Teoría de conjuntos I: determinación, relaciones entre conjuntos, conjuntos especiales y gráficos

Un conjunto es una colección, agrupación o reunión de objetos que comparten una característica común. Los objetos que forman parte del conjunto se llaman elementos.

Ejemplos:

• Los días de la semana.
• Los países de América del Sur.
• Las vocales.
• Los números pares menores que 12.

Un conjunto se denota con una letra mayúscula, y sus elementos se escriben entre llaves, separados por comas o punto y coma:

$$A = \{a, e, i, o, u\}$$

$$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$$

Los elementos pueden ser concretos, como personas u objetos, o abstractos, como números o letras. Incluso un elemento puede ser, a su vez, un conjunto:

$$D = \{1, \{2\}, \{3,4\}\}$$

En este ejemplo, $D$ tiene tres elementos: el número $1$, el conjunto $\{2\}$ y el conjunto $\{3,4\}$. Observa que $2$ no es elemento de $D$; lo que es elemento de $D$ es $\{2\}$.

Dos propiedades importantes desde el inicio:

1. El orden en que se enumeran los elementos no importa:
   $\{3,5\} = \{5,3\}$.

2. La repetición de elementos no se considera:
   $\{2,3,3,5,5,5\} = \{2,3,5\}$.

Estas dos propiedades evitan confusiones al contar elementos.

Determinar un conjunto significa precisar, sin ambigüedad, cuáles son sus elementos. Hay dos formas fundamentales.

2.1 Por extensión o forma tabular

Consiste en enumerar explícitamente todos los elementos del conjunto.

Ejemplos:

$$A = \{a, e, i, o, u\}$$

$$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$$

Si el conjunto es grande pero tiene un patrón claro, se pueden usar puntos suspensivos:

$$C = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$$

$$D = \{2, 4, 6, 8, \ldots\}$$

Los puntos suspensivos solo deben usarse cuando el patrón es evidente.

2.2 Por comprensión o forma constructiva

Consiste en dar una propiedad o característica común que cumplen todos los elementos del conjunto.

Su forma general es:

$$A = \{ \text{forma del elemento} / \text{condición} \}$$

La barra $/$ se lee «tal que».

Ejemplo:

$$A = \{x / x \text{ es una vocal}\}$$

Se lee: «A es el conjunto de todos los $x$ tales que $x$ es una vocal».

También se puede indicar a qué conjunto numérico pertenece la variable:

$$B = \{x \in \mathbb{Z} / -3 < x \le 4\}$$

Para determinar $B$ por extensión, listamos los enteros $x$ que cumplen la desigualdad:

$$B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$$

Si la forma del elemento no es simplemente $x$, hay que reemplazar cada valor permitido en la forma. Por ejemplo:

$$C = \{x^2 - 1 / x \in \mathbb{Z}, -2 \le x \le 3\}$$

Los valores de $x$ son $-2,-1,0,1,2,3$. Al reemplazarlos en $x^2 - 1$ obtenemos:

$$3, 0, -1, 0, 3, 8$$

Eliminando repeticiones y ordenando:

$$C = \{-1, 0, 3, 8\}$$

Por lo tanto, $n(C) = 4$.

Para convertir de comprensión a extensión, se recomienda:

1. Resolver la condición.
2. Listar los valores de la variable que la cumplen.
3. Si hay una forma del tipo $f(x)$, reemplazar cada valor en $f(x)$.
4. Eliminar repeticiones.
5. Ordenar si es conveniente.

2.3 Cardinal de un conjunto

El cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee.

Se denota por $n(A)$, $|A|$ o $\#(A)$.

Ejemplo:

$$A = \{2, 3, 3, 5, 5, 5, 6\}$$

Al eliminar repeticiones:

$$A = \{2, 3, 5, 6\}$$

Entonces:

$$n(A) = 4$$

Otro ejemplo:

$$B = \{1, \{2\}, \{3,4\}\}$$

Aquí hay tres elementos: $1$, $\{2\}$ y $\{3,4\}$. Por lo tanto:

$$n(B) = 3$$

El conjunto $\{3,4\}$ cuenta como un solo elemento, aunque internamente tenga dos números.

La pertenencia es una relación entre un elemento y un conjunto.

Si un objeto $x$ es elemento del conjunto $A$, escribimos:

$$x \in A$$

que se lee «$x$ pertenece a $A$».

Si no lo es, escribimos:

$$x \notin A$$

Ejemplo:

$$B = \{1, 2, \{2\}, 3, \{5\}, \{7,8\}, \{9,10\}\}$$

Entonces:

• $1 \in B$
• $5 \notin B$, porque $5$ no aparece como elemento; lo que aparece es $\{5\}$.
• $\{2\} \in B$
• $\{3\} \notin B$, porque $3$ está en $B$, pero $\{3\}$ no es un elemento de $B$.
• $\{5\} \in B$
• $\{7,8\} \in B$
• $\{8,7\} \in B$, porque el orden no importa.
• $\{9,10\} \in B$
• $\{2,5\} \notin B$, porque el elemento $\{2,5\}$ no está listado.

La pertenencia no es transitiva. Por ejemplo, si $2 \in \{1,2\}$ y $\{1,2\} \in C$, no necesariamente $2 \in C$. Depende de si $2$ está como elemento directo de $C$.

La inclusión es una relación entre conjunto y conjunto.

Decimos que $A$ está incluido en $B$, o que $A$ es subconjunto de $B$, si todo elemento de $A$ es también elemento de $B$.

Se denota:

$$A \subset B$$

Formalmente:

$$A \subset B \iff (\text{para todo } x, x \in A \implies x \in B)$$

Observa cómo aparece el condicional lógico: si un elemento está en $A$, entonces está en $B$.

Ejemplos:

• $\{1,2\} \subset \{1,2,3\}$
• $\{a\} \subset \{a,b,c\}$
• Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: $A \subset A$
• El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto: $\varnothing \subset A$

No se debe confundir pertenencia con inclusión:

Es incorrecto escribir $2 \subset \{1,2,3\}$ o $\{2\} \in \{1,2,3\}$, salvo que $\{2\}$ realmente esté listado como elemento.

Si $A \subset B$ y además $A \neq B$, se dice que $A$ es un subconjunto propio de $B$.

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.

Formalmente:

$$A = B \iff A \subset B \text{ y } B \subset A$$

Ejemplo:

$$\{1,2,3\} = \{3,2,1\}$$

El orden no importa, ni la repetición.

Dados dos conjuntos, se pueden presentar varias relaciones.

5.1 Conjuntos comparables

Dos conjuntos son comparables si uno de ellos está incluido en el otro.

Ejemplo:

$$A = \{1,2\}, \quad B = \{1,2,3\}$$

Aquí $A \subset B$, por lo tanto son comparables.

5.2 Conjuntos no comparables

Dos conjuntos son no comparables si ninguno está incluido en el otro.

Ejemplo:

$$A = \{1,2\}, \quad B = \{2,3\}$$

Ni $A \subset B$ ni $B \subset A$.

5.3 Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común.

Ejemplo:

$$A = \{1,2\}, \quad B = \{3,4\}$$

Formalmente decimos que $A \cap B = \varnothing$. Aunque la intersección se estudia en el siguiente tema, aquí basta con entender que dos conjuntos disjuntos no comparten elementos.

5.4 Conjuntos equivalentes o coordinables

Dos conjuntos son equivalentes si tienen el mismo cardinal, aunque sus elementos sean diferentes.

Ejemplo:

$$A = \{a,b,c\}, \quad B = \{1,2,3\}$$

Se tiene $n(A) = n(B) = 3$, por lo tanto son equivalentes, pero no son iguales.

La igualdad implica equivalencia, pero la equivalencia no implica igualdad.

5.5 Inclusión en problemas de admisión

En muchos problemas, frases como «todos los que tocan un instrumento también cantan» se traducen como una inclusión:

$$I \subset C$$

Si además «todos los que cantan también bailan», entonces:

$$C \subset B$$

Y por transitividad:

$$I \subset C \subset B$$

Esta traducción permite dibujar círculos anidados y repartir los cardinales correctamente.

6.1 Conjunto vacío

Es el conjunto que carece de elementos.

Se denota por $\varnothing$ o $\{\}$.

Ejemplo:

$$\{x \in \mathbb{R} / x^2 + 1 = 0\} = \varnothing$$

El conjunto vacío es único y tiene cardinal 0:

$$n(\varnothing) = 0$$

Cuidado: $\{\varnothing\}$ no es vacío. Es un conjunto unitario cuyo único elemento es el conjunto vacío. Por lo tanto:

$$n(\{\varnothing\}) = 1$$

6.2 Conjunto unitario

Es el conjunto que tiene exactamente un elemento.

Ejemplos:

$$A = \{5\}$$

$$B = \{\varnothing\}$$

En problemas de igualdad de conjuntos, si un conjunto es unitario, sus elementos deben coincidir.

6.3 Conjunto universal o referencial

Es el conjunto que contiene a todos los elementos considerados en un problema.

Se denota por $U$.

No es un conjunto fijo: depende del contexto. Si hablamos de los estudiantes de un aula, $U$ es ese conjunto de estudiantes. Si hablamos de números enteros, $U$ puede ser $\mathbb{Z}$.

En los diagramas de conjuntos, el conjunto universal se representa con un rectángulo.

6.4 Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto es finito si tiene una cantidad limitada de elementos.

Ejemplo:

$$A = \{1,2,3,\ldots,100\}$$

Es finito porque $n(A)=100$.

Un conjunto es infinito si no se puede contar por completo.

Ejemplo:

$$B = \{1,2,3,\ldots\}$$

6.5 Conjunto potencia

Dado un conjunto $A$, su conjunto potencia $P(A)$ es el conjunto formado por todos los subconjuntos de $A$.

$$P(A) = \{X / X \subset A\}$$

Ejemplo:

$$A = \{1,2\}$$

Los subconjuntos de $A$ son:

$$\varnothing, \quad \{1\}, \quad \{2\}, \quad \{1,2\}$$

Entonces:

$$P(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$$

Observa que el vacío y el propio $A$ siempre están en $P(A)$.

Si $n(A) = m$, entonces:

$$n(P(A)) = 2^m$$

¿Por qué? Porque para formar un subconjunto, cada elemento de $A$ tiene dos opciones: estar o no estar. Como hay $m$ elementos y cada decisión es independiente, el total de subconjuntos es:

$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^m$$

Consecuencias:

• Número de subconjuntos no vacíos: $2^m - 1$
• Número de subconjuntos propios: $2^m - 1$
• Número de subconjuntos propios y no vacíos: $2^m - 2$
• Número de subconjuntos unitarios: $m$
• Número de subconjuntos binarios: $\binom{m}{2} = \frac{m(m-1)}{2}$
• Número de subconjuntos no unitarios: $2^m - m$

Ejemplo:

Si $A = \{a,b,c,d\}$, entonces $n(A)=4$.

$$n(P(A)) = 2^4 = 16$$

Subconjuntos binarios:

$$\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

7.1 Diagrama de Venn-Euler

Es la representación gráfica más usada. Utiliza regiones planas cerradas, generalmente círculos, dentro de un rectángulo.

El rectángulo representa el conjunto universal $U$. Cada círculo representa un conjunto.

Para un solo conjunto $A$:

La región fuera del círculo sirve para representar los elementos que no pertenecen a $A$.

Para dos conjuntos $A$ y $B$:

Con dos conjuntos se forman cuatro regiones disjuntas:

• Solo $A$: en $A$ y no en $B$.
• Solo $B$: en $B$ y no en $A$.
• Ambos $A$ y $B$: en la intersección.
• Ni $A$ ni $B$: fuera de ambos círculos, dentro de $U$.

Cada elemento del universo está exactamente en una de estas cuatro regiones. Por eso conviene asignar variables a los cardinales de cada región y plantear ecuaciones.

Para tres conjuntos $A$, $B$ y $C$:

En tres conjuntos hay $2^3 = 8$ regiones. Las más importantes son:

• $s_A, s_B, s_C$: solo un conjunto.
• $d_{AB}, d_{AC}, d_{BC}$: exactamente dos conjuntos, sin el tercero.
• $t$: los tres conjuntos.
• $f$: fuera de los tres.

Algunas interpretaciones frecuentes:

• «Solo dos deportes»: $d_{AB} + d_{AC} + d_{BC}$
• «Exactamente un deporte»: $s_A + s_B + s_C$
• «Al menos dos»: $d_{AB} + d_{AC} + d_{BC} + t$
• «Al menos uno»: todo lo que está dentro de algún círculo

7.2 Diagrama de Lewis Carroll

Es un diagrama en forma de tabla de doble entrada, muy útil cuando se cruzan dos clasificaciones dicotómicas.

Por ejemplo, se puede clasificar a un grupo de personas por sexo (varones/mujeres) y por estado civil (casados/solteros).

Diagrama de Carroll: clasificación por sexo y estado civil

Se puede representar así:

$$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Varones} & \text{Mujeres} & \text{Total}\\ \hline \text{Casados} & & & \\ \text{Solteros} & & & \\ \hline \text{Total} & & & \end{array}$$

Cada casilla es una región disjunta. La ventaja del diagrama de Carroll es que los totales por fila y por columna permiten calcular casillas faltantes mediante sumas y restas.

Este diagrama es especialmente recomendado cuando las condiciones son excluyentes: una persona es varón o mujer, trabaja o no trabaja, usa anteojos o no usa anteojos.

7.3 ¿Cuándo usar cada diagrama?

• Diagrama de Venn: cuando hay dos o tres conjuntos no necesariamente excluyentes y se necesita visualizar intersecciones y regiones como «solo», «ambos» o «ninguno».
• Diagrama de Carroll: cuando las clasificaciones son dicotómicas y mutuamente excluyentes, como varón/mujer, trabaja/no trabaja.

En algunos problemas se puede elegir cualquiera de los dos. La clave es usar uno que haga más clara la información.

En los problemas de admisión conviene seguir un procedimiento ordenado.

1. Identificar el universo $U$ y los conjuntos involucrados.
   Por ejemplo, $U$ puede ser el total de personas, $A$ los que estudian y $B$ los que trabajan.

2. Elegir la representación más conveniente: diagrama de Venn o diagrama de Carroll.

3. Asignar variables a las regiones disjuntas.
   No usar la misma variable para regiones distintas.

4. Traducir cada frase del enunciado a una igualdad o inclusión:

   • «$a$ trabajan»: total del conjunto trabajo.
   • «$b$ solo trabajan»: región de trabajo sin estudio.
   • «$c$ trabajan y estudian»: intersección.
   • «$d$ trabajan o estudian»: al menos uno, unión inclusiva.
   • «$e$ no trabajan ni estudian»: fuera de ambos, dentro de $U$.
   • «Todos los de $A$ están en $B$»: $A \subset B$.

5. Resolver las ecuaciones, empezando por las regiones más específicas: intersección triple, luego intersecciones dobles, luego regiones «solo», luego fuera.

6. Verificar que la suma de las regiones disjuntas coincida con el total de $U$.

En un diagrama de Carroll, los totales por filas y columnas actúan como ecuaciones. Se recomienda empezar por las casillas que tengan más información.

Un conjunto es una colección, agrupación o reunión de objetos que comparten una característica común. Los objetos que forman parte del conjunto se llaman elementos.

Ejemplos:

• Los días de la semana.
• Los países de América del Sur.
• Las vocales.
• Los números pares menores que 12.

Un conjunto se denota con una letra mayúscula, y sus elementos se escriben entre llaves, separados por comas o punto y coma:

$$A = \{a, e, i, o, u\}$$

$$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$$

Los elementos pueden ser concretos, como personas u objetos, o abstractos, como números o letras. Incluso un elemento puede ser, a su vez, un conjunto:

$$D = \{1, \{2\}, \{3,4\}\}$$

En este ejemplo, $D$ tiene tres elementos: el número $1$, el conjunto $\{2\}$ y el conjunto $\{3,4\}$. Observa que $2$ no es elemento de $D$; lo que es elemento de $D$ es $\{2\}$.

Dos propiedades importantes desde el inicio:

1. El orden en que se enumeran los elementos no importa:
   $\{3,5\} = \{5,3\}$.

2. La repetición de elementos no se considera:
   $\{2,3,3,5,5,5\} = \{2,3,5\}$.

Estas dos propiedades evitan confusiones al contar elementos.

Determinar un conjunto significa precisar, sin ambigüedad, cuáles son sus elementos. Hay dos formas fundamentales.

2.1 Por extensión o forma tabular

Consiste en enumerar explícitamente todos los elementos del conjunto.

Ejemplos:

$$A = \{a, e, i, o, u\}$$

$$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$$

Si el conjunto es grande pero tiene un patrón claro, se pueden usar puntos suspensivos:

$$C = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$$

$$D = \{2, 4, 6, 8, \ldots\}$$

Los puntos suspensivos solo deben usarse cuando el patrón es evidente.

2.2 Por comprensión o forma constructiva

Consiste en dar una propiedad o característica común que cumplen todos los elementos del conjunto.

Su forma general es:

$$A = \{ \text{forma del elemento} / \text{condición} \}$$

La barra $/$ se lee «tal que».

Ejemplo:

$$A = \{x / x \text{ es una vocal}\}$$

Se lee: «A es el conjunto de todos los $x$ tales que $x$ es una vocal».

También se puede indicar a qué conjunto numérico pertenece la variable:

$$B = \{x \in \mathbb{Z} / -3 < x \le 4\}$$

Para determinar $B$ por extensión, listamos los enteros $x$ que cumplen la desigualdad:

$$B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$$

Si la forma del elemento no es simplemente $x$, hay que reemplazar cada valor permitido en la forma. Por ejemplo:

$$C = \{x^2 - 1 / x \in \mathbb{Z}, -2 \le x \le 3\}$$

Los valores de $x$ son $-2,-1,0,1,2,3$. Al reemplazarlos en $x^2 - 1$ obtenemos:

$$3, 0, -1, 0, 3, 8$$

Eliminando repeticiones y ordenando:

$$C = \{-1, 0, 3, 8\}$$

Por lo tanto, $n(C) = 4$.

Para convertir de comprensión a extensión, se recomienda:

1. Resolver la condición.
2. Listar los valores de la variable que la cumplen.
3. Si hay una forma del tipo $f(x)$, reemplazar cada valor en $f(x)$.
4. Eliminar repeticiones.
5. Ordenar si es conveniente.

2.3 Cardinal de un conjunto

El cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee.

Se denota por $n(A)$, $|A|$ o $\#(A)$.

Ejemplo:

$$A = \{2, 3, 3, 5, 5, 5, 6\}$$

Al eliminar repeticiones:

$$A = \{2, 3, 5, 6\}$$

Entonces:

$$n(A) = 4$$

Otro ejemplo:

$$B = \{1, \{2\}, \{3,4\}\}$$

Aquí hay tres elementos: $1$, $\{2\}$ y $\{3,4\}$. Por lo tanto:

$$n(B) = 3$$

El conjunto $\{3,4\}$ cuenta como un solo elemento, aunque internamente tenga dos números.

La pertenencia es una relación entre un elemento y un conjunto.

Si un objeto $x$ es elemento del conjunto $A$, escribimos:

$$x \in A$$

que se lee «$x$ pertenece a $A$».

Si no lo es, escribimos:

$$x \notin A$$

Ejemplo:

$$B = \{1, 2, \{2\}, 3, \{5\}, \{7,8\}, \{9,10\}\}$$

Entonces:

• $1 \in B$
• $5 \notin B$, porque $5$ no aparece como elemento; lo que aparece es $\{5\}$.
• $\{2\} \in B$
• $\{3\} \notin B$, porque $3$ está en $B$, pero $\{3\}$ no es un elemento de $B$.
• $\{5\} \in B$
• $\{7,8\} \in B$
• $\{8,7\} \in B$, porque el orden no importa.
• $\{9,10\} \in B$
• $\{2,5\} \notin B$, porque el elemento $\{2,5\}$ no está listado.

La pertenencia no es transitiva. Por ejemplo, si $2 \in \{1,2\}$ y $\{1,2\} \in C$, no necesariamente $2 \in C$. Depende de si $2$ está como elemento directo de $C$.

La inclusión es una relación entre conjunto y conjunto.

Decimos que $A$ está incluido en $B$, o que $A$ es subconjunto de $B$, si todo elemento de $A$ es también elemento de $B$.

Se denota:

$$A \subset B$$

Formalmente:

$$A \subset B \iff (\text{para todo } x, x \in A \implies x \in B)$$

Observa cómo aparece el condicional lógico: si un elemento está en $A$, entonces está en $B$.

Ejemplos:

• $\{1,2\} \subset \{1,2,3\}$
• $\{a\} \subset \{a,b,c\}$
• Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: $A \subset A$
• El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto: $\varnothing \subset A$

No se debe confundir pertenencia con inclusión:

Es incorrecto escribir $2 \subset \{1,2,3\}$ o $\{2\} \in \{1,2,3\}$, salvo que $\{2\}$ realmente esté listado como elemento.

Si $A \subset B$ y además $A \neq B$, se dice que $A$ es un subconjunto propio de $B$.

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.

Formalmente:

$$A = B \iff A \subset B \text{ y } B \subset A$$

Ejemplo:

$$\{1,2,3\} = \{3,2,1\}$$

El orden no importa, ni la repetición.

Dados dos conjuntos, se pueden presentar varias relaciones.

5.1 Conjuntos comparables

Dos conjuntos son comparables si uno de ellos está incluido en el otro.

Ejemplo:

$$A = \{1,2\}, \quad B = \{1,2,3\}$$

Aquí $A \subset B$, por lo tanto son comparables.

5.2 Conjuntos no comparables

Dos conjuntos son no comparables si ninguno está incluido en el otro.

Ejemplo:

$$A = \{1,2\}, \quad B = \{2,3\}$$

Ni $A \subset B$ ni $B \subset A$.

5.3 Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común.

Ejemplo:

$$A = \{1,2\}, \quad B = \{3,4\}$$

Formalmente decimos que $A \cap B = \varnothing$. Aunque la intersección se estudia en el siguiente tema, aquí basta con entender que dos conjuntos disjuntos no comparten elementos.

5.4 Conjuntos equivalentes o coordinables

Dos conjuntos son equivalentes si tienen el mismo cardinal, aunque sus elementos sean diferentes.

Ejemplo:

$$A = \{a,b,c\}, \quad B = \{1,2,3\}$$

Se tiene $n(A) = n(B) = 3$, por lo tanto son equivalentes, pero no son iguales.

La igualdad implica equivalencia, pero la equivalencia no implica igualdad.

5.5 Inclusión en problemas de admisión

En muchos problemas, frases como «todos los que tocan un instrumento también cantan» se traducen como una inclusión:

$$I \subset C$$

Si además «todos los que cantan también bailan», entonces:

$$C \subset B$$

Y por transitividad:

$$I \subset C \subset B$$

Esta traducción permite dibujar círculos anidados y repartir los cardinales correctamente.

6.1 Conjunto vacío

Es el conjunto que carece de elementos.

Se denota por $\varnothing$ o $\{\}$.

Ejemplo:

$$\{x \in \mathbb{R} / x^2 + 1 = 0\} = \varnothing$$

El conjunto vacío es único y tiene cardinal 0:

$$n(\varnothing) = 0$$

Cuidado: $\{\varnothing\}$ no es vacío. Es un conjunto unitario cuyo único elemento es el conjunto vacío. Por lo tanto:

$$n(\{\varnothing\}) = 1$$

6.2 Conjunto unitario

Es el conjunto que tiene exactamente un elemento.

Ejemplos:

$$A = \{5\}$$

$$B = \{\varnothing\}$$

En problemas de igualdad de conjuntos, si un conjunto es unitario, sus elementos deben coincidir.

6.3 Conjunto universal o referencial

Es el conjunto que contiene a todos los elementos considerados en un problema.

Se denota por $U$.

No es un conjunto fijo: depende del contexto. Si hablamos de los estudiantes de un aula, $U$ es ese conjunto de estudiantes. Si hablamos de números enteros, $U$ puede ser $\mathbb{Z}$.

En los diagramas de conjuntos, el conjunto universal se representa con un rectángulo.

6.4 Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto es finito si tiene una cantidad limitada de elementos.

Ejemplo:

$$A = \{1,2,3,\ldots,100\}$$

Es finito porque $n(A)=100$.

Un conjunto es infinito si no se puede contar por completo.

Ejemplo:

$$B = \{1,2,3,\ldots\}$$

6.5 Conjunto potencia

Dado un conjunto $A$, su conjunto potencia $P(A)$ es el conjunto formado por todos los subconjuntos de $A$.

$$P(A) = \{X / X \subset A\}$$

Ejemplo:

$$A = \{1,2\}$$

Los subconjuntos de $A$ son:

$$\varnothing, \quad \{1\}, \quad \{2\}, \quad \{1,2\}$$

Entonces:

$$P(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$$

Observa que el vacío y el propio $A$ siempre están en $P(A)$.

Si $n(A) = m$, entonces:

$$n(P(A)) = 2^m$$

¿Por qué? Porque para formar un subconjunto, cada elemento de $A$ tiene dos opciones: estar o no estar. Como hay $m$ elementos y cada decisión es independiente, el total de subconjuntos es:

$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2 = 2^m$$

Consecuencias:

• Número de subconjuntos no vacíos: $2^m - 1$
• Número de subconjuntos propios: $2^m - 1$
• Número de subconjuntos propios y no vacíos: $2^m - 2$
• Número de subconjuntos unitarios: $m$
• Número de subconjuntos binarios: $\binom{m}{2} = \frac{m(m-1)}{2}$
• Número de subconjuntos no unitarios: $2^m - m$

Ejemplo:

Si $A = \{a,b,c,d\}$, entonces $n(A)=4$.

$$n(P(A)) = 2^4 = 16$$

Subconjuntos binarios:

$$\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

7.1 Diagrama de Venn-Euler

Es la representación gráfica más usada. Utiliza regiones planas cerradas, generalmente círculos, dentro de un rectángulo.

El rectángulo representa el conjunto universal $U$. Cada círculo representa un conjunto.

Para un solo conjunto $A$:

La región fuera del círculo sirve para representar los elementos que no pertenecen a $A$.

Para dos conjuntos $A$ y $B$:

Con dos conjuntos se forman cuatro regiones disjuntas:

• Solo $A$: en $A$ y no en $B$.
• Solo $B$: en $B$ y no en $A$.
• Ambos $A$ y $B$: en la intersección.
• Ni $A$ ni $B$: fuera de ambos círculos, dentro de $U$.

Cada elemento del universo está exactamente en una de estas cuatro regiones. Por eso conviene asignar variables a los cardinales de cada región y plantear ecuaciones.

Para tres conjuntos $A$, $B$ y $C$:

En tres conjuntos hay $2^3 = 8$ regiones. Las más importantes son:

• $s_A, s_B, s_C$: solo un conjunto.
• $d_{AB}, d_{AC}, d_{BC}$: exactamente dos conjuntos, sin el tercero.
• $t$: los tres conjuntos.
• $f$: fuera de los tres.

Algunas interpretaciones frecuentes:

• «Solo dos deportes»: $d_{AB} + d_{AC} + d_{BC}$
• «Exactamente un deporte»: $s_A + s_B + s_C$
• «Al menos dos»: $d_{AB} + d_{AC} + d_{BC} + t$
• «Al menos uno»: todo lo que está dentro de algún círculo

7.2 Diagrama de Lewis Carroll

Es un diagrama en forma de tabla de doble entrada, muy útil cuando se cruzan dos clasificaciones dicotómicas.

Por ejemplo, se puede clasificar a un grupo de personas por sexo (varones/mujeres) y por estado civil (casados/solteros).

Diagrama de Carroll: clasificación por sexo y estado civil

Se puede representar así:

$$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Varones} & \text{Mujeres} & \text{Total}\\ \hline \text{Casados} & & & \\ \text{Solteros} & & & \\ \hline \text{Total} & & & \end{array}$$

Cada casilla es una región disjunta. La ventaja del diagrama de Carroll es que los totales por fila y por columna permiten calcular casillas faltantes mediante sumas y restas.

Este diagrama es especialmente recomendado cuando las condiciones son excluyentes: una persona es varón o mujer, trabaja o no trabaja, usa anteojos o no usa anteojos.

7.3 ¿Cuándo usar cada diagrama?

• Diagrama de Venn: cuando hay dos o tres conjuntos no necesariamente excluyentes y se necesita visualizar intersecciones y regiones como «solo», «ambos» o «ninguno».
• Diagrama de Carroll: cuando las clasificaciones son dicotómicas y mutuamente excluyentes, como varón/mujer, trabaja/no trabaja.

En algunos problemas se puede elegir cualquiera de los dos. La clave es usar uno que haga más clara la información.

En los problemas de admisión conviene seguir un procedimiento ordenado.

1. Identificar el universo $U$ y los conjuntos involucrados.
   Por ejemplo, $U$ puede ser el total de personas, $A$ los que estudian y $B$ los que trabajan.

2. Elegir la representación más conveniente: diagrama de Venn o diagrama de Carroll.

3. Asignar variables a las regiones disjuntas.
   No usar la misma variable para regiones distintas.

4. Traducir cada frase del enunciado a una igualdad o inclusión:

   • «$a$ trabajan»: total del conjunto trabajo.
   • «$b$ solo trabajan»: región de trabajo sin estudio.
   • «$c$ trabajan y estudian»: intersección.
   • «$d$ trabajan o estudian»: al menos uno, unión inclusiva.
   • «$e$ no trabajan ni estudian»: fuera de ambos, dentro de $U$.
   • «Todos los de $A$ están en $B$»: $A \subset B$.

5. Resolver las ecuaciones, empezando por las regiones más específicas: intersección triple, luego intersecciones dobles, luego regiones «solo», luego fuera.

6. Verificar que la suma de las regiones disjuntas coincida con el total de $U$.

En un diagrama de Carroll, los totales por filas y columnas actúan como ecuaciones. Se recomienda empezar por las casillas que tengan más información.