Cuatro operaciones fundamentales II

1.1 Idea intuitiva y definición

La multiplicación es una suma abreviada. Por ejemplo,

$$7 \times 5$$

significa sumar $5$ siete veces:

$$5+5+5+5+5+5+5 = 35.$$

También puede interpretarse como el número total de elementos de un arreglo rectangular: si hay $7$ filas y $5$ columnas, hay $7 \times 5 = 35$ elementos.

En una multiplicación:

$$a \times b = P$$

llamamos:

• factores a $a$ y $b$;
• multiplicando al primer factor;
• multiplicador al segundo factor;
• producto al resultado $P$.

En adelante, usaremos con frecuencia la palabra factores para referirnos a los dos números que se multiplican.

1.2 Propiedades básicas de la multiplicación

Las propiedades más importantes son:

1. Clausura: el producto de dos números enteros siempre es un entero.
2. Conmutativa: $a \times b = b \times a$.
   Ejemplo: $6 \times 9 = 9 \times 6 = 54$.
3. Asociativa: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
   Ejemplo: $(2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4)$.
4. Elemento neutro: $a \times 1 = a$.
5. Factor cero: $a \times 0 = 0$.
6. Distributiva con respecto a la adición y a la sustracción:
   $$a \times (b+c)=a \times b + a \times c,$$ $$a \times (b-c)=a \times b - a \times c.$$

La propiedad distributiva es la que justifica, precisamente, el algoritmo de los productos parciales.

1.3 Algoritmo de la multiplicación y productos parciales

Cuando multiplicamos dos números, por ejemplo

$$345 \times 278,$$

el número $278$ se descompone usando su valor posicional:

$$278 = 200 + 70 + 8.$$

Por lo tanto,

$$345 \times 278 = 345 \times (200 + 70 + 8).$$

Aplicando la propiedad distributiva:

$$345 \times 278 = 345 \times 200 + 345 \times 70 + 345 \times 8.$$

Cada uno de estos tres productos recibe el nombre de producto parcial:

$$345 \times 8 = 2760,$$ $$345 \times 70 = 24\,150,$$ $$345 \times 200 = 69\,000.$$

Sumando los productos parciales:

$$2760 + 24\,150 + 69\,000 = 95\,910.$$

Por lo tanto,

$$345 \times 278 = 95\,910.$$

En la práctica, la multiplicación se escribe en forma vertical. Los productos parciales se colocan uno debajo de otro, desplazados hacia la izquierda según la posición de la cifra del multiplicador:

El desplazamiento hacia la izquierda equivale a multiplicar por $10$, $100$, $1000$, etc. Por eso:

• multiplicar por la cifra de las unidades no desplaza;
• multiplicar por la cifra de las decenas desplaza un lugar;
• multiplicar por la cifra de las centenas desplaza dos lugares.

Si el multiplicador tiene un cero intermedio, se omite ese producto parcial o se deja el espacio correspondiente. Por ejemplo, al multiplicar por $207$, los productos parciales provienen de $7$ y de $200$; no hay producto parcial proveniente de las decenas porque vale $0$.

Cuando los factores terminan en ceros, conviene multiplicar solo las cifras significativas y añadir al final todos los ceros. Ejemplo:

$$2300 \times 120 = (23 \times 12) \times 1000 = 276 \times 1000 = 276\,000.$$

1.4 Problemas con alteración de factores

Muchos problemas de admisión no piden multiplicar directamente, sino que plantean situaciones como: si cada factor aumenta una cierta cantidad, ¿cuánto aumenta el producto?

Para resolverlos, conviene dominar la forma algebraica del producto.

Sean $a$ y $b$ los factores originales. El producto original es

$$P = ab.$$

Si ambos factores aumentan $n$ unidades, los nuevos factores son $a+n$ y $b+n$. El nuevo producto es

$$P' = (a+n)(b+n).$$

Desarrollando con la propiedad distributiva:

$$P' = ab + an + bn + n^2 = ab + n(a+b) + n^2.$$

El aumento del producto es:

$$P' - P = n(a+b) + n^2.$$

Esta expresión permite hallar la suma de los factores si se conoce el aumento del producto.

Ejemplo breve:
Si un producto original es $72$ y al aumentar cada factor en $3$ el producto aumenta en $99$, ¿cuál es la suma de los factores?

Planteamos:

$$99 = 3(a+b) + 3^2,$$ $$99 = 3(a+b) + 9,$$ $$90 = 3(a+b),$$ $$a+b = 30.$$

Este tipo de razonamiento se aplica también cuando solo uno de los factores cambia. Si $a$ aumenta en $x$ y $b$ no cambia, el producto aumenta en $xb$.

2.1 Idea intuitiva y definición formal

Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Si repartimos $50$ caramelos entre $7$ niños, cada niño recibe $7$ caramelos y sobran $1$. Esta idea se expresa mediante la división entera:

$$50 = 7 \times 7 + 1.$$

En general, dados dos números enteros $D$ (dividendo) y $d$ (divisor), con $d \neq 0$, la división entera consiste en encontrar dos enteros $q$ (cociente) y $r$ (residuo) tales que:

$$D = d \cdot q + r,$$

con

$$0 \le r < d.$$

Esta igualdad se llama algoritmo de la división o división euclídea. Es la base de la aritmética y de la divisibilidad.

En los problemas usuales del curso trabajaremos con $D$, $d$, $q$ y $r$ enteros positivos, salvo el residuo, que puede ser $0$.

Los elementos son:

• Dividendo $D$: cantidad que se reparte.
• Divisor $d$: número de partes en que se reparte.
• Cociente $q$: lo que corresponde a cada parte.
• Residuo $r$: lo que sobra.

La condición $0 \le r < d$ es fundamental: el residuo siempre debe ser menor que el divisor.

2.2 División exacta e inexacta: residuo máximo y mínimo

Si el residuo es $0$, la división es exacta:

$$D = d \cdot q.$$

Si el residuo es mayor que $0$, la división es inexacta.

En una división inexacta, el residuo puede tomar valores desde $1$ hasta $d-1$. Por lo tanto:

$$r_{\text{mín}} = 1,$$ $$r_{\text{máx}} = d-1.$$

Ejemplo: En una división entre $9$, el residuo puede ser $1,2,3,\ldots,8$. El residuo máximo es $8$ y el mínimo es $1$.

Muchos problemas describen el residuo con frases como:

• «Al residuo le faltan $a$ unidades para ser máximo».
  Esto significa: $$r + a = d - 1.$$

• «Al residuo le sobran $b$ unidades para ser mínimo».
  Esto significa: $$r - b = 1.$$

Ejemplo breve: Si en una división inexacta al residuo le faltan $5$ para ser máximo y le sobran $2$ para ser mínimo, entonces:

$$r + 5 = d - 1,$$ $$r - 2 = 1.$$

De la segunda ecuación, $r = 3$. Sustituyendo en la primera:

$$3 + 5 = d - 1,$$ $$d = 9.$$

Así, la división tiene divisor $9$ y residuo $3$.

2.3 División por defecto y por exceso

Al repartir una cantidad en partes iguales, podemos expresar la división de dos maneras:

• Por defecto: se reparte de modo que el residuo sea lo que sobra.
  $$D = d \cdot q + r.$$

• Por exceso: se aumenta el cociente en una unidad y se considera cuánto falta para completar la parte siguiente.
  $$D = d \cdot (q+1) - r^*.$$

Aquí $r^*$ es el residuo por exceso, es decir, lo que falta para que el cociente sea $q+1$.

Ejemplo: $50 \div 7$:

• Por defecto: $50 = 7 \times 7 + 1$.
  El cociente es $7$ y el residuo por defecto es $1$.
• Por exceso: $50 = 7 \times 8 - 6$.
  El cociente por exceso es $8$ y el residuo por exceso es $6$.

La relación fundamental entre ambos residuos es:

$$r + r^* = d.$$

En el ejemplo:

$$1 + 6 = 7.$$

Esta propiedad es muy útil en problemas en los que se da la suma o la diferencia de los residuos por defecto y exceso.

Caso práctico:
Si nos dicen que la suma del residuo por defecto y por exceso es $40$, entonces inmediatamente sabemos que el divisor es $40$. Si además se da la diferencia de ambos residuos, podemos hallar cada uno resolviendo un sistema de dos ecuaciones.

2.4 Alteraciones del dividendo y del divisor

Un tipo de problema frecuente es aquel en el que un número se divide incorrectamente porque se cambia una cifra del dividendo o del divisor.

La idea central es comparar las dos divisiones.

Supongamos que la división verdadera es:

$$D_1 = d \cdot q_1 + r.$$

Y la división errónea, con el mismo divisor y el mismo residuo, es:

$$D_2 = d \cdot q_2 + r.$$

Restando ambas igualdades:

$$D_1 - D_2 = d(q_1 - q_2).$$

Es decir, la diferencia entre los dividendos es un múltiplo del divisor, y la variación del cociente multiplicada por el divisor da esa diferencia.

Ejemplo breve:
Se debía dividir $8425$ entre cierto número, pero un estudiante cambió el $4$ por $0$, obteniendo $8025$. Si el cociente obtenido es $4$ unidades menor y el residuo es el mismo, halle el divisor.

La diferencia entre los dividendos es:

$$8425 - 8025 = 400.$$

Como el cociente disminuyó en $4$ y el residuo no cambió,

$$400 = d \times 4.$$

Por lo tanto,

$$d = 100.$$

Este mismo razonamiento se aplica cuando cambia el divisor, aunque en ese caso conviene plantear las igualdades y comparar.

También es importante la propiedad:

Si el dividendo y el divisor se multiplican o dividen por una misma cantidad, el cociente no cambia y el residuo queda multiplicado o dividido por esa misma cantidad.

Por ejemplo, si

$$50 = 7 \times 7 + 1,$$

multiplicando todo por $3$:

$$150 = 21 \times 7 + 3.$$

El cociente sigue siendo $7$, el divisor se multiplicó por $3$ y el residuo también se multiplicó por $3$.

2.5 Repartos equitativos y problemas de aplicación

En los problemas de reparto, la división entera se interpreta así:

$$\text{total} = \text{número de partes} \times \text{lo que toca a cada parte} + \text{sobrante}.$$

Si se modifica el total repartido, se pueden plantear dos divisiones y restarlas.

Ejemplo general:
En un reparto, cada persona recibe $c$ unidades y sobran $r$. Si el lote total hubiera aumentado en $A$, cada persona habría recibido $c + k$ unidades y habrían sobrado $r'$. Para hallar el número de personas $n$, planteamos:

$$D = n \cdot c + r,$$ $$D + A = n \cdot (c+k) + r'.$$

Restando:

$$A = n \cdot k + (r' - r).$$

De aquí se despeja $n$.

Esta forma de razonar es exactamente la que se evaluó en un problema reciente de admisión.

3.1 Definición y método básico

Un número entero positivo $N$ tiene $k$ cifras si se cumple:

$$10^{k-1} \le N < 10^k.$$

Por ejemplo, $N = 345$ tiene $3$ cifras porque:

$$10^2 = 100 \le 345 < 10^3 = 1000.$$

Podemos razonar así: la cantidad de cifras de un número es uno más que el exponente de la mayor potencia de $10$ que no lo supera.

Tabla útil:

Un error frecuente es creer que $10^k$ tiene $k$ cifras. En realidad, $10^k$ tiene $k+1$ cifras: $10^3 = 1000$ tiene $4$ cifras.

3.2 Cantidad de cifras de un producto

A menudo interesa saber cuántas cifras tendrá el producto de dos números sin calcularlo completamente.

Sean $A$ un número de $m$ cifras y $B$ un número de $n$ cifras. Entonces:

$$10^{m-1} \le A < 10^m,$$ $$10^{n-1} \le B < 10^n.$$

Multiplicando las desigualdades:

$$10^{m+n-2} \le A \times B < 10^{m+n}.$$

Esto nos dice que el producto $A \times B$ puede tener:

$$m+n-1 \quad \text{o} \quad m+n$$

cifras.

Para decidir cuál de las dos posibilidades es la correcta, comparamos $A \times B$ con $10^{m+n-1}$.

En la práctica, se compara el producto de las primeras cifras significativas.

Ejemplo breve:
¿Cuántas cifras tiene $250 \times 400$?

• $250$ tiene $3$ cifras.
• $400$ tiene $3$ cifras.

Las posibilidades son $3+3-1=5$ o $3+3=6$ cifras.

Evaluamos si el producto llega a $10^{3+3-1}=10^5=100\,000$.

$$250 \times 400 = 100\,000.$$

Como es igual a $10^5$, tiene $6$ cifras.

Ejemplo breve:
¿Cuántas cifras tiene $200 \times 300$?

$$200 \times 300 = 60\,000.$$

$60\,000$ es menor que $100\,000 = 10^5$, por lo tanto tiene $5$ cifras.

Un criterio práctico es multiplicar los primeros dígitos:

• Si $25 \times 40 = 1000$, que es mayor que $100$, el producto tendrá $6$ cifras.
  En realidad, al manejar los ceros, conviene simplificar: $25 \times 4 = 100$, que es igual a $100$, por lo que el producto alcanza la potencia $10^5$.
• Si $2 \times 3 = 6 < 10$, el producto no alcanza $10^5$ y tiene $5$ cifras.

3.3 Cantidad de cifras de un cociente

También se puede determinar cuántas cifras tendrá el cociente de una división entera.

Si $D$ tiene $m$ cifras y $d$ tiene $n$ cifras, con $D \ge d$, el cociente entero $q$ tendrá:

$$m-n \quad \text{o} \quad m-n+1$$

cifras.

Para decidir, se compara $d$ con el número formado por las primeras $n$ cifras de $D$.

• Si ese número es mayor o igual que $d$, el cociente tendrá $m-n+1$ cifras.
• Si ese número es menor que $d$, el cociente tendrá $m-n$ cifras.

Ejemplo breve:
Dividir $4321$ entre $56$.

• $D = 4321$ tiene $4$ cifras.
• $d = 56$ tiene $2$ cifras.
• Las primeras $2$ cifras de $D$ son $43$.

Como $43 < 56$, el cociente tendrá $4-2=2$ cifras. En efecto, $4321 \div 56 = 77$.

Ejemplo breve:
Dividir $6543$ entre $56$.

• Las primeras $2$ cifras de $D$ son $65$.
• Como $65 \ge 56$, el cociente tendrá $4-2+1=3$ cifras. En efecto, $6543 \div 56 = 116$.

3.4 Cantidad de cifras de potencias y en otras bases

Cuando un número es una potencia grande, como $2^{30}$, calcularlo a mano es poco práctico. En esos casos se puede usar logaritmos.

La cantidad de cifras de un entero positivo $N$ en base decimal es:

$$k = \lfloor \log_{10} N \rfloor + 1,$$

donde $\lfloor \ \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual.

Para una potencia $N = a^b$,

$$\log_{10} N = b \cdot \log_{10} a.$$

Ejemplo breve:
¿Cuántas cifras tiene $3^{50}$?

Usamos $\log_{10} 3 \approx 0.4771$:

$$\log_{10} 3^{50} = 50 \times 0.4771 = 23.855.$$

La parte entera es $23$, por lo tanto:

$$k = 23 + 1 = 24.$$

Así, $3^{50}$ tiene $24$ cifras.

Sin logaritmos, también se pueden resolver muchos casos si aparecen potencias de $2$ y $5$, porque $2 \times 5 = 10$.

Ejemplo breve:
¿Cuántas cifras tiene $2^{20} \times 5^{14}$?

Agrupamos:

$$2^{20} \times 5^{14} = 2^6 \times 2^{14} \times 5^{14} = 2^6 \times (2 \times 5)^{14}.$$

$$= 64 \times 10^{14}.$$

Este número es $64$ seguido de $14$ ceros:

$$64 \times 10^{14} = 6\,400\,000\,000\,000\,000.$$

Tiene $2 + 14 = 16$ cifras.

Finalmente, la definición se extiende a otras bases. En base $b$, un número $N$ tiene $k$ cifras si:

$$b^{k-1} \le N < b^k.$$

Ejemplo breve:
El número $100$ en base $2$ tiene $7$ cifras, porque:

$$2^6 = 64 \le 100 < 2^7 = 128.$$

En efecto, $100 = 1100100_2$.