Probabilidades II

La idea intuitiva: cambiar el universo

Imagina que lanzas un dado y te dicen:

“Salió un número mayor que 3.”

Antes de esa información, la probabilidad de que sea par era:

$$P(\text{par})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

porque los pares son $2;4;6$.

Pero si ya sabemos que salió un número mayor que $3$, el espacio muestral ya no es $\{1;2;3;4;5;6\}$, sino solamente:

$$B=\{4;5;6\}$$

Dentro de ese nuevo espacio, los pares son $4$ y $6$. Entonces:

$$P(\text{par}|\text{mayor que 3})=\frac{2}{3}$$

La probabilidad cambió porque la condición redujo el espacio muestral.

Eso es exactamente la probabilidad condicional.

Definición formal

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo espacio muestral $\Omega$, con $P(B)>0$.

La probabilidad de que ocurra $A$, dado que ya ocurrió $B$, se denota $P(A|B)$ o $P(A/B)$, y se define:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Cuando el espacio muestral es equiprobable, también puede escribirse:

$$P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$$

Es decir:

• El denominador ya no es el total de casos posibles, sino los casos de $B$.
• El numerador son los casos de $B$ que también pertenecen a $A$.

En el dado:

• $A$: sale par.
• $B$: sale mayor que 3.

$$A\cap B=\{4;6\}$$

$$P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{2}{3}$$

Reducción del espacio muestral

En muchos problemas con datos simples, no hace falta aplicar la fórmula completa; basta reducir mentalmente el espacio muestral al evento que ya se sabe que ocurrió.

Por ejemplo, de una baraja de 52 cartas se extrae una carta y se sabe que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea diamante?

• Hay 26 cartas rojas.
• De ellas, 13 son diamantes.

Entonces:

$$P(\text{diamante}|\text{roja})=\frac{13}{26}=\frac{1}{2}$$

Sin la condición roja, la probabilidad de diamante sería $13/52=1/4$.

Tablas de doble entrada

Muchos ejercicios de admisión se resuelven rápidamente organizando la información en una tabla de doble entrada.

Supongamos que en una muestra de 100 estudiantes hay:

• 55 varones y 45 mujeres.
• 35 varones practican deporte.
• 30 mujeres practican deporte.

Si se elige un estudiante al azar y se sabe que practica deporte, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Aquí el espacio muestral ya no son 100 estudiantes, sino los 65 que practican deporte. De esos 65, 30 son mujeres:

$$P(\text{mujer}|\text{practica deporte})=\frac{30}{65}=\frac{6}{13}$$

Observa que:

$$P(\text{mujer})=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}$$

que es un valor distinto. La condición practica deporte cambió el espacio muestral.

La probabilidad condicional no es conmutativa

En general:

$$P(A|B)\neq P(B|A)$$

No es lo mismo la probabilidad de que una persona sea mujer sabiendo que practica deporte, que la probabilidad de que practique deporte sabiendo que es mujer.

Muchos errores en el examen provienen de intercambiar estos papeles.

De la definición de probabilidad condicional:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

se despeja:

$$P(A\cap B)=P(B)P(A|B)$$

También, simétricamente:

$$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$$

Esta es la regla de la multiplicación, y sirve para calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos en cadena.

Se lee así:

Para que ocurran $A$ y $B$, primero debe ocurrir $B$, y luego, sabiendo que $B$ ocurrió, debe ocurrir $A$.

Ejemplo con extracción sin reposición

Una caja contiene 7 manzanas, 9 peras y 10 naranjas. Se extraen dos frutas al azar, una por una, sin reposición.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea manzana y la segunda sea pera?

• Total inicial: $7+9+10=26$.
• Probabilidad de manzana en la primera: $\frac{7}{26}$.
• Si ya salió una manzana, quedan 25 frutas y aún hay 9 peras.
• Probabilidad de pera en la segunda: $\frac{9}{25}$.

Entonces:

$$P(\text{manzana y pera}) = \frac{7}{26}\cdot\frac{9}{25}$$

Aquí la segunda probabilidad es condicional: $P(\text{pera en 2.ª}|\text{manzana en 1.ª})$.

Extensión a tres o más eventos

La regla se generaliza:

$$P(A\cap B\cap C) = P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B)$$

Para tres eventos sucesivos sin reposición, el denominador disminuye en cada etapa.

Definición

Dos eventos $A$ y $B$ son independientes si la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro.

En términos de probabilidad condicional:

$$P(A|B)=P(A)$$

y también:

$$P(B|A)=P(B)$$

Equivalentemente, $A$ y $B$ son independientes si:

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

Esta última igualdad es la más práctica para verificar independencia.

Ejemplo

Al lanzar dos veces una moneda, el resultado del primer lanzamiento no influye en el segundo. Si $A$ es “cara en el primer lanzamiento” y $B$ es “cara en el segundo”:

$$P(A)=\frac{1}{2},\qquad P(B)=\frac{1}{2}$$

$$P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

Los eventos son independientes.

Independencia y condicional

La independencia se puede leer así:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A)$$

Si saber que $B$ ocurrió no cambia la probabilidad de $A$, entonces $A$ y $B$ son independientes.

Por ejemplo, al lanzar un dado:

• $A$: sale par.
• $B$: sale un número mayor que 2.

$$A=\{2;4;6\}$$

$$B=\{3;4;5;6\}$$

$$A\cap B=\{4;6\}$$

$$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

$$P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

$$P(A\cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

$$P(A)P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$

Entonces $A$ y $B$ son independientes, aunque no sea evidente a simple vista.

Independencia no es exclusión

Es muy importante no confundir eventos independientes con eventos mutuamente excluyentes.

Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes y ambos tienen probabilidad positiva, entonces:

$$P(A|B)=0\neq P(A)$$

por lo que no son independientes.

Complementos de eventos independientes

Si $A$ y $B$ son independientes, entonces también son independientes:

• $A$ y $B^c$
• $A^c$ y $B$
• $A^c$ y $B^c$

Esto es muy útil para resolver problemas de “exactamente dos” o “al menos uno”.

Exactamente dos de tres eventos independientes

Si $A,B,C$ son independientes, la probabilidad de que ocurran exactamente dos de ellos es:

$$P(A\cap B\cap C^c) + P(A\cap B^c\cap C) + P(A^c\cap B\cap C)$$

Cada sumando se calcula multiplicando las probabilidades de los tres eventos, usando el complemento para el que no ocurre.

Muchas veces, un evento $A$ puede ocurrir por varias vías o causas diferentes.

Por ejemplo, un alumno puede aprobar un examen porque estudió o, con menor probabilidad, sin haber estudiado. La probabilidad total de aprobar debe considerar ambas rutas.

Partición del espacio muestral

Supongamos que los eventos $B_1,B_2,\dots,B_n$ forman una partición de $\Omega$, es decir:

1. Son mutuamente excluyentes:

$$B_i\cap B_j=\emptyset \quad \text{si } i\neq j$$

2. Cubren todo el espacio muestral:

$$B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n=\Omega$$

Entonces, para cualquier evento $A$:

$$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) +\cdots+ P(A|B_n)P(B_n)$$

Esta fórmula se llama probabilidad total.

Caso particular más usado en admisión

Si solo hay dos causas $B$ y $B^c$:

$$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$$

Ejemplo

Una fábrica tiene dos máquinas:

• La máquina $A$ produce el 60% de los artículos.
• La máquina $B$ produce el 40% restante.
• La máquina $A$ produce 2% de defectuosos.
• La máquina $B$ produce 5% de defectuosos.

Se elige un artículo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

Definimos:

• $A$: el artículo proviene de la máquina $A$.
• $B$: el artículo proviene de la máquina $B$.
• $D$: el artículo es defectuoso.

$$P(A)=0{,}60,\qquad P(B)=0{,}40$$

$$P(D|A)=0{,}02,\qquad P(D|B)=0{,}05$$

Por probabilidad total:

$$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B)$$

$$P(D) = 0{,}02\cdot0{,}60 + 0{,}05\cdot0{,}40$$

$$P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$$

La probabilidad de elegir un artículo defectuoso es $3{,}2\%$.

Diagrama de árbol

En problemas de probabilidad total conviene dibujar un árbol:

La probabilidad total de un resultado final se obtiene sumando las probabilidades de todos los caminos que llevan a ese resultado.

El teorema de Bayes permite responder la pregunta inversa:

Ya sabemos que ocurrió el evento $A$. ¿Cuál es la probabilidad de que haya ocurrido por la causa $B_i$?

Es decir, convierte $P(A|B_i)$ en $P(B_i|A)$.

Fórmula

Si $B_1,B_2,\dots,B_n$ es una partición del espacio muestral, entonces:

$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}$$

donde $P(A)$ se calcula por probabilidad total:

$$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) +\cdots+ P(A|B_n)P(B_n)$$

Por lo tanto:

$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)} {P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)}$$

Caso con dos hipótesis

Si solo hay dos causas $B$ y $B^c$:

$$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)} {P(A|B)P(B)+P(A|B^c)P(B^c)}$$

Ejemplo

Con el ejemplo anterior de las máquinas:

Si se elige un artículo y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina $B$?

Ya calculamos:

$$P(D)=0{,}032$$

El camino en el que $B$ produce un artículo defectuoso es:

$$P(D|B)P(B) = 0{,}05\cdot0{,}40 = 0{,}020$$

Entonces:

$$P(B|D) = \frac{P(D|B)P(B)}{P(D)} = \frac{0{,}020}{0{,}032} = \frac{5}{8}$$

$$P(B|D)=0{,}625$$

Es decir, aunque la máquina $B$ produce solo el 40% de los artículos, entre los defectuosos el $62{,}5\%$ proviene de $B$, porque su tasa de defectos es mayor.

¿Por qué no es lo mismo $P(A|B)$ que $P(B|A)$?

En el ejemplo:

$$P(D|B)=0{,}05$$

pero:

$$P(B|D)=0{,}625$$

Son completamente distintas:

• $P(D|B)$ responde: si el artículo proviene de $B$, ¿qué probabilidad hay de que sea defectuoso?
• $P(B|D)$ responde: si el artículo es defectuoso, ¿qué probabilidad hay de que haya sido producido por $B$?

Método de resolución para problemas de Bayes

1. Identifica el evento observado $A$ y las causas o hipótesis $B_i$.
2. Escribe las probabilidades previas $P(B_i)$.
3. Escribe las condicionales $P(A|B_i)$.
4. Calcula $P(A)$ por probabilidad total.
5. Aplica Bayes para hallar $P(B_i|A)$.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria $X$ es una regla que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio.

Se llama discreta si solo puede tomar valores aislados, como $0,1,2,3,\dots$

Por ejemplo:

• Lanzar dos monedas y contar el número de caras.
• Extraer tres frutas y contar cuántas son naranjas.
• Lanzar un dado y observar el puntaje.

Función de probabilidad

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ es:

$$f(x)=P(X=x)$$

Es decir, asigna a cada valor posible $x$ la probabilidad de que $X$ tome ese valor.

Toda función de probabilidad debe cumplir:

1. No negatividad:

$$f(x)\ge 0$$

2. La suma de todas las probabilidades es igual a 1:

$$\sum f(x)=1$$

Ejemplo básico

Se lanzan dos monedas y se define:

$$X=\text{número de caras obtenidas}$$

Los resultados posibles son:

$$CC,\quad CS,\quad SC,\quad SS$$

Entonces:

La suma de probabilidades es:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$$

Construcción de una distribución de probabilidad

Una urna tiene 3 bolas rojas y 5 azules. Se extraen 2 bolas sin reposición.

Definimos:

$$X=\text{número de bolas rojas extraídas}$$

Los valores posibles de $X$ son $0,1,2$.

Total de parejas posibles:

$$C(8,2)=28$$

• $X=0$: ambas azules.

$$P(X=0)=\frac{C(5,2)}{C(8,2)}=\frac{10}{28}$$

• $X=1$: una roja y una azul.

$$P(X=1)=\frac{C(3,1)\;C(5,1)}{C(8,2)} = \frac{15}{28}$$

• $X=2$: ambas rojas.

$$P(X=2)=\frac{C(3,2)}{C(8,2)}=\frac{3}{28}$$

Comprobamos:

$$\frac{10}{28}+\frac{15}{28}+\frac{3}{28} = 1$$

Probabilidades acumuladas

De la función de probabilidad se pueden calcular probabilidades de intervalos sumando valores.

Por ejemplo:

$$P(X\le 1) = P(X=0)+P(X=1) = \frac{10}{28}+\frac{15}{28} = \frac{25}{28}$$

Hallar una constante desconocida

Si se sabe que:

$$P(X=x)=cx,\qquad x=1,2,3,4$$

entonces:

$$c(1+2+3+4)=1$$

$$10c=1$$

$$c=\frac{1}{10}$$

Definición

La esperanza matemática, esperanza o valor esperado de una variable aleatoria discreta $X$, denotada $E(X)$ o $\mu$, se define como:

$$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i)$$

Es decir, se multiplica cada valor posible por su probabilidad y se suman todos los productos.

Interpretación

La esperanza matemática es un promedio ponderado de los valores posibles de $X$. Representa el valor que se espera obtener en promedio a largo plazo si el experimento se repite muchas veces.

No necesariamente es uno de los valores posibles.

Ejemplo con un dado

Si $X$ es el puntaje al lanzar un dado equilibrado:

$$P(X=1)=P(X=2)=\cdots=P(X=6)=\frac{1}{6}$$

Entonces:

$$E(X) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} +\cdots+ 6\cdot\frac{1}{6}$$

$$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$$

Ningún lanzamiento produce $3{,}5$, pero a la larga el promedio de los puntajes tiende a $3{,}5$.

Esperanza de una ganancia

En problemas de juegos, la variable aleatoria suele ser la ganancia o pérdida de dinero.

Por ejemplo, un juego cuesta $S/5$ por jugar. Se lanza un dado:

• Si sale 6, se ganan $S/20$.
• Si sale 1, se ganan $S/3$.
• Si sale otro número, no se gana nada.

La ganancia neta $G$ es:

• Sale 6: $20-5=15$
• Sale 1: $3-5=-2$
• Sale 2, 3, 4 o 5: $0-5=-5$

Entonces:

$$P(G=15)=\frac{1}{6}$$

$$P(G=-2)=\frac{1}{6}$$

$$P(G=-5)=\frac{4}{6}$$

La esperanza de la ganancia neta es:

$$E(G) = 15\cdot\frac{1}{6} + (-2)\cdot\frac{1}{6} + (-5)\cdot\frac{4}{6}$$

$$E(G) = \frac{15}{6} -\frac{2}{6} -\frac{20}{6} = -\frac{7}{6}$$

Es decir, el jugador espera perder en promedio $S/1{,}17$ por partida.

Juego justo

Un juego se llama justo si la esperanza de la ganancia neta es cero:

$$E(G)=0$$

Si $E(G)>0$, el juego es favorable al jugador; si $E(G)<0$, es desfavorable.

Propiedad de linealidad

Si $a$ y $b$ son constantes:

$$E(aX+b)=aE(X)+b$$

Esto simplifica muchos cálculos: si los premios se multiplican por una constante o se suma una cuota fija, la esperanza cambia de forma predecible.