Operaciones Básicas

Para representar situaciones como “debo 15 soles”, “el termómetro marca 5 grados bajo cero” o “el ascensor bajó 3 pisos”, necesitamos números con signo: los números enteros.

El conjunto de los números enteros se denota por $\mathbb{Z}$ e incluye:

• Los enteros positivos $\mathbb{Z}^+$: $+1, +2, +3, \dots$
• Los enteros negativos $\mathbb{Z}^-$: $-1, -2, -3, \dots$
• El cero, que no es positivo ni negativo.

Algunas convenciones muy importantes:

• Si un número no tiene signo escrito, se asume que es positivo. Así, $7$ es lo mismo que $+7$.
• El cero no tiene signo.
• En la recta numérica, los positivos están a la derecha del cero y los negativos a la izquierda.

La recta numérica nos permite comparar números enteros:

• Todo número positivo es mayor que cero.
• Todo número negativo es menor que cero.
• Entre dos números negativos, es mayor el que está más cerca del cero. Por ejemplo, $-5 < -2$, porque $-5$ está más a la izquierda que $-2$.

Esta idea de comparación es fundamental para entender la “diferencia positiva” entre temperaturas.

La adición o suma es la operación que combina dos o más cantidades. Con números enteros, el signo indica si la cantidad es a favor o en contra, si sube o baja, si gana o pierde.

Caso 1: signos iguales

Cuando sumamos dos números del mismo signo, sumamos sus valores absolutos y conservamos el signo común.

Ejemplos:

• $+4 + +9 = +13$
• $-5 + -3 = -8$
• $-15 + 7$ no es este caso porque los signos son diferentes.

Justificación: si pierdes 5 soles y luego pierdes 3 soles, en total perdiste 8 soles. Ambas cantidades “van en la misma dirección”.

Caso 2: signos diferentes

Cuando sumamos dos números de signos diferentes, restamos sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y colocamos el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplos:

• $-15 + +7 = -8$, porque $15 - 7 = 8$ y el número con mayor valor absoluto es $-15$, de signo negativo.
• $+12 + -5 = +7$, porque $12 - 5 = 7$ y el mayor valor absoluto es $+12$.
• $-6 + +10 = +4$, porque $10 - 6 = 4$ y gana el signo positivo de $+10$.

Interpretación: si tienes una deuda de 15 soles y luego ganas 7 soles, todavía debes 8 soles. Si tienes 12 soles y debes 5, te quedan 7.

Propiedades de la adición

Las siguientes propiedades son útiles para simplificar cálculos:

• Conmutativa: el orden no altera la suma. $a + b = b + a$.
  Ejemplo: $7 + (-3) = -3 + 7 = 4$.

• Asociativa: al sumar tres o más números, podemos agruparlos de distintas maneras.
  Ejemplo: $(2 + 5) + (-3) = 2 + (5 + (-3)) = 4$.

• Elemento neutro: sumar cero no cambia el número. $a + 0 = a$.

• Elemento inverso u opuesto: todo número entero tiene un opuesto que, sumado con él, da cero.
  Ejemplo: $7 + (-7) = 0$; $(-4) + 4 = 0$.

La sustracción o resta es la operación inversa de la adición. La idea clave para no equivocarse es:

$$a - b = a + (-b)$$

Es decir, restar un número es sumar su opuesto. Esto convierte la sustracción en una adición y nos permite aplicar las reglas de la sección anterior.

Ejemplos:

• $9 - 5 = 9 + (-5) = 4$
• $7 - 10 = 7 + (-10) = -3$
• $8 - (-3) = 8 + (+3) = 11$
• $-6 - (-4) = -6 + (+4) = -2$
• $-5 - 3 = -5 + (-3) = -8$

Observa que cuando hay dos signos negativos seguidos, como en $8 - (-3)$, se transforman en una suma: $8 + 3$.

Signos de agrupación y sustracción

Cuando aparecen paréntesis, corchetes o llaves, el signo que está delante de un signo de agrupación afecta a todo lo que hay dentro. En particular, si un signo menos precede a un paréntesis, todo lo que está dentro cambia de signo al retirar el paréntesis.

Ejemplo:

$$12 - (3 + 5) = 12 - 8 = 4$$

Pero si aplicamos la regla de cambio de signo:

$$12 - (3 + 5) = 12 - 3 - 5 = 4$$

Ambos caminos son válidos. El segundo es muy útil cuando hay variables o cuando queremos simplificar.

Otro ejemplo:

$$-( -4 + 7 ) = +4 - 7 = -3$$

Multiplicar números enteros consiste en multiplicar los valores absolutos y luego aplicar la ley de signos.

Ley de signos para la multiplicación

La regla es:

Ejemplos:

• $(-7)(+9) = -63$
• $(-3)(-9) = +27 = 27$
• $(11)(8) = 88$
• $(-7)(4) = -28$

¿Por qué menos por menos da más? Una forma intuitiva es pensar en la multiplicación como una suma repetida. Por ejemplo, $3 \times 5$ significa sumar $5$ tres veces: $5 + 5 + 5 = 15$. Si multiplicamos $3 \times (-5)$, sumamos $-5$ tres veces: $-5 + -5 + -5 = -15$. Si multiplicamos $-3 \times 5$, restamos $5$ tres veces: $-(5 + 5 + 5) = -15$. Ahora, $-3 \times (-5)$ significa restar $-5$ tres veces, es decir, quitar tres deudas de 5 soles, lo que equivale a ganar 15 soles: $+15$. Por eso, $(-)(-) = (+)$.

Propiedades de la multiplicación

• Conmutativa: $a \times b = b \times a$.
  Ejemplo: $4 \times (-3) = -3 \times 4 = -12$.

• Asociativa: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
  Ejemplo: $(2 \times 3) \times (-4) = 6 \times (-4) = -24$; también $2 \times (3 \times (-4)) = 2 \times (-12) = -24$.

• Distributiva respecto de la adición: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$.
  Ejemplo: $3 \times (4 + (-2)) = 3 \times 4 + 3 \times (-2) = 12 - 6 = 6$.

• Elemento neutro: multiplicar por 1 no cambia el número. $a \times 1 = a$.

• Factor cero: todo número multiplicado por cero es cero. $a \times 0 = 0$.

La división es la operación inversa de la multiplicación. Si $a \div b = c$, entonces $b \times c = a$. Por ejemplo, $20 \div 4 = 5$ porque $4 \times 5 = 20$.

Ley de signos para la división

La ley de signos es la misma que en la multiplicación:

Ejemplos:

• $(-28) \div (-4) = +7 = 7$
• $(-12) \div 6 = -2$
• $16 \div (-2) = -8$
• $39 \div 3 = 13$

Importante: la división entre cero no está definida. No se puede dividir $5 \div 0$.

División exacta y división con residuo

En los problemas contextuales no siempre la división es exacta. A veces sobran elementos.

Dados dos números enteros positivos $a$ (dividendo) y $b$ (divisor), siempre existen un cociente $q$ y un residuo $r$ tales que:

$$a = b \times q + r, \quad \text{con } 0 \le r < b$$

Ejemplo: si queremos repartir 20 caramelos entre 6 niños, cada niño recibe 3 caramelos y sobran 2, porque:

$$20 = 6 \times 3 + 2$$

Aquí $q = 3$ y $r = 2$. El residuo siempre debe ser menor que el divisor.

Esta noción es clave en problemas de empaquetado o distribución. Por ejemplo, si 820 estudiantes se distribuyen en aulas de 75 participantes, no se obtiene un número exacto:

$$820 = 75 \times 10 + 70$$

Esto significa que 10 aulas se llenan con 75 personas y sobran 70 personas, que no completan otra aula. Si se quiere que todos tengan lugar, se necesita una aula adicional, es decir, 11 aulas en total.

Otro ejemplo: si se tienen 100 manzanas y se quieren empaquetar en bolsas de 8, la división es:

$$100 = 8 \times 12 + 4$$

Hay 12 bolsas llenas y sobran 4 manzanas. Si se desea empacar todas las manzanas, se necesitan $12 + 1 = 13$ bolsas, porque las 4 sobrantes también requieren una bolsa, aunque no esté llena.

Cuando una expresión contiene varias operaciones, se debe seguir una jerarquía para obtener el resultado correcto.

Jerarquía de operaciones

El orden es el siguiente:

1. Operaciones dentro de signos de agrupación: paréntesis $( )$, corchetes $[ ]$, llaves $\{ \}$.
2. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
3. Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

Ejemplo:

$$3 + 4 \times 5$$

Primero se multiplica: $4 \times 5 = 20$, luego se suma: $3 + 20 = 23$. Si se hiciera al revés, se obtendría $7 \times 5 = 35$, que es incorrecto.

Con paréntesis:

$$(3 + 4) \times 5 = 7 \times 5 = 35$$

Aquí el paréntesis obliga a sumar primero.

Signos de agrupación anidados

Cuando hay corchetes o llaves, se resuelven de adentro hacia afuera.

Ejemplo:

$$M = -2 - [-6 + (-8) \div (-4) - (+9 - 7)]$$

Primero resolvemos el paréntesis interior $(+9 - 7) = 2$:

$$M = -2 - [-6 + (-8) \div (-4) - 2]$$

Luego la división $(-8) \div (-4) = 2$:

$$M = -2 - [-6 + 2 - 2]$$

Ahora el corchete: $-6 + 2 - 2 = -6$:

$$M = -2 - (-6)$$

Finalmente, restar $-6$ es sumar $+6$:

$$M = -2 + 6 = 4$$

Uno de los mayores retos en los problemas contextualizados es traducir palabras a operaciones. La siguiente tabla muestra las expresiones más frecuentes y su significado aritmético.

Regla de oro: lee la frase completa y determina si la cantidad aumenta, disminuye, se repite o se reparte. No traduzcas palabra por palabra sin entender la relación.

“Más que” y “menos que”

• “8 más que un número $x$” se escribe $x + 8$.
• “8 menos que un número $x$” se escribe $x - 8$.

El error más común es escribir $8 - x$ en lugar de $x - 8$, porque se invierte el orden.

“El doble de la suma”

La expresión “el doble de la suma de A y B” se traduce como $2(A + B)$. Primero se suma y luego se multiplica. Si se escribiera $2A + B$, se estaría duplicando solo $A$, lo cual es incorrecto.

“Diferencia positiva”

La diferencia positiva entre dos números es el mayor menos el menor. Por ejemplo, la diferencia positiva entre $-5$ y $-12$ es:

$$(-5) - (-12) = -5 + 12 = 7$$

A continuación se explican los contextos más frecuentes en los problemas de admisión y cómo abordarlos.

Compras y vuelto

En estos problemas se conoce el dinero disponible, los productos comprados y sus precios. El objetivo suele ser calcular el gasto total o el vuelto.

Estrategia:

1. Calcular el gasto de cada producto multiplicando la cantidad por el precio unitario.
2. Sumar todos los gastos.
3. Si se paga con una cantidad mayor, restar el gasto total del dinero pagado.

Ejemplo breve: si compras 3 kg de azúcar a S/2 por kg y pagas con S/20, el gasto es $3 \times 2 = 6$ soles, y el vuelto es $20 - 6 = 14$ soles.

Temperaturas

Las temperaturas bajo cero se representan con números negativos. Un problema típico pide calcular la temperatura final después de subir o bajar cierta cantidad.

Estrategia:

• Identificar la temperatura inicial.
• Si sube, sumar la cantidad de grados.
• Si baja, restar la cantidad de grados.

Ejemplo breve: si la temperatura es $-12^\circ$C y sube $7^\circ$C, la temperatura final es $-12 + 7 = -5^\circ$C.

Edades

Los problemas de edades usan comparaciones: “mayor que”, “menor que”, “la suma”, “el doble”. A menudo hay que ir calculando una edad a la vez.

Estrategia:

• Asignar la edad conocida a una persona.
• Aplicar las relaciones en orden: “Brandon es 8 años menor que Andrea” significa restar 8.
• Seguir las instrucciones hasta obtener la edad pedida.

Producción y trabajo

En estos problemas se conoce la cantidad producida por unidad de tiempo y se pide el total producido en una jornada.

Estrategia:

• Convertir todas las cantidades a la misma unidad de tiempo (por ejemplo, minutos a horas, o viceversa).
• Calcular la producción de cada máquina o de cada turno multiplicando la tasa por el tiempo.
• Sumar los resultados.

Reparto y empaquetado

Aquí se divide una cantidad total entre una capacidad fija (personas por aula, unidades por caja, etc.). Cuando la división no es exacta, hay que decidir si el residuo se deja suelto o si se necesita una unidad adicional.

Estrategia:

• Dividir el total entre la capacidad de cada grupo.
• Si el residuo es cero, el cociente es la respuesta.
• Si el residuo es mayor que cero, considerar si se pregunta por “grupos completos” o por el número total de grupos necesarios. Para el total de grupos, se suma 1 al cociente.

Un método ordenado evita errores. Sugerimos estos pasos:

1. Lee el problema completo y determina qué se pide.
2. Identifica los datos numéricos y las relaciones entre ellos.
3. Traduce cada frase a una operación aritmética.
4. Ejecuta las operaciones respetando la jerarquía y la ley de signos.
5. Interpreta el resultado en el contexto: no es lo mismo “10 aulas” que “10 aulas completas y 70 personas sobrantes”.
6. Verifica si la respuesta tiene sentido (por ejemplo, un vuelto no puede ser negativo).