Cuatro operaciones fundamentales I: Adición, Sustracción, Complemento aritmético y Propiedades

1.1 Idea intuitiva y definición

Adicionar es reunir dos o más cantidades en una sola. Imaginemos que juntamos las monedas de tres alcancías: una tiene 347 soles, otra 865 y otra 692. Para saber cuánto dinero hay en total, sumamos.

Formalmente, los números que se reúnen se llaman sumandos y el resultado se llama suma:

$$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = S.$$

En el ejemplo, $347 + 865 + 692 = 1904$.

La adición de números naturales es cerrada (la suma de dos naturales es natural), conmutativa (el orden de los sumandos no altera la suma), asociativa (podemos agrupar de cualquier manera) y tiene elemento neutro ($a + 0 = a$). Estas propiedades son útiles para simplificar cálculos, aunque en los problemas de admisión lo más importante es el manejo de las cifras.

1.2 Algoritmo vertical y acarreo

Para sumar numerales de varias cifras, los colocamos en columnas según su orden: unidades con unidades, decenas con decenas, etc., y sumamos de derecha a izquierda.

Veamos un ejemplo completo: $347 + 865 + 692$.

$$\begin{array}{rrr} & 3 & 4 & 7 \\ + & 8 & 6 & 5 \\ + & 6 & 9 & 2 \\ \hline & & & \\ \end{array}$$

• Unidades: $7 + 5 + 2 = 14$. Escribimos $4$ en el resultado y llevamos $1$ a las decenas.
• Decenas: $4 + 6 + 9 + 1 \text{ (que llevamos)} = 20$. Escribimos $0$ y llevamos $2$ a las centenas.
• Centenas: $3 + 8 + 6 + 2 = 19$. Escribimos $9$ y llevamos $1$ a los millares.
• Millares: no hay más sumandos, pero queda el $1$ que llevamos, así que lo escribimos.

Resultado: $1904$.

El acarreo no es un misterio: indica cuántos grupos de 10 se formaron en una columna, que deben contarse en la columna siguiente. En general, si en una columna la suma parcial es $s$, la cifra que queda es $s \bmod 10$ (el resto al dividir entre 10) y lo que se lleva es el cociente de $s$ entre 10. Por ejemplo, para $s=14$, queda $4$ y se lleva $1$; para $s=20$, queda $0$ y se lleva $2$.

1.3 Análisis de cifras en la adición

Muchos problemas de admisión no piden la suma completa, sino que presentan la operación con cifras ocultas. Para resolverlos, hay que razonar columna por columna.

Consideremos una suma de tres sumandos de una cifra:

$$\overline{ \ldots a} + \overline{ \ldots b} + \overline{ \ldots c} = \overline{ \ldots d}$$

Si $a+b+c = 16$, en la columna de las unidades quedará $6$ y se llevará $1$ a la siguiente. Si $a+b+c = 24$, quedará $4$ y se llevará $2$. Por tanto, la cifra que queda y la que se lleva dependen del valor de $a+b+c$.

Un caso frecuente es cuando la suma de las últimas cifras de los sumandos da un número que termina en $b$, como en la operación:

$$\overline{\ldots a} + \overline{\ldots b} + \overline{\ldots c} = \overline{\ldots 1b}$$

Aquí, $a+b+c$ es igual a $10+b$ o a $20+b$, etc., según el acarreo. La elección se determina con datos adicionales del problema.

La paridad también es una herramienta poderosa en adición:

• Par + Par = Par.
• Impar + Impar = Par.
• Par + Impar = Impar.

En una suma de varios sumandos, la suma es impar si hay una cantidad impar de sumandos impares; es par si hay una cantidad par de sumandos impares. Esto permite, por ejemplo, saber rápidamente si una cifra oculta debe ser par o impar.

1.4 Adición en otras bases (ampliación breve)

Aunque en San Marcos los problemas suelen plantearse en base 10, conviene saber que el algoritmo de la adición es el mismo en cualquier base: se suman las cifras en base 10 y luego se agrupa según la base. Por ejemplo, en base 8, $6 + 4 = 10 = 1 \times 8 + 2$; queda $2$ y se lleva $1$. En base 7, $6 + 4 + 1 = 11 = 1 \times 7 + 4$; queda $4$ y se lleva $1$. Esta extensión no suele ser protagonista en el examen, pero aparece en algunas prácticas y permite comprender mejor el concepto de acarreo.

2.1 Idea intuitiva y definición

Sustraer es quitar una cantidad de otra, o comparar dos cantidades para saber cuánto es mayor una que otra. La sustracción tiene tres términos:

• Minuendo $M$: la cantidad inicial, de la que se quita.
• Sustraendo $S$: la cantidad que se quita.
• Diferencia $D$: lo que queda.

Se escribe:

$$M - S = D.$$

Por ejemplo, si en una billetera hay 824 soles y se pagan 238, quedan $824 - 238 = 586$ soles.

La sustracción es la operación inversa de la adición: $M = S + D$. Esto es evidente: si a la cantidad que quité le sumo lo que queda, obtengo la cantidad original.

2.2 Propiedad fundamental de la sustracción

De $M = S + D$ se deduce una propiedad muy utilizada:

$$M + S + D = M + (S + D) = M + M = 2M.$$

Es decir, la suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo.

Ejemplo. Si en una sustracción la suma de los tres términos es 520 y el sustraendo excede a la diferencia en 40, ¿cuánto vale el sustraendo?

• $M + S + D = 520$, por lo que $2M = 520$, y $M = 260$.
• Como $M = S + D$, tenemos $S + D = 260$.
• Además $S = D + 40$. Reemplazando: $D + 40 + D = 260$, entonces $2D = 220$, $D = 110$, y $S = 150$.

Este tipo de razonamiento es directo y aparece frecuentemente.

2.3 Algoritmo vertical y préstamo

Para restar, se colocan minuendo y sustraendo en columnas. Se resta de derecha a izquierda. Si una cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo, se «presta» 1 de la cifra de la izquierda, que se convierte en 10 en la columna actual, mientras la cifra de la izquierda disminuye en 1.

Ejemplo: $824 - 238$.

$$\begin{array}{rrr} 8 & 2 & 4 \\ - 2 & 3 & 8 \\ \hline & & \\ \end{array}$$

• Unidades: $4 < 8$, prestamos 1 de las decenas. El $2$ de las decenas se convierte en $1$, y $4$ se convierte en $14$. $14 - 8 = 6$.
• Decenas: ahora el minuendo tiene $1$ (era $2$, prestó 1). $1 < 3$, prestamos 1 de las centenas. El $8$ se convierte en $7$, y $1$ se convierte en $11$. $11 - 3 = 8$.
• Centenas: $7 - 2 = 5$.

Resultado: $586$.

Es crucial recordar que, al prestar, la cifra izquierda se reduce en una unidad, no en 10. El "prestar 10" se refleja en la columna actual.

2.4 Análisis de cifras en la sustracción

Al igual que en la adición, podemos razonar sobre las cifras sin conocer el número completo. Consideremos la columna de las unidades de una resta:

$$\overline{\ldots 4} - \overline{\ldots a} = \overline{\ldots b}$$

• Si $a \le 4$, no hay préstamo y $b = 4 - a$.
• Si $a > 4$, hay préstamo y $b = 14 - a$.

Por ejemplo, en $824 - 238$, en unidades $4 < 8$, hubo préstamo y $6 = 14 - 8$. En decenas, después del préstamo la cifra del minuendo era $1$, menor que $3$, así que $8 = 11 - 3$.

Este análisis permite plantear ecuaciones para las cifras ocultas. Si en una sustracción se tiene $\overline{a5b} - \overline{b2a} = \overline{x m 2}$, se puede ir columna por columna para deducir relaciones.

2.5 Propiedad de la sustracción de un numeral y su invertido

Un caso especial muy importante en los exámenes es restar un número de tres cifras de su invertido. Supongamos que $a > c$ y consideremos:

$$\overline{abc} - \overline{cba} = \overline{xyz}.$$

Usando el valor posicional:

$$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c).$$

Por tanto, la diferencia es siempre un múltiplo de 99: $198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891$ para $a-c=2,\ldots,9$.

Además, la diferencia tiene una forma especial:

• La cifra central $y$ es siempre $9$.
• Las cifras extremas suman $9$: $x + z = 9$.
• La diferencia entre las cifras extremas del número original cumple $a - c = x + 1$.

Ejemplo: $723 - 327 = 396$. Aquí $a-c=4$, $x=3$, $z=6$, $y=9$. Comprobamos: $x+z=9$, $y=9$, $a-c=4=x+1$.

Esta propiedad se extiende a números de dos cifras: $\overline{ab} - \overline{ba} = 9(a-b)$. Por ejemplo, $72 - 27 = 45$.

3.1 Idea intuitiva y definición

El complemento aritmético de un número responde a la pregunta: «¿cuánto le falta a este número para completar la siguiente unidad de orden superior?». Por ejemplo, ¿cuánto le falta a 7 para llegar a 10? Le falta 3. Ese 3 es el complemento aritmético de 7. ¿Cuánto le falta a 84 para llegar a 100? Le falta 16. Ese 16 es el complemento aritmético de 84.

Formalmente, si $N$ es un número con $k$ cifras, su complemento aritmético $\mathrm{CA}(N)$ se define como:

$$\mathrm{CA}(N) = 10^k - N.$$

Es decir, se resta $N$ de la potencia de 10 inmediata superior:

• $\mathrm{CA}(7) = 10 - 7 = 3$ (7 tiene 1 cifra, $k=1$).
• $\mathrm{CA}(84) = 100 - 84 = 16$ (84 tiene 2 cifras, $k=2$).
• $\mathrm{CA}(203) = 1000 - 203 = 797$ (203 tiene 3 cifras, $k=3$).

Observa que el complemento aritmético de un número con $k$ cifras también se escribe, en general, con $k$ cifras (si el complemento es menor que $10^{k-1}$, se anteponen ceros; por ejemplo, $\mathrm{CA}(900)=100$, que se escribe $100$ con tres cifras).

3.2 Método práctico para calcular el CA

Restar siempre de una potencia de 10 puede ser engorroso. Existe un método práctico muy simple:

1. De derecha a izquierda, deja iguales los ceros finales del número.
2. La primera cifra significativa (la primera de derecha a izquierda distinta de cero) se resta de 10.
3. Las cifras restantes hacia la izquierda se restan de 9.

Ejemplos:

• $\mathrm{CA}(346)$: no hay ceros finales. Primera cifra significativa de derecha a izquierda: $6$, se resta de 10: $10-6=4$. Las demás se restan de 9: $9-4=5$, $9-3=6$. Entonces $\mathrm{CA}(346) = 654$.
• $\mathrm{CA}(480)$: ceros finales: el $0$ se mantiene. Primera cifra significativa: $8$, se resta de 10: $10-8=2$. La anterior $4$ se resta de 9: $9-4=5$. Entonces $\mathrm{CA}(480) = 520$.
• $\mathrm{CA}(5000)$: ceros finales: los tres ceros se mantienen. Primera cifra significativa: $5$, se resta de 10: $10-5=5$. No hay cifras anteriores. Entonces $\mathrm{CA}(5000) = 5000$.

¿Por qué funciona? Porque restar de $1000$ equivale a restar las cifras superiores de $999$ y la última de $10$, ajustando los ceros finales. Por ejemplo, $1000 - 480 = (999 - 480) + 1 = 519 + 1 = 520$. El $999 - 480$ produce, cifra a cifra: $9-4=5$, $9-8=1$, $10-0=10$? No, el truco evita ese problema. Mejor explicación: al restar de $10^k$, se descompone $10^k = (10^k - 10) + 10$ o algo similar. No es necesario profundizar, lo importante es dominar el método.

3.3 Propiedades del complemento aritmético

Las propiedades más útiles son:

• $N + \mathrm{CA}(N) = 10^k$, donde $k$ es el número de cifras de $N$.
• $\mathrm{CA}(\mathrm{CA}(N)) = N$, porque aplicar dos veces el complemento devuelve el número original.
• Si $N$ termina en ceros, su CA conserva esos ceros finales.
• Para números de la forma $N = \overline{abc}$, se puede escribir $\mathrm{CA}(N) = \overline{(9-a)(9-b)(10-c)}$ si $c \neq 0$; si $c=0$, se ajustan los ceros finales.

Ejemplo: Si $N = 346$, $\mathrm{CA}(346) = 654$, y se verifica $346 + 654 = 1000$.

3.4 Uso del CA para simplificar sustracciones

El complemento aritmético permite convertir una sustracción en una adición, lo que es muy útil en cálculo mental. Para calcular $M - S$, podemos sumar a $M$ el complemento aritmético de $S$ y luego restar la potencia de 10 correspondiente.

Ejemplo: $835 - 347$. Como $347$ tiene 3 cifras, su CA es $1000 - 347 = 653$. Entonces:

$$835 - 347 = 835 + 653 - 1000 = 1488 - 1000 = 488.$$

Esto es válido porque sumar $653$ y restar $1000$ es equivalente a restar $347$.

Esta técnica no solo agiliza los cálculos, sino que también aparece en problemas donde se pide hallar un número a partir de la relación entre él y su complemento aritmético.

En los problemas de admisión, adición, sustracción y complemento aritmético suelen aparecer combinadas. Veamos un método general para enfrentarlos.

Paso 1: Representar los numerales. Si el problema habla de un número de dos, tres o cuatro cifras, escribe $\overline{ab}$, $\overline{abc}$, $\overline{abcd}$, etc. No olvides que $a \neq 0$.

Paso 2: Plantear la operación. Escribe la operación vertical o la ecuación correspondiente. Identifica columnas y acarreos.

Paso 3: Trabajar columna por columna. En adición, determina qué queda y qué se lleva. En sustracción, identifica préstamos y cómo cambian las cifras del minuendo.

Paso 4: Usar propiedades. Si hay números invertidos, usa la propiedad de los múltiplos de 99. Si hay relación entre sumandos y suma, usa las propiedades de la sustracción $(M+S+D=2M)$ o el CA.

Paso 5: Resolver las ecuaciones y verificar. Las cifras deben ser números enteros del 0 al 9, y la primera cifra no puede ser 0. Si hay varias soluciones, el problema normalmente pide el máximo o mínimo valor, o da una condición adicional para elegir.

Cantidades compuestas. Algunos problemas involucran horas y minutos. Por ejemplo, sumar $2\text{h }40\text{min}$ y $3\text{h }50\text{min}$ da $6\text{h }30\text{min}$. Es necesario manejar que $60$ minutos equivalen a $1$ hora. En admisión, preguntaron por el tiempo de coincidencia de dos intervalos: se resuelve restando la intersección de los intervalos de tiempo.

Desigualdades sencillas. También aparecen condiciones como «quedándole una cantidad mayor o igual a...» que se traducen a inecuaciones aditivas. Por ejemplo, si Nancy compró algo y le queda una cantidad $q$, se plantea $q \ge 9$ y se resuelve para la cantidad inicial.