Sucesiones

Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números que siguen una regla de formación. A cada número de la sucesión se le llama término.

Por ejemplo:

$$5;\ 10;\ 15;\ 20;\ 25;\ \ldots$$

es la sucesión de los múltiplos positivos de 5.

A cada término se le asigna una posición:

$$a_1;\ a_2;\ a_3;\ a_4;\ \ldots;\ a_n$$

donde:

• $a_1$ es el primer término.
• $a_2$ es el segundo término.
• $a_n$ es el término enésimo, es decir, el que ocupa el lugar $n$.

Una sucesión puede ser finita o infinita.

Término enésimo o regla de formación

Si una sucesión tiene una fórmula para $a_n$, podemos hallar cualquier término.

Ejemplo. Si $a_n = 3n + 2$, entonces:

$$a_1 = 3(1)+2 = 5$$

$$a_2 = 3(2)+2 = 8$$

$$a_3 = 3(3)+2 = 11$$

La sucesión es:

$$5;\ 8;\ 11;\ 14;\ \ldots$$

El objetivo de este tema es aprender a encontrar esa fórmula $a_n$ para los tipos de sucesiones más importantes.

Definición y razón

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada razón.

Ejemplo.

$$43;\ 49;\ 55;\ 61;\ 67;\ \ldots$$

Cada término se obtiene sumando $6$ al anterior. La razón es:

$$r = 6$$

En general:

$$r = a_{n+1} - a_n$$

La razón puede ser positiva o negativa.

• Si $r > 0$, la progresión es creciente.
• Si $r < 0$, la progresión es decreciente.

Ejemplo de PA decreciente:

$$40;\ 37;\ 34;\ 31;\ 28;\ \ldots$$

Aquí:

$$r = 37 - 40 = -3$$

Cálculo del término enésimo de una PA

Considera una progresión aritmética de primer término $a_1$ y razón $r$:

$$a_1;\ a_2;\ a_3;\ a_4;\ \ldots;\ a_n$$

Observando cómo se forma cada término:

$$a_2 = a_1 + r$$

$$a_3 = a_1 + 2r$$

$$a_4 = a_1 + 3r$$

Se deduce:

$$\boxed{a_n = a_1 + (n-1)r}$$

Esta fórmula permite hallar el término que ocupa el lugar $n$.

Ejemplo. En la PA:

$$43;\ 49;\ 55;\ 61;\ \ldots$$

tenemos $a_1 = 43$ y $r = 6$. El término enésimo es:

$$a_n = 43 + (n-1)6$$

$$a_n = 43 + 6n - 6$$

$$a_n = 6n + 37$$

Así, el término de lugar 100 es:

$$a_{100} = 6(100) + 37 = 637$$

Fórmula en función del término anterior al primero

Muchas veces conviene trabajar con el número que estaría antes del primer término. Ese término se llama $a_0$ y se calcula restando una razón al primer término:

$$a_0 = a_1 - r$$

Entonces, el término enésimo también se puede escribir como:

$$\boxed{a_n = a_0 + nr}$$

Ejemplo. En la PA:

$$43;\ 49;\ 55;\ 61;\ \ldots$$

la razón es $6$, así que:

$$a_0 = 43 - 6 = 37$$

Por lo tanto:

$$a_n = 37 + 6n$$

que es equivalente a $a_n = 6n + 37$.

Número de términos de una PA

Si una PA finita va desde $a_1$ hasta $a_n$ con razón $r$, el número de términos es:

$$\boxed{n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1}$$

También puedes usar el término anterior al primero:

$$n = \frac{a_n - a_0}{r}$$

Ejemplo. ¿Cuántos términos tiene la PA?

$$18;\ 25;\ 32;\ \ldots;\ 200$$

Aquí:

$$a_1 = 18,\quad a_n = 200,\quad r = 7$$

Entonces:

$$n = \frac{200 - 18}{7} + 1$$

$$n = \frac{182}{7} + 1 = 26 + 1 = 27$$

La progresión tiene 27 términos.

Suma de términos de una PA

La suma de los $n$ primeros términos de una PA se calcula con:

$$\boxed{S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}}$$

Esta fórmula se justifica con la idea de Gauss: si escribes la suma de izquierda a derecha y luego de derecha a izquierda, cada pareja de términos equidistantes suma lo mismo.

También se puede expresar así:

$$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$$

Ejemplo. Calculemos la suma de los primeros 20 términos de:

$$43;\ 49;\ 55;\ 61;\ \ldots$$

Primero hallamos $a_{20}$:

$$a_{20} = 43 + 19(6) = 157$$

Luego:

$$S_{20} = \frac{20(43 + 157)}{2}$$

$$S_{20} = 10(200) = 2000$$

Propiedades de la PA

Conviene dominar estas propiedades porque permiten resolver problemas con menos operaciones.

1. Suma de términos equidistantes

En una PA, los términos equidistantes de los extremos suman lo mismo:

$$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \cdots$$

Ejemplo. En una PA de 20 términos:

$$a_1 + a_{20} = a_2 + a_{19} = a_3 + a_{18} = \cdots$$

2. Propiedad general

Si los lugares suman igual, los términos correspondientes suman igual:

$$\text{Si } p + q = m + n,\ \text{entonces } a_p + a_q = a_m + a_n$$

Ejemplo.

$$a_3 + a_{10} = a_1 + a_{12}$$

porque $3+10=1+12$.

3. Término central

Si una PA tiene un número impar de términos, existe un término central:

$$a_c = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

Además:

$$S_n = n \cdot a_c$$

Ejemplo. Si una PA de 15 términos tiene suma $1905$, entonces:

$$15 \cdot a_c = 1905$$

$$a_c = 127$$

Pero $a_c = \frac{a_1 + a_{15}}{2}$, por lo que:

$$a_1 + a_{15} = 254$$

4. Diferencia entre dos términos

Si se conocen dos términos de una PA y sus posiciones, se puede calcular la razón:

$$a_m - a_k = (m - k)r$$

Despejando:

$$r = \frac{a_m - a_k}{m-k}$$

Esta propiedad es muy útil cuando no se conoce el primer término.

Ejemplo. Si en una PA $a_5 = 29$ y $a_{12} = 57$, entonces:

$$57 - 29 = (12 - 5)r$$

$$28 = 7r$$

$$r = 4$$

Luego, para hallar $a_1$:

$$a_5 = a_1 + 4r$$

$$29 = a_1 + 16$$

$$a_1 = 13$$

Interpolación aritmética

Interpolar medios aritméticos entre dos números significa formar una PA cuyo primer término es el primer número y cuyo último término es el segundo número.

Si entre $a$ y $b$ se intercalan $m$ medios aritméticos, la progresión tendrá $m+2$ términos. La razón se calcula con:

$$\boxed{r = \frac{b - a}{m + 1}}$$

Ejemplo. Interpolar 5 medios aritméticos entre 10 y 46.

Aquí:

$$a = 10,\quad b = 46,\quad m = 5$$

$$r = \frac{46 - 10}{5 + 1} = \frac{36}{6} = 6$$

La PA es:

$$10;\ 16;\ 22;\ 28;\ 34;\ 40;\ 46$$

Los medios aritméticos son:

$$16;\ 22;\ 28;\ 34;\ 40$$

Este procedimiento es muy útil para repartir diferencias de manera uniforme.

Cuando dos PA tienen términos en común, esos términos comunes también forman una PA.

Para hallarlos:

1. Identifica el primer término común.
2. La razón de la nueva PA es el mínimo común múltiplo (MCM) de las razones originales.

Ejemplo. Consideremos:

$$A:\ 5;\ 7;\ 9;\ 11;\ 13;\ \ldots$$

con razón $2$, y:

$$B:\ 2;\ 5;\ 8;\ 11;\ 14;\ \ldots$$

con razón $3$.

El primer término común es $5$. El MCM de $2$ y $3$ es $6$. Por lo tanto, los términos comunes son:

$$5;\ 11;\ 17;\ 23;\ \ldots$$

Las sumas notables son fórmulas que permiten sumar rápidamente sucesiones cuyo patrón es conocido. En los exámenes de San Marcos funcionan como herramienta para resolver problemas más largos.

1. Suma de los $n$ primeros números naturales

$$\boxed{1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}}$$

Ejemplo.

$$1 + 2 + 3 + \cdots + 80 = \frac{80(81)}{2} = 3240$$

2. Suma de los $n$ primeros números pares

$$\boxed{2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n+1)}$$

Para aplicar esta fórmula, iguala el último término a $2n$.

Ejemplo. Calcular:

$$2 + 4 + 6 + \cdots + 30$$

Igualamos $2n = 30$, entonces $n=15$.

$$2 + 4 + 6 + \cdots + 30 = 15(16) = 240$$

3. Suma de los $n$ primeros números impares

$$\boxed{1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2}$$

Ejemplo. Calcular:

$$1 + 3 + 5 + \cdots + 49$$

Igualamos $2n-1 = 49$, entonces $n=25$.

$$1 + 3 + 5 + \cdots + 49 = 25^2 = 625$$

4. Suma de los $n$ primeros cuadrados perfectos

$$\boxed{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$

Ejemplo. Calcular:

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 20^2$$

$$= \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$$

5. Suma de los $n$ primeros cubos perfectos

$$\boxed{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}$$

Ejemplo. Calcular:

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + 10^3$$

$$= \left(\frac{10(11)}{2}\right)^2 = 55^2 = 3025$$

6. Suma de productos de dos números consecutivos

$$\boxed{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$$

Ejemplo. Calcular:

$$2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 110$$

Observa que:

$$2 = 1\cdot 2,\quad 6 = 2\cdot 3,\quad 12 = 3\cdot 4,\ \ldots,\quad 110 = 10\cdot 11$$

Entonces:

$$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \cdots + 10\cdot 11 = \frac{10(11)(12)}{3} = 440$$

7. Suma de inversas de productos consecutivos

$$\boxed{\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}}$$

Esto se debe a que:

$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$

Al sumar, casi todos los términos se cancelan.

Ejemplo.

$$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{10\cdot 11} = \frac{10}{11}$$

8. Suma de potencias consecutivas de un número

$$\boxed{a^0 + a^1 + a^2 + \cdots + a^n = \frac{a^{n+1} - 1}{a-1}}$$

donde $a \neq 1$.

Ejemplo.

$$1 + 2 + 4 + \cdots + 2^9 = \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1024 - 1 = 1023$$

No todas las sucesiones importantes son aritméticas. Observa esta:

$$3;\ 8;\ 15;\ 24;\ 35;\ \ldots$$

Las diferencias entre términos consecutivos son:

$$5;\ 7;\ 9;\ 11;\ \ldots$$

Esas diferencias no son constantes, pero forman una PA. Cuando ocurre esto, decimos que la sucesión original es de segundo orden o cuadrática.

Característica

En una sucesión cuadrática, las diferencias de primer orden forman una PA y las diferencias de segundo orden son constantes.

Ejemplo.

$$3;\ 8;\ 15;\ 24;\ 35;\ \ldots$$

Primeras diferencias:

$$5;\ 7;\ 9;\ 11;\ \ldots$$

Segundas diferencias:

$$2;\ 2;\ 2;\ \ldots$$

Término enésimo de una sucesión cuadrática

El término enésimo tiene la forma:

$$\boxed{a_n = A n^2 + B n + C}$$

Para hallar $A$, $B$ y $C$, se usa el siguiente procedimiento:

1. Calcula la segunda diferencia constante $r_2$.
2. Calcula $d_0$, la primera diferencia anterior a la primera diferencia visible.
3. Calcula $a_0$, el término anterior al primer término.
4. Usa:

$$2A = r_2$$

$$A + B = d_0$$

$$C = a_0$$

Veámoslo con la sucesión:

$$3;\ 8;\ 15;\ 24;\ 35;\ \ldots$$

Primeras diferencias:

$$d_1 = 8 - 3 = 5$$

$$d_2 = 15 - 8 = 7$$

$$d_3 = 24 - 15 = 9$$

Segunda diferencia:

$$r_2 = 2$$

Entonces:

$$d_0 = d_1 - r_2 = 5 - 2 = 3$$

$$a_0 = a_1 - d_0 = 3 - 3 = 0$$

Luego:

$$2A = 2 \Rightarrow A = 1$$

$$A + B = 3 \Rightarrow 1 + B = 3 \Rightarrow B = 2$$

$$C = a_0 = 0$$

Por lo tanto:

$$a_n = n^2 + 2n$$

Comprobemos:

• Para $n=1$: $1^2+2(1)=3$
• Para $n=2$: $2^2+2(2)=8$
• Para $n=3$: $3^2+2(3)=15$

Coincide.

Suma de términos de una sucesión cuadrática

Si ya se conoce:

$$a_n = A n^2 + B n + C$$

entonces la suma de los $n$ primeros términos es:

$$\boxed{S_n = A \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + B \cdot \frac{n(n+1)}{2} + C n}$$

Esta fórmula se obtiene separando la suma y usando las sumas notables de cuadrados y naturales.

Ejemplo. Sumar los 10 primeros términos de:

$$3;\ 8;\ 15;\ 24;\ 35;\ \ldots$$

Ya sabemos que:

$$a_n = n^2 + 2n$$

Entonces:

$$S_{10} = \frac{10(11)(21)}{6} + 2 \cdot \frac{10(11)}{2}$$

$$S_{10} = 385 + 110 = 495$$

Además de la PA, en los exámenes aparece la progresión geométrica, sobre todo en problemas de crecimiento por multiplicación.

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una constante llamada razón geométrica $q$.

Ejemplo.

$$200;\ 800;\ 3200;\ \ldots$$

Aquí:

$$q = \frac{800}{200} = 4$$

Término enésimo

$$\boxed{a_n = a_1 q^{n-1}}$$

Ejemplo. En $200;\ 800;\ 3200;\ \ldots$, el quinto término es:

$$a_5 = 200 \cdot 4^{4} = 200 \cdot 256 = 51\,200$$

Suma de los $n$ primeros términos

$$\boxed{S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}}$$

para $q \neq 1$.

Ejemplo. Sumar los 4 primeros términos de $200;\ 800;\ 3200;\ \ldots$:

$$S_4 = 200 \cdot \frac{4^4 - 1}{4 - 1}$$

$$S_4 = 200 \cdot \frac{255}{3} = 17\,000$$

Algunas preguntas presentan una sucesión que parece irregular, pero en realidad está formada por dos o más sucesiones mezcladas.

Ejemplo.

$$2;\ 3;\ 14;\ 11;\ 34;\ 27;\ 62;\ 51;\ \ldots$$

Si tomamos los términos de posiciones impares:

$$2;\ 14;\ 34;\ 62;\ \ldots$$

y los de posiciones pares:

$$3;\ 11;\ 27;\ 51;\ \ldots$$

cada una tiene su propia regla de formación.

La estrategia para resolver este tipo de problemas es:

1. Separar la sucesión en dos partes según la posición.
2. Hallar el término enésimo de cada una.
3. Elegir la que corresponde al lugar pedido.

Un uso clásico de las sucesiones y las sumas es contar cuántas cifras se usan al escribir todos los números desde $1$ hasta $N$.

Si $N$ tiene $k$ cifras, entonces:

$$\boxed{\text{Número de cifras} = (N+1)k - \underbrace{111\cdots 1}_{k\text{ cifras}}}$$

Ejemplo. ¿Cuántas cifras se usan al escribir del $1$ al $700$?

Aquí $N = 700$ y $k = 3$.

$$C = (700 + 1)(3) - 111$$

$$C = 701 \cdot 3 - 111$$

$$C = 2103 - 111 = 1992$$

Esta fórmula mezcla la idea de orden de una sucesión natural con el sistema de numeración que viste en el tema anterior.