Dados números enteros positivos $k$ y $n$, la potencia $k^n$ es el resultado de multiplicar $k$ por sí mismo $n$ veces.

Ejemplos: $$3^4=81,\qquad 5^3=125,\qquad 7^2=49.$$

Decimos que $k$ es la base, $n$ el exponente y $k^n$ la potencia.

Un número $N$ es una potencia perfecta de grado $n$ si existe un entero positivo $k$ tal que: $$N=k^n.$$

Ejemplos:

• $64$ es potencia perfecta de grado $2$, porque $64=8^2$.
• $64$ también es potencia perfecta de grado $3$, porque $64=4^3$.
• $64$ también es potencia perfecta de grado $6$, porque $64=2^6$.

Esto muestra que un mismo número puede ser potencia perfecta de varios grados.

Ahora bien, si conocemos la descomposición canónica del número, hay un criterio exacto.

Teorema fundamental de la potencia perfecta

Sea: $$N=a^\alpha b^\beta c^\gamma$$ la descomposición canónica de $N$. Entonces:

$$N \text{ es potencia perfecta de grado } n \iff \alpha,\ \beta,\ \gamma \text{ son múltiplos de } n.$$

Esto se justifica así: si $N=k^n$, al descomponer $k$ y elevar cada exponente a $n$, todos los exponentes de $N$ resultan múltiplos de $n$. Recíprocamente, si todos los exponentes son múltiplos de $n$, podemos dividirlos entre $n$ y reconstruir una base $k$.

Ejemplo.
Para $N=2^4\cdot 3^2$:

• Los exponentes $4$ y $2$ son múltiplos de $2$. Por eso $N$ es cuadrado perfecto.
• No es cubo perfecto, porque $4$ y $2$ no son múltiplos de $3$.

Un cuadrado perfecto es una potencia perfecta de grado $2$: $$N=K^2.$$

En su descomposición canónica: $$N=a^\alpha b^\beta c^\gamma$$ el número será cuadrado perfecto si y solo si $\alpha,\beta,\gamma$ son pares.

Ejemplo: $$144=2^4\cdot 3^2$$ es cuadrado perfecto porque $4$ y $2$ son pares. Su raíz cuadrada se obtiene dividiendo los exponentes entre $2$: $$\sqrt{144}=2^{4/2}\cdot 3^{2/2}=2^2\cdot 3=12.$$

Cantidad de divisores de un cuadrado perfecto

Si: $$N=a^\alpha b^\beta$$ y todos los exponentes son pares, entonces: $$CD(N)=(\alpha+1)(\beta+1)$$ es producto de factores impares, por lo tanto impar.

Recíprocamente, si $CD(N)$ es impar, todos los factores $(\alpha+1),(\beta+1),\ldots$ son impares, así que todos los exponentes $\alpha,\beta,\ldots$ son pares. Luego:

$$N \text{ es cuadrado perfecto} \iff CD(N) \text{ es impar.}$$

Este es uno de los criterios más poderosos para identificar cuadrados perfectos sin necesidad de calcular la raíz.

Ejemplo.
¿Es $324$ cuadrado perfecto?
Factorizamos: $$324=2^2\cdot 3^4.$$ Los exponentes $2$ y $4$ son pares, así que sí lo es. Además: $$CD(324)=(2+1)(4+1)=3\cdot 5=15,$$ que es impar, lo cual confirma que es cuadrado perfecto.

Un cubo perfecto es una potencia perfecta de grado $3$: $$N=K^3.$$

En la descomposición canónica, sus exponentes deben ser múltiplos de $3$.

Ejemplo: $$1728=2^6\cdot 3^3$$ es cubo perfecto porque $6$ y $3$ son múltiplos de $3$. Su raíz cúbica es: $$\sqrt[3]{1728}=2^{6/3}\cdot 3^{3/3}=2^2\cdot 3=12.$$

Otro ejemplo: $$27000=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3$$ es cubo perfecto y su raíz cúbica es: $$\sqrt[3]{27000}=2\cdot 3\cdot 5=30.$$

A veces un número no es cuadrado o cubo perfecto, pero podemos multiplicarlo por otro para convertirlo en uno. Esto se resuelve ajustando cada exponente de su descomposición canónica.

Regla práctica

Si $N=a^\alpha b^\beta\ldots$ y queremos que sea potencia perfecta de grado $n$, para cada exponente $\alpha$ miramos cuánto le falta para ser múltiplo de $n$.

Si al dividir $\alpha$ entre $n$ el residuo es $r$:

• si $r=0$, no se necesita agregar ese factor;
• si $r>0$, se debe multiplicar por $a^{n-r}$.

Ejemplo.
Sea $N=2^3\cdot 3^2\cdot 5$.
Para convertirlo en cuadrado perfecto:

• $3$ tiene residuo $1$ al dividirse entre $2$, falta $2^{1}$;
• $2$ ya es par;
• $1$ tiene residuo $1$, falta $5^{1}$.

Hay que multiplicar por: $$2^1\cdot 5^1=10.$$ Así: $$10N=2^4\cdot 3^2\cdot 5^2$$ que sí es cuadrado perfecto.

Para convertirlo en cubo perfecto:

• $3$ ya es múltiplo de $3$;
• $2$ necesita $3^1$;
• $1$ necesita $5^2$.

Hay que multiplicar por: $$3\cdot 5^2=75.$$

Si se pide que sea cuadrado y cubo a la vez, debe ser potencia perfecta de grado $6$, porque $mcm(2,3)=6$. Entonces todos los exponentes deben ser múltiplos de $6$.

Aplicado al mismo $N=2^3\cdot 3^2\cdot 5$, falta:

• $2^3$,
• $3^4$,
• $5^5$.

Hay que multiplicar por: $$2^3\cdot 3^4\cdot 5^5.$$

2. Criterios de inclusión y exclusión de $K^2$ y $K^3$

Un criterio de exclusión sirve para descartar rápidamente un número: si no cumple, ya sabemos que no es cuadrado o cubo perfecto. Un criterio de inclusión sirve para asegurar que sí lo es.

Hay que tener cuidado: muchos criterios por cifras solo descartan; no confirman. Por ejemplo, que un número termine en $1$ no garantiza que sea cuadrado perfecto.

Analicemos en qué cifra pueden terminar $k^2$ y $k^3$ según la última cifra de $k$.

De aquí se deducen dos reglas importantes.

Para cuadrados perfectos

Un cuadrado perfecto no puede terminar en: $$2,\ 3,\ 7,\ 8.$$

Puede terminar, en principio, en: $$0,\ 1,\ 4,\ 5,\ 6,\ 9.$$

Pero esto último solo dice que “podría serlo”, no que necesariamente lo sea.

Ejemplo.

• $123$ no puede ser cuadrado perfecto porque termina en $3$.
• $14$ no es cuadrado perfecto aunque termina en $4$. La terminación no bastó para asegurarlo.

Para cubos perfectos

Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra. Por lo tanto, el criterio de última cifra no excluye candidatos para cubos.

Uso inverso de la tabla

También podemos razonar al revés. Por ejemplo, si un cuadrado perfecto termina en $9$, su raíz debe terminar en $3$ o en $7$. Esto reduce mucho las opciones en problemas de reconstrucción de numerales.

Cuando un número termina en ceros, proviene de factores $10=2\cdot 5$.

Sea $z(N)$ la cantidad de ceros finales de $N$.

Para cuadrados perfectos

Para que $N$ sea cuadrado perfecto, $z(N)$ debe ser par.

Justificación: si $N$ termina en $z$ ceros, su factorización contiene $10^z=2^z\cdot 5^z$. En un cuadrado perfecto, los exponentes de $2$ y $5$ deben ser pares, luego $z$ debe ser par.

Ejemplos:

• $400=20^2$ termina en $2$ ceros, que es par.
• $360000=600^2$ termina en $4$ ceros, que es par.
• Un número que termina exactamente en $3$ ceros no puede ser cuadrado perfecto.

Para cubos perfectos

Para que $N$ sea cubo perfecto, $z(N)$ debe ser múltiplo de $3$.

Ejemplos:

• $8000=20^3$ termina en $3$ ceros.
• $1000000=100^3$ termina en $6$ ceros.

Cuadrados perfectos terminados en 5

Si un cuadrado perfecto termina en $5$, entonces debe terminar en 25.

Esto sale del desarrollo: $$(10a+5)^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25.$$ Las dos últimas cifras son $25$.

Ejemplo:

• $15^2=225$.
• $25^2=625$.
• $35^2=1225$.

Además, esta fórmula da un método rápido: $$\sqrt{\overline{p25}}$$ será $10a+5$ si $p=a(a+1)$.

Ejemplo.
Para $1225$, el número antes del $25$ es $12$. Como: $$3\cdot 4=12,$$ la raíz es $35$.

Cubos perfectos terminados en 5

Los cubos de números terminados en $5$ no tienen una única terminación de dos cifras. Por ejemplo: $$5^3=125,\quad 15^3=3375,\quad 25^3=15625,\quad 35^3=42875.$$ Los tres últimos dígitos van ciclando entre $125,375,625,875$. En problemas prácticos, si el número es grande conviene factorizar o usar otros criterios.

Módulo 4

Veamos los restos de $k^2$ y $k^3$ al dividir entre $4$.

Conclusiones:

• Un cuadrado perfecto al dividirse entre $4$ solo puede dejar residuo $0$ o $1$.
  Por tanto, si un número deja residuo $2$ o $3$ módulo $4$, no es cuadrado perfecto.
• Un cubo perfecto al dividirse entre $4$ puede dejar residuo $0,1$ o $3$.
  Por tanto, si deja residuo $2$ módulo $4$, no es cubo perfecto.

Recuerda que para saber el residuo módulo $4$ solo miras las últimas dos cifras.

Módulo 9

Veamos los restos de $k^2$ y $k^3$ al dividir entre $9$.

Conclusiones:

• Un cuadrado perfecto módulo $9$ solo puede ser $0,1,4,7$.
• Un cubo perfecto módulo $9$ solo puede ser $0,1,8$.

Para aplicar esto sin dividir, usa la suma de cifras, que da el residuo módulo $9$.

Ejemplo.
El número $222$ tiene suma de cifras $2+2+2=6$.
Como $6$ no está entre los restos $0,1,4,7$ de un cuadrado perfecto, $222$ no es cuadrado perfecto.
Además, $6$ tampoco está entre $0,1,8$, así que $222$ tampoco es cubo perfecto.

Muchos problemas piden cuántos cuadrados o cubos perfectos hay entre dos números.

Para cuadrados perfectos

Si queremos contar los cuadrados perfectos $n^2$ comprendidos entre $A$ y $B$, inclusive:

$$m=\lceil \sqrt{A}\rceil,\qquad n=\lfloor \sqrt{B}\rfloor.$$

Entonces la cantidad es: $$n-m+1$$ si $m\le n$. Si $m>n$, no hay ninguno.

Ejemplo.
¿Cuántos cuadrados perfectos hay entre $3000$ y $8000$?

Calculamos: $$\sqrt{3000}\approx 54.77 \Rightarrow m=55,$$ porque $54^2=2916<3000$ y $55^2=3025\ge 3000$.

$$\sqrt{8000}\approx 89.44 \Rightarrow n=89,$$ porque $89^2=7921\le 8000$ y $90^2=8100>8000$.

La cantidad es: $$89-55+1=35.$$

Para cubos perfectos

Se usa el mismo método con raíz cúbica: $$m=\lceil \sqrt[3]{A}\rceil,\qquad n=\lfloor \sqrt[3]{B}\rfloor.$$ Cantidad: $$n-m+1.$$

Si piden la suma de las raíces

Si los cubos perfectos buscados tienen raíces: $$m,\ m+1,\ m+2,\ldots,n$$ entonces la suma de esas raíces es: $$\frac{(m+n)(n-m+1)}{2}.$$

Intervalos dados en otra base

Si un número tiene $k$ cifras en base $b$, entonces: $$b^{k-1}\le N < b^k.$$

Ejemplo: un número de cuatro cifras en base octal cumple: $$8^3\le N < 8^4,$$ es decir: $$512\le N < 4096.$$

3. Radicación y raíz entera

La radicación es la operación inversa de la potenciación.

$$\sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a.$$

Donde:

• $a$ es el radicando,
• $n$ es el índice,
• $b$ es la raíz enésima.

En los enteros positivos, la raíz enésima exacta existe si y solo si el radicando es una potencia perfecta de grado $n$.

Ejemplos: $$\sqrt[2]{49}=7 \quad \text{porque } 7^2=49.$$ $$\sqrt[3]{125}=5 \quad \text{porque } 5^3=125.$$ $$\sqrt[4]{81}=3 \quad \text{porque } 3^4=81.$$

La raíz cuadrada exacta de $N$ es el número $k$ tal que: $$k^2=N.$$

Si conocemos la descomposición canónica de $N$, la raíz se obtiene dividiendo cada exponente entre $2$.

Ejemplo.
Para $N=1296$: $$1296=2^4\cdot 3^4.$$ Entonces: $$\sqrt{1296}=2^{4/2}\cdot 3^{4/2}=2^2\cdot 3^2=36.$$

También se puede comprobar: $$36^2=1296.$$

Cuando $N$ no es un cuadrado perfecto, no existe un entero $k$ cuyo cuadrado sea exactamente $N$. Entonces $N$ está entre dos cuadrados perfectos consecutivos: $$k^2 < N < (k+1)^2.$$

Se definen:

Raíz cuadrada entera por defecto

Es el mayor entero $k$ tal que $k^2\le N$.

$$N=k^2+r$$

donde $r$ es el residuo por defecto.

Raíz cuadrada entera por exceso

Es $k+1$, el menor entero cuyo cuadrado supera a $N$.

$$N=(k+1)^2-r_e$$

donde $r_e$ es el residuo por exceso.

Ejemplo.
Para $N=60$: $$7^2=49<60<64=8^2.$$

• Por defecto: raíz $7$, residuo $r=60-49=11$.
• Por exceso: raíz $8$, residuo por exceso $r_e=64-60=4$.

Entonces: $$60=7^2+11$$ y $$60=8^2-4.$$

Sea $N=k^2+r$, con $0<r<2k+1$.

Residuo máximo y mínimo

Como: $$(k+1)^2=k^2+2k+1,$$ el residuo por defecto $r=N-k^2$ debe ser menor que $2k+1$. Como $r$ es entero positivo en una raíz inexacta: $$1\le r\le 2k.$$

Por tanto: $$r_{\max}=2k,\qquad r_{\min}=1.$$

Suma de residuos por defecto y por exceso

$$r+r_e=(k+1)^2-k^2=2k+1.$$

Es decir: $$r+r_e=k+(k+1).$$

Ejemplo.
Para $N=60$, raíz por defecto $7$: $$r=11,\quad r_e=4.$$ Se cumple: $$11+4=15=2(7)+1.$$

Ubicación entre cuadrados consecutivos

Todo número que no tiene raíz cuadrada exacta se encuentra entre dos cuadrados consecutivos: $$k^2<N<(k+1)^2.$$

Para saber cuántas cifras tiene la raíz cuadrada entera de un número, se agrupan las cifras del radicando de derecha a izquierda en bloques de dos.

Cada bloque generado corresponde a una cifra de la raíz.

Ejemplos:

• $\overline{abcdef}$ tiene 6 cifras y se agrupa como $ab|cd|ef$, es decir 3 bloques; su raíz cuadrada tiene 3 cifras.
• $\overline{abcde}$ se agrupa como $a|bc|de$, 3 bloques; su raíz cuadrada tiene 3 cifras.
• $\overline{abc}$ se agrupa como $a|bc$, 2 bloques; su raíz cuadrada tiene 2 cifras.

En general, si el número tiene $m$ cifras, su raíz cuadrada entera tiene $\lceil m/2\rceil$ cifras.

Ejemplo.
El número $23456$ tiene 5 cifras. Se agrupa así: $$2|34|56.$$ Hay 3 bloques, por lo tanto su raíz cuadrada entera tendrá 3 cifras.

Este método permite hallar la raíz cuadrada entera por defecto y su residuo sin factorizar.

Pasos

1. Separa el número en bloques de dos cifras desde la derecha.
2. Toma el primer bloque de la izquierda y calcula el mayor entero $k$ cuyo cuadrado no supere ese bloque. Ese será la primera cifra de la raíz.
3. Resta $k^2$ y baja el siguiente bloque.
4. Duplica la raíz obtenida hasta el momento. Busca una cifra $d$ tal que $$(10\cdot(\text{doble de la raíz})+d)\cdot d$$ no exceda el número formado.
5. Repite hasta terminar. El último resto es el residuo por defecto.

Ejemplo guiado

Extraer la raíz cuadrada entera de $23456$.

Agrupamos: $$2|34|56.$$

Primer bloque: $2$

El mayor cuadrado $\le 2$ es $1^2=1$.
Primera cifra de la raíz: $1$.
Residuo parcial: $2-1=1$.

Bajamos el bloque $34$, formando $134$.

Segunda cifra

Raíz actual: $1$.
Doble de la raíz: $2$.
Buscamos $d$ tal que $(10\cdot 2+d)d\le 134$, es decir $(20+d)d\le 134$.

Probamos: $$25\cdot 5=125 \le 134.$$ $$26\cdot 6=156>134.$$ Entonces la segunda cifra es $5$.
Residuo parcial: $134-125=9$.

Raíz parcial: $15$.

Tercera cifra

Bajamos el bloque $56$, formando $956$.

Raíz actual: $15$.
Doble de la raíz: $30$.
Buscamos $d$ tal que $(10\cdot 30+d)d\le 956$, es decir $(300+d)d\le 956$.

Probamos: $$303\cdot 3=909\le 956.$$ $$304\cdot 4=1216>956.$$ Entonces la tercera cifra es $3$.
Residuo final: $$956-909=47.$$

Por lo tanto: $$\sqrt{23456}\text{ entera por defecto}=153,$$ con residuo $47$.

Comprobación: $$153^2+47=23409+47=23456.$$

La raíz cúbica exacta de $N$ es $k$ si: $$k^3=N.$$

Ejemplo: $$\sqrt[3]{1728}=12$$ porque: $$12^3=1728.$$

Si $N$ no es cubo perfecto, existe un entero $k$ tal que: $$k^3<N<(k+1)^3.$$

La raíz cúbica entera por defecto es $k$, y el residuo es: $$r=N-k^3.$$

La raíz cúbica entera por exceso es $k+1$, con residuo por exceso: $$r_e=(k+1)^3-N.$$

Residuo máximo en raíz cúbica inexacta

Como: $$(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1,$$ entonces: $$r=N-k^3<3k^2+3k+1.$$

Como $r$ es entero, en una raíz cúbica inexacta: $$1\le r\le 3k^2+3k$$ es decir: $$r_{\max}=3k(k+1).$$

Además: $$r+r_e=3k^2+3k+1.$$

Ejemplo.
Para $N=1500$: $$11^3=1331,\qquad 12^3=1728.$$ Como: $$1331<1500<1728,$$ la raíz cúbica por defecto es $11$.
Residuo por defecto: $$1500-1331=169.$$ Residuo por exceso: $$1728-1500=228.$$ Se verifica: $$169+228=397$$ y $$3(11)(12)+1=396+1=397.$$

Para la raíz cúbica entera, se agrupan las cifras del radicando en bloques de tres desde la derecha.

Ejemplos:

• $1500$ se agrupa como $1|500$: 2 bloques, raíz cúbica de 2 cifras.
• $23456$ se agrupa como $23|456$: 2 bloques, raíz cúbica de 2 cifras.
• Un número de 7 a 9 cifras tendrá raíz cúbica de 3 cifras.

Errores frecuentes

1. Creer que por terminar en $0,1,4,5,6$ o $9$ el número ya es cuadrado perfecto.
   Esa terminación solo es necesaria, no suficiente. Por ejemplo, $14$ termina en $4$ y no es cuadrado.

2. Olvidar que un cuadrado perfecto no puede terminar en $2,3,7$ u $8$.
   Es un descarte inmediato muy útil.

3. Pensar que un cubo perfecto tiene restricción de última cifra.
   No: un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.

4. Confundir el residuo máximo de la raíz cuadrada exacta con $2k+1$.
   El residuo máximo por defecto en una raíz cuadrada inexacta es $2k$, no $2k+1$.
   Si fuera $2k+1$, el número sería exactamente $(k+1)^2$.

5. Contar mal raíces en un intervalo.
   Si se cuentan raíces desde $m$ hasta $n$, la cantidad es $n-m+1$, no $n-m$. Además, hay que redondear los extremos con cuidado: el primero hacia arriba y el último hacia abajo.

6. No considerar la base al contar cifras.
   Cuatro cifras en base octal no es lo mismo que cuatro cifras decimales. Primero se convierte el intervalo al sistema decimal.

7. Al ajustar exponentes para potencias perfectas, olvidar que cuadrado y cubo simultáneo exigen exponentes múltiplos de $6$.
   No basta con que sean pares y múltiplos de $3$ por separado; deben serlo simultáneamente en cada factor primo.

Ejemplos resueltos

Determina si $2025$ es cuadrado perfecto y, si lo es, halla su raíz.

Resolución

Factorizamos $2025$: $$2025=3^4\cdot 5^2.$$

Los exponentes son $4$ y $2$, ambos pares. Por lo tanto, $2025$ es cuadrado perfecto.

Su raíz cuadrada es: $$\sqrt{2025}=3^{4/2}\cdot 5^{2/2}=3^2\cdot 5=45.$$

Otra forma: como termina en $25$ y el número anterior al $25$ es $20$, y: $$4\cdot 5=20,$$ la raíz es $45$.

Comprobación: $$45^2=2025.$$

¿Cuántos cubos perfectos hay entre $2000$ y $30000$?

Resolución

Debemos encontrar los enteros $k$ tales que: $$2000\le k^3\le 30000.$$

Calculamos: $$12^3=1728<2000,$$ $$13^3=2197\ge 2000.$$ Entonces el primer cubo es $13^3$.

Por otro lado: $$31^3=29791\le 30000,$$ $$32^3=32768>30000.$$ Entonces el último cubo es $31^3$.

Los valores de $k$ son: $$13,14,15,\ldots,31.$$

Cantidad: $$31-13+1=19.$$

Por lo tanto, hay 19 cubos perfectos en ese intervalo.

Para $N=7300$, halla la raíz cuadrada entera por defecto, la raíz por exceso, y verifica las propiedades de los residuos.

Resolución

Ubicamos $N$ entre dos cuadrados consecutivos.

Sabemos que: $$85^2=7225,$$ $$86^2=7396.$$

Como: $$7225<7300<7396,$$ la raíz por defecto es $85$.

Residuo por defecto: $$r=7300-7225=75.$$

Residuo por exceso: $$r_e=7396-7300=96.$$

Verificamos la suma: $$r+r_e=75+96=171.$$ Además: $$2k+1=2(85)+1=171.$$

Cumple.

El residuo máximo por defecto para esta raíz sería: $$r_{\max}=2k=170.$$ Nuestro residuo $75$ es menor que $170$, lo cual es correcto.

Observa que $7300$ termina en dos ceros, que es una cantidad par, y aun así no es cuadrado perfecto. Esto confirma que los criterios de terminación ayudan a descartar, pero no aseguran.

Halla el menor entero positivo $x$ tal que $6x$ sea un cuadrado perfecto y $10x$ sea un cubo perfecto. Luego da la suma de los exponentes de la descomposición canónica de $x$.

Resolución

Los números $6$ y $10$ involucran los primos $2,3$ y $5$. Por eso proponemos: $$x=2^a3^b5^c.$$

Analizamos $6x$: $$6x=2\cdot 3\cdot 2^a3^b5^c=2^{a+1}3^{b+1}5^c.$$ Para que sea cuadrado perfecto, todos los exponentes deben ser pares: $$a+1\ \text{par},\quad b+1\ \text{par},\quad c\ \text{par}.$$

Analizamos $10x$: $$10x=2\cdot 5\cdot 2^a3^b5^c=2^{a+1}3^b5^{c+1}.$$ Para que sea cubo perfecto, todos los exponentes deben ser múltiplos de $3$: $$a+1\ \text{múltiplo de }3,\quad b\ \text{múltiplo de }3,\quad c+1\ \text{múltiplo de }3.$$

Ahora resolvemos por exponente.

Exponente de $2$

$a+1$ debe ser par y múltiplo de $3$. Luego debe ser múltiplo de $6$.
El menor valor positivo es: $$a+1=6,$$ por lo tanto: $$a=5.$$

Exponente de $3$

$b+1$ debe ser par, así que $b$ es impar.
Además, $b$ debe ser múltiplo de $3$.
El menor entero positivo impar y múltiplo de $3$ es: $$b=3.$$

Exponente de $5$

$c$ debe ser par.
Además, $c+1$ debe ser múltiplo de $3$.
Probamos:

• $c=0$: $c+1=1$, no es múltiplo de $3$.
• $c=2$: $c+1=3$, sí es múltiplo de $3$.

Entonces: $$c=2.$$

Por lo tanto: $$x=2^5\cdot 3^3\cdot 5^2.$$

Calculamos: $$2^5=32,\quad 3^3=27,\quad 5^2=25.$$ $$x=32\cdot 27\cdot 25=21600.$$

La suma de los exponentes de la descomposición canónica es: $$5+3+2=10.$$

Comprobación: $$6x=6\cdot 21600=129600=360^2,$$ $$10x=10\cdot 21600=216000=60^3.$$

Todo cuadra.

Hacia el siguiente tema

El siguiente tema es Números racionales. En este tema has visto que hay números como $60$ cuya raíz cuadrada no es exacta: no existe un entero $k$ con $k^2=60$. Más adelante verás que ese tipo de raíces no son racionales; son números irracionales. Además, las potencias perfectas te ayudarán a simplificar radicales y a entender la relación entre fracciones, decimales y potencias de $10$.