, ¿cuánto costarán 12 lapiceros?

Como el costo es DP a la cantidad de lapiceros, tenemos:

$$\frac{10}{4}=\frac{x}{12}$$

Entonces:

$$x=\frac{10\cdot 12}{4}=30$$

Por lo tanto, 12 lapiceros cuestan S/30.

Gráfica de una proporcionalidad directa

Si representamos en el plano cartesiano los valores correspondientes de dos magnitudes DP, los puntos quedan sobre una misma recta que pasa por el origen.

Por ejemplo, para la tabla de polos y costos:

Esa recta expresa que el costo es proporcional al número de polos. Mientras mayor es la constante $k$, más inclinada está la recta.

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Idea intuitiva

Supón que 12 carpinteros pueden fabricar cierta cantidad de mesas en 40 días. La relación entre el número de carpinteros y el número de días, para una misma obra, es:

Observa:

• si el número de carpinteros se duplica de 12 a 24, el número de días se reduce a la mitad de 40 a 20;
• si el número de carpinteros se cuadruplica de 3 a 12, el número de días se reduce a la cuarta parte: de 160 a 40.

Aquí, cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.

Además, el producto de cada par de valores es constante:

$$3\cdot 160=6\cdot 80=12\cdot 40=24\cdot 20=480$$

Ese producto constante es la constante de proporcionalidad inversa.

Definición formal

Dos magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra disminuye en la misma proporción, o viceversa.

Matemáticamente:

$$A \text{ IP } B \iff (\text{valor de } A)(\text{valor de } B)=k$$

Es decir:

$$a_1 b_1=a_2 b_2=a_3 b_3=\cdots=k$$

Consecuencia práctica

Si $A$ es IP a $B$, entonces:

$$a_1 b_1 = a_2 b_2$$

o también:

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_2}{b_1}$$

Observa que en la proporción los valores de $B$ quedan invertidos.

Relación entre DP e IP

Una propiedad muy importante es:

$$A \text{ IP } B \iff A \text{ DP } \frac{1}{B}$$

Es decir, ser inversamente proporcional a $B$ equivale a ser directamente proporcional al recíproco de $B$.

Esta idea se usará mucho en reparto inverso y en proporcionalidad compuesta.

Ejemplo rápido

Un grupo de obreros demora 30 días en terminar una obra. Si se duplica el número de obreros, ¿cuántos días demorarán?

Como el número de obreros es IP al tiempo:

$$N_1 T_1 = N_2 T_2$$

Si $N_2=2N_1$, entonces:

$$N_1\cdot 30 = 2N_1 \cdot T_2$$

$$T_2=15$$

Demorarán 15 días.

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En San Marcos no solo preguntan relaciones DP e IP simples, como $A$ DP $B$. También aparecen relaciones como:

• $A$ DP $B^2$
• $A$ IP $B^2$
• $A$ DP $\sqrt{B}$
• $A$ IP $\sqrt{B}$

El significado es el mismo, pero la constante se forma con la potencia o raíz indicada.

Caso $A$ DP $B^n$

$$A \text{ DP } B^n \iff \frac{A}{B^n}=k$$

Es decir:

$$\frac{a_1}{b_1^n}=\frac{a_2}{b_2^n}$$

Ejemplo

Si $A$ DP $B^2$, y cuando $A=45$, $B=6$, halla $A$ cuando $B=4$.

Planteamos:

$$\frac{45}{6^2}=\frac{A}{4^2}$$

$$\frac{45}{36}=\frac{A}{16}$$

$$A=20$$

Caso $A$ IP $B^n$

$$A \text{ IP } B^n \iff A\cdot B^n=k$$

Es decir:

$$a_1 b_1^n = a_2 b_2^n$$

Ejemplo

Si $A$ IP $B^2$, y cuando $A=8$, $B=6$, halla $A$ cuando $B=4$.

$$8\cdot 6^2 = A\cdot 4^2$$

$$8\cdot 36 = A\cdot 16$$

$$A=18$$

Este tipo de relaciones con cuadrados aparece en el IMC:

$$IMC=\frac{\text{peso}}{\text{estatura}^2}$$

Por eso se dice que el IMC es directamente proporcional al peso e inversamente proporcional al cuadrado de la estatura.

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Propiedad 1: Transitividad

Si $A$ DP $B$ y $B$ DP $C$, entonces:

$$A \text{ DP } C$$

Ejemplo

Si el costo de un producto es DP a la cantidad de insumos, y la cantidad de insumos es DP al número de máquinas, entonces el costo es DP al número de máquinas.

Propiedad 2: Inversa como directa al recíproco

Si:

$$A \text{ IP } B$$

entonces:

$$A \text{ DP } \frac{1}{B}$$

Esto permite transformar una relación inversa en una directa.

Propiedad 3: Combinación de dos relaciones directas

Si $A$ DP $B$ cuando $C$ es constante, y $A$ DP $C$ cuando $B$ es constante, entonces:

$$A \text{ DP } B\cdot C$$

Matemáticamente:

$$\frac{A}{B\cdot C}=k$$

Ejemplo

Si el costo de una obra es DP al número de obreros y también DP al número de días, entonces:

$$\frac{\text{costo}}{\text{obreros}\cdot \text{días}}=k$$

Propiedad 4: Combinación de dos relaciones inversas

Si $A$ IP $B$ cuando $C$ es constante, y $A$ IP $C$ cuando $B$ es constante, entonces:

$$A \text{ IP } B\cdot C$$

Matemáticamente:

$$A\cdot B\cdot C=k$$

Propiedad 5: Relación mixta

Si $A$ DP $B$ e $A$ IP $C$, entonces:

$$\frac{A\cdot C}{B}=k$$

O equivalentemente:

$$A \text{ DP } \frac{B}{C}$$

Esta es una de las combinaciones más preguntadas.

Ejemplo

Una producción $P$ es DP al número de máquinas $M$ e IP al número de años de uso $E$. Entonces:

$$\frac{P\cdot E}{M}=k$$

Si $P_1=100$, $M_1=8$, $E_1=9$, y luego $M_2=16$, $E_2=4$, se puede comparar:

$$\frac{100\cdot 9}{8}=\frac{P_2\cdot 4}{16}$$

De allí se obtiene $P_2$.

Caso general con exponentes

Si $A$ DP $B^m$ e IP $C^n$, entonces:

$$\frac{A\cdot C^n}{B^m}=k$$

Por lo tanto, para dos situaciones:

$$\frac{A_1\cdot C_1^n}{B_1^m} = \frac{A_2\cdot C_2^n}{B_2^m}$$

Relación clásica para obras

En problemas de obreros y obra, se usa mucho la relación:

$$\text{obra} = \text{obreros} \cdot \text{eficiencia} \cdot \text{horas diarias} \cdot \text{días}$$

Es decir:

$$O = N \cdot E \cdot H \cdot T$$

A partir de aquí, entre dos situaciones se cumple:

$$\frac{O_1}{O_2} = \frac{N_1 E_1 H_1 T_1}{N_2 E_2 H_2 T_2}$$

Esta fórmula resume varias relaciones DP: la obra es DP al número de obreros, a la eficiencia, a las horas diarias y al tiempo. La dificultad de una obra se puede interpretar como si la cantidad de trabajo aumentara: si una parte es el triple de difícil, equivale a multiplicar su obra por 3.

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Gráfica DP

Si $A$ DP $B$, la gráfica de $A$ en función de $B$ es una recta que pasa por el origen.

$$A=kB$$

La pendiente de esa recta es la constante $k$.

Lo importante aquí es que siempre pasa por el origen. Si una gráfica es una recta que no pasa por el origen, no se trata de una proporcionalidad directa pura, sino de una función lineal con término independiente.

Gráfica IP

Si $A$ IP $B$, la gráfica es una rama de hipérbola.

$$A=\frac{k}{B}$$

Los puntos cumplen $A\cdot B=k$.

En esta gráfica, si $B$ es muy pequeño, $A$ es muy grande, y si $B$ crece mucho, $A$ se aproxima a cero.

Cuidado con rectas que no pasan por el origen

Muchos estudiantes creen que toda relación lineal es proporcionalidad directa. No es lo mismo:

• $y=5x$ es DP directa: pasa por el origen.
• $y=5x+20$ no es DP directa; es una relación lineal con un valor fijo.

En los problemas de costo de alquiler, por ejemplo, suele aparecer esta segunda forma.

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Una función de proporcionalidad directa es una función de la forma:

$$f(x)=kx$$

donde $k$ es una constante distinta de cero.

Cómo calcularla

Si se sabe que $f(6)=30$, entonces:

$$30=k\cdot 6 \implies k=5$$

Por lo tanto:

$$f(x)=5x$$

Entonces:

$$f(10)=50,\quad f(9)=45$$

Propiedades útiles

Para una función de proporcionalidad directa:

$$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$$

$$f(mx)=m f(x)$$

Estas propiedades permiten resolver rápidamente ejercicios donde se pide calcular sumas de imágenes.

Función de proporcionalidad inversa

Una función de proporcionalidad inversa tiene la forma:

$$f(x)=\frac{k}{x}$$

Si $f(6)=30$, entonces:

$$30=\frac{k}{6}\implies k=180$$

$$f(x)=\frac{180}{x}$$

Así:

$$f(10)=18,\quad f(9)=20$$

También pueden aparecer variantes con potencias:

$$f(x)=kx^2$$

$$f(x)=\frac{k}{x^2}$$

En todos los casos, lo primero es hallar la constante $k$ usando un par de valores conocidos.

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El reparto proporcional es una aplicación directa de las magnitudes DP e IP. Consiste en dividir una cantidad en partes que guarden proporcionalidad con ciertos índices.

Reparto directo

Se reparte una cantidad $N$ en partes $P_1,P_2,\dots,P_n$ directamente proporcionales a los índices $a_1,a_2,\dots,a_n$.

Cada parte tiene la forma:

$$P_i=a_i k$$

Además:

$$P_1+P_2+\cdots+P_n=N$$

Entonces:

$$k=\frac{N}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$$

Ejemplo

Reparte S/720 en forma DP a 2, 3 y 4.

La suma de índices es:

$$2+3+4=9$$

$$k=\frac{720}{9}=80$$

Partes:

$$2k=160,\quad 3k=240,\quad 4k=320$$

Reparto inverso

Se reparte una cantidad $N$ en partes inversamente proporcionales a los índices $a_1,a_2,\dots,a_n$.

Como $P$ IP $a$, se cumple:

$$P_i\cdot a_i=k$$

Es decir:

$$P_i=\frac{k}{a_i}$$

Una forma práctica es convertir el reparto inverso en reparto directo usando los recíprocos:

$$P_i \text{ DP } \frac{1}{a_i}$$

Ejemplo

Reparte S/650 en forma IP a 2, 3 y 4.

Trabajamos con los recíprocos:

$$\frac{1}{2},\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{4}$$

Multiplicamos por el MCM de 2, 3 y 4, que es 12:

$$6,\quad 4,\quad 3$$

Ahora repartimos S/650 en forma DP a 6, 4 y 3.

La suma de índices equivalentes es:

$$6+4+3=13$$

$$k=\frac{650}{13}=50$$

Partes:

$$6k=300,\quad 4k=200,\quad 3k=150$$

Verifica que las partes originales son inversamente proporcionales a 2, 3 y 4:

$$300\cdot 2=600$$ $$200\cdot 3=600$$ $$150\cdot 4=600$$

Efectivamente, el producto es constante.

Reparto compuesto

Cuando una parte es DP a un índice $a$ e IP a un índice $b$, la parte es proporcional a:

$$\frac{a}{b}$$

Ejemplo

Reparte S/2600 entre tres personas en forma DP a sus horas trabajadas $6,8,9$ e IP a sus errores $1,2,3$.

Los índices equivalentes son:

$$\frac{6}{1}=6,\quad \frac{8}{2}=4,\quad \frac{9}{3}=3$$

Suma:

$$6+4+3=13$$

$$k=\frac{2600}{13}=200$$

Partes:

$$6k=1200$$

$$4k=800$$

$$3k=600$$

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En varios problemas de admisión, el costo total de un servicio no es simplemente proporcional al tiempo, sino que tiene una parte fija más una parte proporcional.

El modelo es:

$$C(t)=F+k\cdot t$$

donde:

• $C(t)$ es el costo total,
• $F$ es el costo fijo,
• $k$ es el costo por unidad de tiempo,
• $t$ es el tiempo.

¿Cómo se resuelve?

Si conocemos dos costos para dos tiempos distintos, podemos hallar $k$ usando la diferencia:

$$k=\frac{C_2-C_1}{t_2-t_1}$$

Luego, para hallar $F$, reemplazamos:

$$F=C_1-k\cdot t_1$$

Con eso podemos calcular el costo para cualquier otro tiempo.

Ejemplo breve

Si por 40 horas se paga S/1200 y por 60 horas se paga S/1500, entonces:

$$k=\frac{1500-1200}{60-40}=15$$

Luego:

$$F=1200-15\cdot 40=600$$

Por lo tanto, el costo por 120 horas es:

$$C=600+15\cdot 120=2400$$

Es muy importante no igualar cocientes como $\frac{1200}{40}$ y $\frac{1500}{60}$, porque aquí no hay proporcionalidad directa pura; existe un costo fijo.

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Para resolver un problema de magnitudes proporcionales, sigue este procedimiento:

1. Identifica las magnitudes que intervienen.

2. Determina la relación entre ellas: DP, IP o una combinación.

3. Escribe la ecuación de proporcionalidad:

   • Si $A$ DP $B$: $\frac{A}{B}=k$.
   • Si $A$ IP $B$: $A\cdot B=k$.
   • Si hay potencias o mezcla: inclúyelas.

4. Reemplaza los valores conocidos para hallar la constante.

5. Usa la constante para hallar el valor pedido.

Cuando la proporcionalidad es compuesta, conviene plantear la relación con todas las magnitudes en una sola expresión del tipo:

$$\frac{A_1 C_1^n}{B_1^m} = \frac{A_2 C_2^n}{B_2^m}$$

Esto es especialmente útil en problemas de obras, producción y eficiencia.

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