Números racionales III: números avales, clasificación, descomposición polinómica, fracción generatriz y cambio de base

Un número aval es la expresión que resulta al dividir los términos de una fracción en una cierta base $n$.

Está formado por:

• una parte entera;
• una coma aval;
• una parte aval, formada por cifras a la derecha de la coma.

Cuando la base es 10, la parte aval se llama parte decimal.

Ejemplos

En base 10:

$$\frac{23}{8}=2{,}875$$

En base 8:

$$\frac{35_{(8)}}{20_{(8)}}=1{,}64_{(8)}$$

En base 5:

$$\frac{13_{(5)}}{10_{(5)}}=1{,}3_{(5)}$$

No debes confundir la representación: $1{,}64_{(8)}$ no significa “uno con sesenta y cuatro”, sino que está en base 8. Su valor real no es $1{,}64$ decimal, sino:

$$1{,}64_{(8)}=1+\frac{6}{8}+\frac{4}{64}=1+0{,}75+0{,}0625=1{,}8125.$$

Por eso, al trabajar en bases distintas de 10 decimos aval en lugar de decimal.

---

Todo número racional, al dividirse en una base $n$, produce uno de estos tres tipos de aval:

1. Aval exacto
2. Aval inexacto periódico puro
3. Aval inexacto periódico mixto

La clave para saber de qué tipo será sin dividir está en el denominador de la fracción irreductible y en los factores primos de la base.

2.1 Aval exacto

Se origina de una fracción irreductible cuyo denominador, en su descomposición canónica, contiene únicamente factores primos de la base.

En base 10, los factores primos de la base son $2$ y $5$.

Ejemplos base 10

$$\frac{7}{20}=\frac{7}{2^2\cdot 5}$$

El denominador solo tiene factores $2$ y $5$, por lo tanto genera un decimal exacto:

$$\frac{7}{20}=0{,}35$$

Otro:

$$\frac{21}{64}=\frac{21}{2^6}=0{,}328125$$

Ejemplo en base 6

En base 6, los factores primos de la base son $2$ y $3$.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{2^2}$$

El denominador solo tiene factor $2$, que es factor de 6, por lo tanto genera un hexaval exacto:

$$\frac{3}{4}=0{,}43_{(6)}$$

2.2 Aval inexacto periódico puro

Se origina de una fracción irreductible cuyo denominador no contiene ninguno de los factores primos de la base.

En base 10, no debe tener factores $2$ ni $5$.

Ejemplos base 10

$$\frac{5}{7}$$

El denominador es $7$, que no es divisible por $2$ ni por $5$. Por lo tanto, la división no termina y genera un decimal periódico puro:

$$\frac{5}{7}=0{,}\overline{714285}$$

Otro:

$$\frac{13}{63}=\frac{13}{3^2\cdot 7}$$

No hay factores $2$ ni $5$, así que genera un decimal periódico puro.

Ejemplo en base 6

En base 6, el denominador no debe tener factores $2$ ni $3$.

$$\frac{7}{25}=\frac{7}{5^2}$$

El denominador $25$ solo tiene factor $5$, ajeno a los factores de 6; por lo tanto, en base 6 genera un hexaval periódico puro.

2.3 Aval inexacto periódico mixto

Se origina de una fracción irreductible cuyo denominador contiene algunos factores primos de la base y también factores ajenos a la base.

En base 10, debe contener $2$ o $5$ y, además, otros factores.

Ejemplo base 10

$$\frac{5}{12}=\frac{5}{2^2\cdot 3}$$

El denominador tiene factor $2$, que es de la base, y factor $3$, que es ajeno a la base. Por lo tanto, genera un decimal periódico mixto:

$$\frac{5}{12}=0{,}41\overline{6}$$

Observa que la parte decimal tiene una parte no periódica, $41$, y luego una parte periódica, $6$.

Ejemplo en base 6

$$\frac{11}{15}=\frac{11}{3\cdot 5}$$

En base 6, el factor $3$ es de la base y el $5$ es ajeno, por lo tanto genera un hexaval periódico mixto.

Tabla de clasificación

⚠️ Regla de oro: antes de clasificar, verifica que la fracción sea irreductible. Por ejemplo, $$> \frac{15}{24}=\frac{5}{8} >$$ La fracción original parece no generar decimal exacto porque $24=2^3\cdot 3$, pero al simplificar su denominador es $8=2^3$, y sí es decimal exacto: $0{,}625$.

---

3.1 Aval exacto

Para un aval exacto en base 10, si la fracción irreductible tiene denominador

$$b=2^p\cdot 5^q,$$

la cantidad de cifras decimales es

$$\max\{p;q\}.$$

Ejemplo

$$\frac{7}{200}$$

Descomponemos:

$$200=2^3\cdot 5^2.$$

Entonces tiene

$$\max\{3;2\}=3$$

cifras decimales:

$$\frac{7}{200}=0{,}035.$$

En general, en base $n$, la cantidad de cifras exactas es el menor $k$ tal que el denominador divide a $n^k$.

3.2 Aval periódico puro

En base $n$, si la fracción es irreductible y el denominador $b$ no tiene factores de la base, la cantidad de cifras periódicas es el menor $k$ tal que

$$b \mid n^k-1.$$

En base 10, esto equivale a buscar el menor número formado solo por cifras $9$ que contenga al denominador.

Regla de nueves en base 10

Conviene recordar algunas descomposiciones:

$$\begin{aligned} 9&=3^2\\ 99&=3^2\cdot 11\\ 999&=3^3\cdot 37\\ 9999&=3^2\cdot 11\cdot 101\\ 99999&=3^2\cdot 41\cdot 271\\ 999999&=3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37 \end{aligned}$$

Ejemplo

¿Cuántas cifras periódicas genera

$$\frac{7}{27}$$

en base 10?

El denominador es $27$. Buscamos en qué número de nueves aparece $27$:

$$999=3^3\cdot 37$$

contiene a $3^3=27$. Como $999$ tiene 3 cifras, el período tendrá 3 cifras:

$$\frac{7}{27}=0{,}\overline{259}$$

Ejemplo con varios factores

Para

$$\frac{1}{111}$$

descomponemos:

$$111=3\cdot 37.$$

• $3$ aparece en $9$, de 1 cifra.
• $37$ aparece en $999$, de 3 cifras.

La cantidad de cifras periódicas es el MCM de los niveles:

$$\operatorname{MCM}(1;3)=3.$$

Por lo tanto,

$$\frac{1}{111}=0{,}\overline{009}$$

y su período tiene 3 cifras.

3.3 Aval periódico mixto

En base 10, si la fracción irreductible tiene denominador

$$b=2^p\cdot 5^q\cdot r,$$

donde $r$ no tiene factores $2$ ni $5$, entonces:

• cifras no periódicas: $\max\{p;q\}$;
• cifras periódicas: el menor $k$ tal que $r\mid 10^k-1$.

Ejemplo

$$\frac{33}{140}$$

Descomponemos:

$$140=2^2\cdot 5\cdot 7.$$

Entonces:

• cifras no periódicas: $\max\{2;1\}=2$;
• período: $7\mid 999999$, por lo tanto 6 cifras periódicas.

Efectivamente:

$$\frac{33}{140}=0{,}23\overline{571428}.$$

---

Un número aval en base $n$ también puede desarrollarse como una suma de potencias de $n$, con exponentes positivos para la parte entera y negativos para la parte aval.

Si tenemos

$$\overline{a_m\ldots a_1a_0, a_{-1}a_{-2}\ldots a_{-k}}_{(n)}$$

entonces su descomposición polinómica es:

$$a_m n^m+\cdots+a_1 n+a_0 + a_{-1}n^{-1}+a_{-2}n^{-2}+\cdots+a_{-k}n^{-k}.$$

Ejemplo en base 10

$$23{,}45 =2\cdot 10+3+4\cdot 10^{-1}+5\cdot 10^{-2}$$

$$23{,}45=20+3+\frac{4}{10}+\frac{5}{100}.$$

Ejemplo en base 4

$$23{,}4_{(5)} =2\cdot 5+3+\frac{4}{5} =13{,}8.$$

Ejemplo en base 2

$$10{,}11_{(2)} =1\cdot 2+0+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} =2{,}75.$$

La descomposición polinómica es fundamental para convertir un aval a base 10 o para hallar su fracción generatriz.

---

La fracción generatriz de un número aval es la fracción irreductible que lo origina.

Veremos las reglas para base $n$ y, en particular, para base 10.

5.1 Fracción generatriz de un aval exacto

En base $n$:

$$0{,}\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)}$$

pero sin período, es decir,

0{,}a_1a_2\ldots a_k_{(n)}

tiene como fracción generatriz:

0{,}a_1a_2\ldots a_k_{(n)} = \frac{\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)}}{n^k}

El denominador es la unidad seguida de $k$ ceros en base $n$.

Ejemplos

En base 10:

$$0{,}43=\frac{43}{100}$$

$$2{,}137=\frac{2137}{1000}$$

En base 8:

$$0{,}67_{(8)} = \frac{67_{(8)}}{100_{(8)}} = \frac{55}{64}.$$

¿Por qué? Porque $67_{(8)}=55$ y $100_{(8)}=64$.

En base 4:

$$1{,}231_{(4)} = \frac{1231_{(4)}}{1000_{(4)}} = \frac{109}{64}.$$

5.2 Fracción generatriz de un aval periódico puro

En base $n$, si

$$0{,}\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)}$$

tiene $k$ cifras periódicas, entonces:

$$0{,}\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)} = \frac{\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)}}{n^k-1}.$$

El denominador es un numeral formado por $k$ cifras máximas de la base $n$, es decir, todas iguales a $n-1$.

Ejemplos

En base 10:

$$0{,}\overline{36}=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$$

$$0{,}\overline{128}=\frac{128}{999}$$

Con parte entera:

$$2{,}\overline{4} = \frac{24-2}{9} = \frac{22}{9}.$$

En base 3:

$$0{,}\overline{12}_{(3)} = \frac{12_{(3)}}{22_{(3)}} = \frac{5}{8}.$$

Verifiquemos: $12_{(3)}=1\cdot 3+2=5$, y $22_{(3)}=2\cdot 3+2=8$.

En base 5:

$$1{,}\overline{43}_{(5)} = \frac{143_{(5)}-1}{44_{(5)}} = \frac{48-1}{24} = \frac{47}{24}.$$

5.3 Fracción generatriz de un aval periódico mixto

En base $n$, si tenemos

$$0{,}a_1a_2\ldots a_k\,\overline{b_1b_2\ldots b_m}_{(n)}$$

donde:

• $k$ cifras no periódicas: $a_1a_2\ldots a_k$;
• $m$ cifras periódicas: $b_1b_2\ldots b_m$,

entonces la fracción generatriz es:

$$\frac{ \overline{a_1a_2\ldots a_k b_1b_2\ldots b_m}_{(n)} - \overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)} } {n^k(n^m-1)}.$$

Equivalentemente, el denominador es un numeral formado por:

• $m$ cifras máximas de la base, seguidas de
• $k$ ceros.

Ejemplo en base 10

$$0{,}2\overline{13}$$

Aquí:

• cifra no periódica: $2$;
• período: $13$.

Aplicamos la regla:

$$0{,}2\overline{13} = \frac{213-2}{990} = \frac{211}{990}.$$

Ejemplo en base 6

$$0{,}1\overline{35}_{(6)}$$

Tiene una cifra no periódica y dos periódicas.

$$0{,}1\overline{35}_{(6)} = \frac{135_{(6)}-1}{550_{(6)}}$$

Calculamos:

$$135_{(6)}=1\cdot 36+3\cdot 6+5=59$$

$$550_{(6)}=5\cdot 36+5\cdot 6+0=210$$

Entonces:

$$0{,}1\overline{35}_{(6)} = \frac{59-1}{210} = \frac{58}{210} = \frac{29}{105}.$$

5.4 Regla práctica en base 10

Para decimales:

• Exacto: se escribe el número sin coma y se divide entre $10^{k}$.
• Periódico puro: se escribe el número sin coma menos la parte entera, sobre tantos nueves como cifras periódicas.
• Periódico mixto: se escribe todo hasta completar un período, menos la parte no periódica, sobre tantos nueves como cifras periódicas seguidos de tantos ceros como cifras no periódicas.

---

El cambio de base para un número aval se trabaja en dos partes: la parte entera y la parte aval.

6.1 De base $n$ a base 10

Usamos la descomposición polinómica o directamente la fracción generatriz.

Ejemplo

Convertir $12{,}34_{(6)}$ a base 10.

$$12{,}34_{(6)} = 1\cdot 6+2+\frac{3}{6}+\frac{4}{36}$$

$$=8+\frac{18}{36}+\frac{4}{36} =8+\frac{22}{36} =8+\frac{11}{18} =\frac{155}{18}$$

En decimal:

$$\frac{11}{18}=0{,}\overline{6}$$

por lo tanto:

$$12{,}34_{(6)}=8{,}6\overline{6}$$

6.2 De base 10 a base $n$

La parte entera se convierte por divisiones sucesivas.

La parte aval se convierte por multiplicaciones sucesivas por la base, tomando la parte entera de cada producto.

Ejemplo

Convertir $0{,}625$ a base 4.

$$0{,}625\cdot 4=2{,}5$$

La parte entera es $2$, y queda $0{,}5$.

$$0{,}5\cdot 4=2{,}0$$

La parte entera es $2$, y queda $0{,}0$.

Por lo tanto:

$$0{,}625=0{,}22_{(4)}.$$

Verificamos:

$$0{,}22_{(4)} = \frac{2}{4}+\frac{2}{16} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} = 0{,}625.$$

6.3 Conversión entre bases no decimales

El método general más sencillo es:

1. Convertir el número aval de su base original a base 10.
2. Luego convertir de base 10 a la base deseada.

Ejemplo

Convertir $0{,}22_{(4)}$ a base 6.

Primero lo pasamos a base 10:

$$0{,}22_{(4)}=0{,}625.$$

Luego pasamos $0{,}625$ a base 6:

$$0{,}625\cdot 6=3{,}75 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }3,\ \text{queda }0{,}75$$

$$0{,}75\cdot 6=4{,}5 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }4,\ \text{queda }0{,}5$$

$$0{,}5\cdot 6=3{,}0 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }3,\ \text{queda }0$$

Por lo tanto:

$$0{,}22_{(4)}=0{,}343_{(6)}.$$

---

Un tipo de pregunta muy frecuente en admisión UNMSM es:

¿Cuántas fracciones propias e irreducibles tienen denominador $D$?

Recuerda que una fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que su denominador. Si fijamos el denominador $D$, los posibles numeradores son:

$$1,2,3,\ldots,D-1.$$

Para que la fracción sea irreductible, el numerador debe ser PESI con $D$.

La cantidad de números menores que $D$ y PESI con $D$ se denota $\varphi(D)$, la función indicatriz de Euler.

Fórmula

Si

$$D=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$$

entonces

$$\varphi(D) = D\left(1-\frac{1}{p_1}\right) \left(1-\frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$

Ejemplo

¿Cuántas fracciones propias e irreducibles tienen denominador $450$?

Descomponemos:

$$450=2\cdot 3^2\cdot 5^2.$$

Entonces:

$$\varphi(450) = 450\left(1-\frac12\right) \left(1-\frac13\right) \left(1-\frac15\right)$$

$$=450\cdot \frac12\cdot \frac23\cdot \frac45 =120.$$

Hay $120$ fracciones propias e irreducibles con denominador $450$.

Ejemplo con numerador fijo

¿Cuántas fracciones impropias e irreducibles de numerador $640$ existen?

Para que $\frac{640}{d}$ sea impropia e irreductible, debe cumplirse $d<640$ y $\operatorname{MCD}(d,640)=1$.

$$640=2^7\cdot 5$$

$$\varphi(640) = 640\left(1-\frac12\right) \left(1-\frac15\right) = 640\cdot \frac12\cdot \frac45 = 256.$$

Hay $256$ fracciones.

---

8.1 Fracción de una cantidad y restos sucesivos

Cuando se dice “gasta $\frac{a}{b}$ de su dinero”, se multiplica la cantidad inicial por $\frac{a}{b}$. Lo que queda se obtiene multiplicando por

$$1-\frac{a}{b}.$$

Si hay varios gastos sucesivos sobre restos, se multiplican las fracciones de lo que va quedando.

Método

Si se gasta primero $\frac{a}{b}$, queda:

$$\left(1-\frac{a}{b}\right)D.$$

Si luego se gasta $\frac{c}{d}$ del nuevo resto, queda:

$$\left(1-\frac{c}{d}\right) \left(1-\frac{a}{b}\right)D.$$

Este procedimiento continúa en cadena.

8.2 Problemas de grifos y depósitos

Un caño que llena un depósito en $a$ horas tiene una velocidad de llenado de

$$\frac{1}{a}$$

del depósito por hora.

Un desagüe que vacía el depósito en $b$ horas tiene una velocidad de vaciado de

$$\frac{1}{b}$$

del depósito por hora.

Si ambos actúan simultáneamente, la velocidad neta es:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$$

cuando uno llena y el otro vacía.

Ejemplo

Un caño llena un tanque en $8$ horas y un desagüe lo vacía en $12$ horas. Estando vacío, se abren ambos. ¿Qué fracción del tanque se habrá llenado en 3 horas?

Velocidad neta:

$$\frac18-\frac1{12} = \frac{3}{24}-\frac{2}{24} = \frac{1}{24}$$

del tanque por hora.

En 3 horas:

$$3\cdot \frac1{24}=\frac18.$$

Se habrá llenado $\frac18$ del tanque.

8.3 Comparación de velocidades

Si alguien recorre una fracción de una pista en un tiempo dado, su tiempo para completar una vuelta se calcula dividiendo el tiempo entre dicha fracción.

Ejemplo

Rosa recorre $3/7$ de la pista en $1{,}5$ minutos. Su tiempo por vuelta es:

$$1{,}5\div \frac37 = 1{,}5\cdot \frac73 = 3{,}5$$

minutos.

De esta forma se comparan tiempos y se determina el orden de llegada.

8.4 MCD y MCM de fracciones

Para fracciones irreductibles:

$$\operatorname{MCD} \left( \frac ab;\frac cd;\frac ef \right) = \frac{ \operatorname{MCD}(a;c;e) }{ \operatorname{MCM}(b;d;f) }$$

$$\operatorname{MCM} \left( \frac ab;\frac cd;\frac ef \right) = \frac{ \operatorname{MCM}(a;c;e) }{ \operatorname{MCD}(b;d;f) }.$$

Antes de aplicar estas fórmulas, las fracciones deben estar simplificadas.

Ejemplo

Hallar el MCM de $3/8$ y $5/12$.

$$\operatorname{MCM} \left( \frac38;\frac5{12} \right) = \frac{ \operatorname{MCM}(3;5) }{ \operatorname{MCD}(8;12) } = \frac{15}{4} = 3{,}75.$$

Esto es útil para problemas de coincidencias temporales.

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Números racionales III: números avales, clasificación, descomposición polinómica, fracción generatriz y cambio de base

Un número aval es la expresión que resulta al dividir los términos de una fracción en una cierta base $n$.

Está formado por:

• una parte entera;
• una coma aval;
• una parte aval, formada por cifras a la derecha de la coma.

Cuando la base es 10, la parte aval se llama parte decimal.

Ejemplos

En base 10:

$$\frac{23}{8}=2{,}875$$

En base 8:

$$\frac{35_{(8)}}{20_{(8)}}=1{,}64_{(8)}$$

En base 5:

$$\frac{13_{(5)}}{10_{(5)}}=1{,}3_{(5)}$$

No debes confundir la representación: $1{,}64_{(8)}$ no significa “uno con sesenta y cuatro”, sino que está en base 8. Su valor real no es $1{,}64$ decimal, sino:

$$1{,}64_{(8)}=1+\frac{6}{8}+\frac{4}{64}=1+0{,}75+0{,}0625=1{,}8125.$$

Por eso, al trabajar en bases distintas de 10 decimos aval en lugar de decimal.

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Todo número racional, al dividirse en una base $n$, produce uno de estos tres tipos de aval:

1. Aval exacto
2. Aval inexacto periódico puro
3. Aval inexacto periódico mixto

La clave para saber de qué tipo será sin dividir está en el denominador de la fracción irreductible y en los factores primos de la base.

2.1 Aval exacto

Se origina de una fracción irreductible cuyo denominador, en su descomposición canónica, contiene únicamente factores primos de la base.

En base 10, los factores primos de la base son $2$ y $5$.

Ejemplos base 10

$$\frac{7}{20}=\frac{7}{2^2\cdot 5}$$

El denominador solo tiene factores $2$ y $5$, por lo tanto genera un decimal exacto:

$$\frac{7}{20}=0{,}35$$

Otro:

$$\frac{21}{64}=\frac{21}{2^6}=0{,}328125$$

Ejemplo en base 6

En base 6, los factores primos de la base son $2$ y $3$.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{2^2}$$

El denominador solo tiene factor $2$, que es factor de 6, por lo tanto genera un hexaval exacto:

$$\frac{3}{4}=0{,}43_{(6)}$$

2.2 Aval inexacto periódico puro

Se origina de una fracción irreductible cuyo denominador no contiene ninguno de los factores primos de la base.

En base 10, no debe tener factores $2$ ni $5$.

Ejemplos base 10

$$\frac{5}{7}$$

El denominador es $7$, que no es divisible por $2$ ni por $5$. Por lo tanto, la división no termina y genera un decimal periódico puro:

$$\frac{5}{7}=0{,}\overline{714285}$$

Otro:

$$\frac{13}{63}=\frac{13}{3^2\cdot 7}$$

No hay factores $2$ ni $5$, así que genera un decimal periódico puro.

Ejemplo en base 6

En base 6, el denominador no debe tener factores $2$ ni $3$.

$$\frac{7}{25}=\frac{7}{5^2}$$

El denominador $25$ solo tiene factor $5$, ajeno a los factores de 6; por lo tanto, en base 6 genera un hexaval periódico puro.

2.3 Aval inexacto periódico mixto

Se origina de una fracción irreductible cuyo denominador contiene algunos factores primos de la base y también factores ajenos a la base.

En base 10, debe contener $2$ o $5$ y, además, otros factores.

Ejemplo base 10

$$\frac{5}{12}=\frac{5}{2^2\cdot 3}$$

El denominador tiene factor $2$, que es de la base, y factor $3$, que es ajeno a la base. Por lo tanto, genera un decimal periódico mixto:

$$\frac{5}{12}=0{,}41\overline{6}$$

Observa que la parte decimal tiene una parte no periódica, $41$, y luego una parte periódica, $6$.

Ejemplo en base 6

$$\frac{11}{15}=\frac{11}{3\cdot 5}$$

En base 6, el factor $3$ es de la base y el $5$ es ajeno, por lo tanto genera un hexaval periódico mixto.

Tabla de clasificación

⚠️ Regla de oro: antes de clasificar, verifica que la fracción sea irreductible. Por ejemplo, $$> \frac{15}{24}=\frac{5}{8} >$$ La fracción original parece no generar decimal exacto porque $24=2^3\cdot 3$, pero al simplificar su denominador es $8=2^3$, y sí es decimal exacto: $0{,}625$.

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3.1 Aval exacto

Para un aval exacto en base 10, si la fracción irreductible tiene denominador

$$b=2^p\cdot 5^q,$$

la cantidad de cifras decimales es

$$\max\{p;q\}.$$

Ejemplo

$$\frac{7}{200}$$

Descomponemos:

$$200=2^3\cdot 5^2.$$

Entonces tiene

$$\max\{3;2\}=3$$

cifras decimales:

$$\frac{7}{200}=0{,}035.$$

En general, en base $n$, la cantidad de cifras exactas es el menor $k$ tal que el denominador divide a $n^k$.

3.2 Aval periódico puro

En base $n$, si la fracción es irreductible y el denominador $b$ no tiene factores de la base, la cantidad de cifras periódicas es el menor $k$ tal que

$$b \mid n^k-1.$$

En base 10, esto equivale a buscar el menor número formado solo por cifras $9$ que contenga al denominador.

Regla de nueves en base 10

Conviene recordar algunas descomposiciones:

$$\begin{aligned} 9&=3^2\\ 99&=3^2\cdot 11\\ 999&=3^3\cdot 37\\ 9999&=3^2\cdot 11\cdot 101\\ 99999&=3^2\cdot 41\cdot 271\\ 999999&=3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37 \end{aligned}$$

Ejemplo

¿Cuántas cifras periódicas genera

$$\frac{7}{27}$$

en base 10?

El denominador es $27$. Buscamos en qué número de nueves aparece $27$:

$$999=3^3\cdot 37$$

contiene a $3^3=27$. Como $999$ tiene 3 cifras, el período tendrá 3 cifras:

$$\frac{7}{27}=0{,}\overline{259}$$

Ejemplo con varios factores

Para

$$\frac{1}{111}$$

descomponemos:

$$111=3\cdot 37.$$

• $3$ aparece en $9$, de 1 cifra.
• $37$ aparece en $999$, de 3 cifras.

La cantidad de cifras periódicas es el MCM de los niveles:

$$\operatorname{MCM}(1;3)=3.$$

Por lo tanto,

$$\frac{1}{111}=0{,}\overline{009}$$

y su período tiene 3 cifras.

3.3 Aval periódico mixto

En base 10, si la fracción irreductible tiene denominador

$$b=2^p\cdot 5^q\cdot r,$$

donde $r$ no tiene factores $2$ ni $5$, entonces:

• cifras no periódicas: $\max\{p;q\}$;
• cifras periódicas: el menor $k$ tal que $r\mid 10^k-1$.

Ejemplo

$$\frac{33}{140}$$

Descomponemos:

$$140=2^2\cdot 5\cdot 7.$$

Entonces:

• cifras no periódicas: $\max\{2;1\}=2$;
• período: $7\mid 999999$, por lo tanto 6 cifras periódicas.

Efectivamente:

$$\frac{33}{140}=0{,}23\overline{571428}.$$

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Un número aval en base $n$ también puede desarrollarse como una suma de potencias de $n$, con exponentes positivos para la parte entera y negativos para la parte aval.

Si tenemos

$$\overline{a_m\ldots a_1a_0, a_{-1}a_{-2}\ldots a_{-k}}_{(n)}$$

entonces su descomposición polinómica es:

$$a_m n^m+\cdots+a_1 n+a_0 + a_{-1}n^{-1}+a_{-2}n^{-2}+\cdots+a_{-k}n^{-k}.$$

Ejemplo en base 10

$$23{,}45 =2\cdot 10+3+4\cdot 10^{-1}+5\cdot 10^{-2}$$

$$23{,}45=20+3+\frac{4}{10}+\frac{5}{100}.$$

Ejemplo en base 4

$$23{,}4_{(5)} =2\cdot 5+3+\frac{4}{5} =13{,}8.$$

Ejemplo en base 2

$$10{,}11_{(2)} =1\cdot 2+0+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} =2{,}75.$$

La descomposición polinómica es fundamental para convertir un aval a base 10 o para hallar su fracción generatriz.

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La fracción generatriz de un número aval es la fracción irreductible que lo origina.

Veremos las reglas para base $n$ y, en particular, para base 10.

5.1 Fracción generatriz de un aval exacto

En base $n$:

$$0{,}\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)}$$

pero sin período, es decir,

0{,}a_1a_2\ldots a_k_{(n)}

tiene como fracción generatriz:

0{,}a_1a_2\ldots a_k_{(n)} = \frac{\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)}}{n^k}

El denominador es la unidad seguida de $k$ ceros en base $n$.

Ejemplos

En base 10:

$$0{,}43=\frac{43}{100}$$

$$2{,}137=\frac{2137}{1000}$$

En base 8:

$$0{,}67_{(8)} = \frac{67_{(8)}}{100_{(8)}} = \frac{55}{64}.$$

¿Por qué? Porque $67_{(8)}=55$ y $100_{(8)}=64$.

En base 4:

$$1{,}231_{(4)} = \frac{1231_{(4)}}{1000_{(4)}} = \frac{109}{64}.$$

5.2 Fracción generatriz de un aval periódico puro

En base $n$, si

$$0{,}\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)}$$

tiene $k$ cifras periódicas, entonces:

$$0{,}\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)} = \frac{\overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)}}{n^k-1}.$$

El denominador es un numeral formado por $k$ cifras máximas de la base $n$, es decir, todas iguales a $n-1$.

Ejemplos

En base 10:

$$0{,}\overline{36}=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$$

$$0{,}\overline{128}=\frac{128}{999}$$

Con parte entera:

$$2{,}\overline{4} = \frac{24-2}{9} = \frac{22}{9}.$$

En base 3:

$$0{,}\overline{12}_{(3)} = \frac{12_{(3)}}{22_{(3)}} = \frac{5}{8}.$$

Verifiquemos: $12_{(3)}=1\cdot 3+2=5$, y $22_{(3)}=2\cdot 3+2=8$.

En base 5:

$$1{,}\overline{43}_{(5)} = \frac{143_{(5)}-1}{44_{(5)}} = \frac{48-1}{24} = \frac{47}{24}.$$

5.3 Fracción generatriz de un aval periódico mixto

En base $n$, si tenemos

$$0{,}a_1a_2\ldots a_k\,\overline{b_1b_2\ldots b_m}_{(n)}$$

donde:

• $k$ cifras no periódicas: $a_1a_2\ldots a_k$;
• $m$ cifras periódicas: $b_1b_2\ldots b_m$,

entonces la fracción generatriz es:

$$\frac{ \overline{a_1a_2\ldots a_k b_1b_2\ldots b_m}_{(n)} - \overline{a_1a_2\ldots a_k}_{(n)} } {n^k(n^m-1)}.$$

Equivalentemente, el denominador es un numeral formado por:

• $m$ cifras máximas de la base, seguidas de
• $k$ ceros.

Ejemplo en base 10

$$0{,}2\overline{13}$$

Aquí:

• cifra no periódica: $2$;
• período: $13$.

Aplicamos la regla:

$$0{,}2\overline{13} = \frac{213-2}{990} = \frac{211}{990}.$$

Ejemplo en base 6

$$0{,}1\overline{35}_{(6)}$$

Tiene una cifra no periódica y dos periódicas.

$$0{,}1\overline{35}_{(6)} = \frac{135_{(6)}-1}{550_{(6)}}$$

Calculamos:

$$135_{(6)}=1\cdot 36+3\cdot 6+5=59$$

$$550_{(6)}=5\cdot 36+5\cdot 6+0=210$$

Entonces:

$$0{,}1\overline{35}_{(6)} = \frac{59-1}{210} = \frac{58}{210} = \frac{29}{105}.$$

5.4 Regla práctica en base 10

Para decimales:

• Exacto: se escribe el número sin coma y se divide entre $10^{k}$.
• Periódico puro: se escribe el número sin coma menos la parte entera, sobre tantos nueves como cifras periódicas.
• Periódico mixto: se escribe todo hasta completar un período, menos la parte no periódica, sobre tantos nueves como cifras periódicas seguidos de tantos ceros como cifras no periódicas.

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El cambio de base para un número aval se trabaja en dos partes: la parte entera y la parte aval.

6.1 De base $n$ a base 10

Usamos la descomposición polinómica o directamente la fracción generatriz.

Ejemplo

Convertir $12{,}34_{(6)}$ a base 10.

$$12{,}34_{(6)} = 1\cdot 6+2+\frac{3}{6}+\frac{4}{36}$$

$$=8+\frac{18}{36}+\frac{4}{36} =8+\frac{22}{36} =8+\frac{11}{18} =\frac{155}{18}$$

En decimal:

$$\frac{11}{18}=0{,}\overline{6}$$

por lo tanto:

$$12{,}34_{(6)}=8{,}6\overline{6}$$

6.2 De base 10 a base $n$

La parte entera se convierte por divisiones sucesivas.

La parte aval se convierte por multiplicaciones sucesivas por la base, tomando la parte entera de cada producto.

Ejemplo

Convertir $0{,}625$ a base 4.

$$0{,}625\cdot 4=2{,}5$$

La parte entera es $2$, y queda $0{,}5$.

$$0{,}5\cdot 4=2{,}0$$

La parte entera es $2$, y queda $0{,}0$.

Por lo tanto:

$$0{,}625=0{,}22_{(4)}.$$

Verificamos:

$$0{,}22_{(4)} = \frac{2}{4}+\frac{2}{16} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} = 0{,}625.$$

6.3 Conversión entre bases no decimales

El método general más sencillo es:

1. Convertir el número aval de su base original a base 10.
2. Luego convertir de base 10 a la base deseada.

Ejemplo

Convertir $0{,}22_{(4)}$ a base 6.

Primero lo pasamos a base 10:

$$0{,}22_{(4)}=0{,}625.$$

Luego pasamos $0{,}625$ a base 6:

$$0{,}625\cdot 6=3{,}75 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }3,\ \text{queda }0{,}75$$

$$0{,}75\cdot 6=4{,}5 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }4,\ \text{queda }0{,}5$$

$$0{,}5\cdot 6=3{,}0 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }3,\ \text{queda }0$$

Por lo tanto:

$$0{,}22_{(4)}=0{,}343_{(6)}.$$

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Un tipo de pregunta muy frecuente en admisión UNMSM es:

¿Cuántas fracciones propias e irreducibles tienen denominador $D$?

Recuerda que una fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que su denominador. Si fijamos el denominador $D$, los posibles numeradores son:

$$1,2,3,\ldots,D-1.$$

Para que la fracción sea irreductible, el numerador debe ser PESI con $D$.

La cantidad de números menores que $D$ y PESI con $D$ se denota $\varphi(D)$, la función indicatriz de Euler.

Fórmula

Si

$$D=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$$

entonces

$$\varphi(D) = D\left(1-\frac{1}{p_1}\right) \left(1-\frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$

Ejemplo

¿Cuántas fracciones propias e irreducibles tienen denominador $450$?

Descomponemos:

$$450=2\cdot 3^2\cdot 5^2.$$

Entonces:

$$\varphi(450) = 450\left(1-\frac12\right) \left(1-\frac13\right) \left(1-\frac15\right)$$

$$=450\cdot \frac12\cdot \frac23\cdot \frac45 =120.$$

Hay $120$ fracciones propias e irreducibles con denominador $450$.