Regla de interés I: elementos, interés simple e interés compuesto

1.1 Idea intuitiva

Imagina que Lucía deposita $S/4000$ en una caja municipal. Al cabo de un año, la entidad le entrega $S/4200$. ¿Qué ha ocurrido?

• Lucía entregó $S/4000$.
• Al final recibió $S/4200$.
• Ganó $S/4200 - S/4000 = S/200$.

Esa ganancia de $S/200$ es el interés. Como $S/200$ es el $5\%$ de $S/4000$, decimos que la tasa fue de $5\%$ anual.

Este ejemplo tan simple contiene todos los elementos del tema.

1.2 Elementos de la regla de interés

La regla de interés es el conjunto de procedimientos y fórmulas que permiten calcular la ganancia generada por una cantidad de dinero prestada o invertida durante un tiempo.

Sus elementos son:

La relación fundamental entre estos elementos es:

$$M = C + I$$

Es decir, el monto es todo lo que se recibe o se paga al final: el capital más la ganancia.

La tasa de interés siempre debe estar referida a un periodo de tiempo. No es lo mismo $5\%$ anual que $5\%$ mensual. Por eso, en los problemas se especifica: $2\%$ trimestral, $9\%$ anual, $4\%$ mensual, etc.

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Este punto es clave. Muchas dificultades en los exámenes no provienen de no saber la fórmula, sino de no convertir correctamente las unidades.

2.1 Unidades de tiempo

En la regla de interés, el tiempo puede expresarse en años, meses, días, bimestres, trimestres, etc.

En las operaciones comerciales y en los problemas de interés simple, se usa generalmente el año comercial de $360$ días y el mes comercial de $30$ días, a menos que el problema indique lo contrario.

Así, por ejemplo, $1$ año y $3$ meses equivale a:

$$12 + 3 = 15 \text{ meses}$$

2.2 Tasas equivalentes en interés simple

Dos tasas son equivalentes en interés simple si producen la misma ganancia en un mismo tiempo. Como el interés simple es proporcional al tiempo, las tasas se convierten multiplicando o dividiendo por el número de periodos.

Por ejemplo, si un capital genera $3\%$ mensual, entonces en un año genera:

$$3\% \times 12 = 36\% \text{ anual}$$

Por tanto:

$$3\% \text{ mensual} = 6\% \text{ bimestral} = 9\% \text{ trimestral} = 18\% \text{ semestral} = 36\% \text{ anual}$$

Observa que para pasar de una tasa mensual a una trimestral, se multiplica por $3$, porque un trimestre tiene $3$ meses. Para pasar de una tasa trimestral a una anual, se multiplica por $4$, porque un año tiene $4$ trimestres.

Ejemplo.

La tasa $2\%$ trimestral equivale a:

$$2\% \times 4 = 8\% \text{ anual}$$

porque un año tiene $4$ trimestres.

Caso importante. Cuando en un problema se menciona simplemente «una tasa del $25\%$» sin indicar el periodo, se asume que es $25\%$ anual.

No olvides este punto, porque en las preguntas de admisión las tasas muchas veces vienen en trimestres, semestres o bimestres, y el tiempo en años o meses. Antes de operar, hay que unificar las unidades.

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3.1 La idea central del interés simple

El interés es simple cuando el interés producido en cada periodo no se acumula al capital. Es decir, el capital permanece constante durante todo el tiempo que dura la operación.

Ejemplo.

Un capital de $S/5000$ se impone al $10\%$ anual durante $3$ años.

Cada año, el interés es el $10\%$ de $S/5000$:

$$10\% \times 5000 = 500$$

Como el interés simple mantiene el capital constante, cada año se gana $S/500$. Al final de los $3$ años:

$$I = 500 \times 3 = 1500$$

El monto será:

$$M = 5000 + 1500 = 6500$$

Observa que la ganancia de cada periodo es la misma. Esa es la característica fundamental del interés simple.

3.2 Fórmula general

Si un capital $C$ se impone a una tasa $r\%$ por cada periodo, entonces en un solo periodo produce:

$$I = C \times \frac{r}{100}$$

Como en interés simple el capital no cambia, en $t$ periodos se producirá:

$$\boxed{I = C \times \frac{r}{100} \times t}$$

Aquí, $r$ es el número de la tasa y $t$ es el tiempo, ambos referidos a la misma unidad de tiempo.

Si la tasa es mensual, el tiempo debe ir en meses. Si la tasa es trimestral, el tiempo debe ir en trimestres. Si la tasa es anual, el tiempo debe ir en años.

3.3 Fórmulas prácticas cuando la tasa es anual

En la mayoría de problemas, la tasa se expresa como anual. Entonces, según el tiempo, se usan estas fórmulas:

• Si $t$ está en años:

$$I = \frac{C \times r \times t}{100}$$

• Si $t$ está en meses:

$$I = \frac{C \times r \times t}{1200}$$

• Si $t$ está en días:

$$I = \frac{C \times r \times t}{36000}$$

¿De dónde salen los denominadores?

• En meses, $1200 = 100 \times 12$, porque un año tiene $12$ meses.
• En días, $36000 = 100 \times 360$, porque el año comercial tiene $360$ días.

Ejemplo.

Un capital de $S/6000$ se impone al $4\%$ anual. Calculemos el interés para distintos tiempos.

Para $2$ años:

$$I = \frac{6000 \times 4 \times 2}{100} = 480$$

Para $6$ meses:

$$I = \frac{6000 \times 4 \times 6}{1200} = 120$$

Para $90$ días:

$$I = \frac{6000 \times 4 \times 90}{36000} = 60$$

3.4 Monto simple

El monto es la suma del capital más el interés:

$$M = C + I$$

Si la tasa $r\%$ es anual y $t$ está en años:

$$M = C + \frac{C r t}{100}$$

Factorizando:

$$\boxed{M = C\left(1 + \frac{r t}{100}\right)}$$

Si $t$ está en meses:

$$M = C\left(1 + \frac{r t}{1200}\right)$$

Ejemplo.

Un capital de $S/8000$ se impone al $12\%$ anual durante $2$ años.

$$M = 8000\left(1 + \frac{12 \times 2}{100}\right)$$

$$M = 8000(1 + 0.24) = 8000 \times 1.24 = 9920$$

El interés fue:

$$I = 9920 - 8000 = 1920$$

3.5 Despejes importantes

A partir de $I = \frac{C r t}{100}$, se pueden despejar las demás cantidades:

$$C = \frac{100 I}{r t}$$

$$t = \frac{100 I}{C r}$$

$$r = \frac{100 I}{C t}$$

Estas fórmulas son válidas cuando la tasa es anual y el tiempo está en años. Sin embargo, en lugar de memorizarlas todas, lo más recomendable es usar la fórmula general y despejar en cada caso.

Ejemplo.

¿Qué capital, impuesto al $5\%$ anual durante $2$ años, produce un interés de $S/300$?

$$C = \frac{100 \times 300}{5 \times 2} = 3000$$

El capital fue $S/3000$.

3.6 Capital dividido en partes

En muchos problemas de admisión, un capital no se impone completo en una sola operación, sino que se divide en varias partes. Por ejemplo:

• Una parte se deposita en un banco.
• Otra parte se presta a un empresario.
• Otra parte se utiliza para comprar algo.

Cada parte genera su propio interés, con su propia tasa y su propio tiempo. El interés total es simplemente la suma de los intereses de todas las partes:

$$I_{\text{total}} = I_1 + I_2 + I_3 + \cdots$$

La clave para resolver estos problemas es expresar cada parte como fracción del capital original.

Ejemplo.

Un capital $C$ se divide así:

• La cuarta parte se deposita al $8\%$ anual.
• La tercera parte del resto se presta al $9\%$ anual.
• La mitad del nuevo resto se gasta en la compra de un artefacto.

Hallemos, en términos de $C$, cuánto genera en un año.

Primera parte:

$$C_1 = \frac{1}{4}C$$

Su interés anual es:

$$I_1 = \frac{1}{4}C \times \frac{8}{100} = 0.02C$$

Resto:

$$\frac{3}{4}C$$

Segunda parte:

$$C_2 = \frac{1}{3}\times \frac{3}{4}C = \frac{1}{4}C$$

Su interés anual es:

$$I_2 = \frac{1}{4}C \times \frac{9}{100} = 0.0225C$$

Nuevo resto:

$$\frac{3}{4}C - \frac{1}{4}C = \frac{1}{2}C$$

La mitad de ese resto se gasta, es decir:

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}C = \frac{1}{4}C$$

Esa parte no genera interés porque se gastó. Lo que queda no se usa en la operación financiera.

Entonces, el interés total en un año es:

$$I = 0.02C + 0.0225C = 0.0425C$$

Si el problema diera como dato el interés total, podríamos hallar $C$ con una simple ecuación.

3.7 Créditos: el interés se calcula sobre el saldo

Cuando una persona compra al crédito, normalmente paga una cuota inicial y financia el resto. En estos problemas, el interés simple se calcula únicamente sobre el saldo pendiente, no sobre el precio total.

Por ejemplo, si un artículo cuesta $S/5000$, se paga el $40\%$ de cuota inicial y el resto en $4$ meses, el saldo financiado es:

$$5000 - 40\% \times 5000 = 5000 - 2000 = 3000$$

El interés se calcula sobre esos $S/3000$.

Ejemplo.

Un artículo cuesta $S/4000$. Se paga el $50\%$ de inicial y el saldo en $3$ meses al $5\%$ mensual. Hallemos el interés.

Saldo:

$$S = 4000 - 0.50 \times 4000 = 2000$$

Tasa $5\%$ mensual, tiempo $3$ meses:

$$I = 2000 \times \frac{5}{100} \times 3 = 300$$

El pago final por el saldo será:

$$2000 + 300 = 2300$$

El desembolso total será la inicial más ese pago:

$$2000 + 2300 = 4300$$

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4.1 La diferencia con el interés simple

Hasta ahora, en el interés simple, los intereses ganados en cada periodo no se agregan al capital. El capital siempre es el mismo.

En el interés compuesto, en cambio, los intereses ganados en cada periodo se acumulan al capital. Es decir, en el siguiente periodo, los intereses generan nuevos intereses.

Ejemplo.

Un capital de $S/5000$ se deposita al $8\%$ anual con capitalización anual durante $3$ años.

Año 1:

$$I_1 = 8\% \times 5000 = 400$$

Capital al final del año 1:

$$M_1 = 5000 + 400 = 5400$$

Año 2:

$$I_2 = 8\% \times 5400 = 432$$

Capital al final del año 2:

$$M_2 = 5400 + 432 = 5832$$

Año 3:

$$I_3 = 8\% \times 5832 = 466.56$$

Monto final:

$$M_3 = 5832 + 466.56 = 6298.56$$

Observa que el interés ya no es igual en cada periodo: fue $400$, luego $432$, luego $466.56$. El interés crece porque se calcula sobre montos cada vez mayores.

4.2 Fórmula del monto compuesto

Si un capital $C$ se impone a una tasa $r\%$ por periodo, y los intereses se capitalizan durante $n$ periodos, cada periodo el capital se multiplica por:

$$1 + \frac{r}{100}$$

Entonces, al final de $n$ periodos:

$$\boxed{M = C\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n}$$

El interés compuesto será:

$$I = M - C$$

o equivalentemente:

$$\boxed{I = C\left[\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n - 1\right]}$$

En el ejemplo anterior:

$$M = 5000\left(1 + \frac{8}{100}\right)^3$$

$$M = 5000(1.08)^3$$

$$M = 5000 \times 1.259712 = 6298.56$$

Que coincide con el cálculo año por año.

4.3 Comparación entre interés simple e interés compuesto

Retomemos el mismo capital, tasa y tiempo.

Interés simple:

$$I = 5000 \times \frac{8}{100} \times 3 = 1200$$

Monto simple:

$$M = 5000 + 1200 = 6200$$

Interés compuesto:

$$M = 6298.56$$

La diferencia a favor del interés compuesto es:

$$6298.56 - 6200 = 98.56$$

El interés simple crece de manera lineal; el interés compuesto, de manera exponencial.

En el interés simple, el monto aumenta en cantidades iguales cada periodo. En el compuesto, el aumento es cada vez mayor, porque se calcula sobre un capital que ya incluye los intereses anteriores.

Nota importante. En el interés compuesto, la tasa y el número de periodos deben referirse al mismo periodo de capitalización. Si se dice $8\%$ anual capitalizable anualmente, $n$ se cuenta en años. Si se dice $12\%$ anual capitalizable trimestralmente, la tasa por trimestre es $12\%/4 = 3\%$, y $n$ se cuenta en trimestres.

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