Regla de interés II y regla del descuento I: amortización y regla de descuento

1.1. Período de capitalización

En el interés simple, los intereses no se suman al capital. En el interés compuesto, sí: al final de cada período de capitalización, el interés generado se suma al capital y, en el siguiente período, se ganan intereses sobre el nuevo capital.

Ejemplo introductorio. Si se depositan S/4000 al 60% anual capitalizable bimestralmente durante 6 meses, primero convertimos la tasa a bimestres: 60% anual equivale a 10% bimestral (porque un año tiene 6 bimestres). El tiempo 6 meses equivale a 3 bimestres.

Entonces:

• Primer bimestre: $I_1 = 10\%(4000) = 400$, capital nuevo: 4400.
• Segundo bimestre: $I_2 = 10\%(4400) = 440$, capital nuevo: 4840.
• Tercer bimestre: $I_3 = 10\%(4840) = 484$, monto final: 5324.

La fórmula general es: $$M = C(1+i)^n$$ donde $i$ es la tasa de interés por período de capitalización y $n$ el número de períodos.

Importante: En interés compuesto, siempre hay que ubicar primero el período de capitalización (anual, semestral, trimestral, bimestral, mensual, etcétera) y luego convertir la tasa y el tiempo a esas unidades.

1.2. Tasa nominal y tasa efectiva anual (TEA)

Una tasa nominal es la tasa convenida en la operación, expresada generalmente en forma anual, pero que puede capitalizarse en períodos menores. Por ejemplo, 30% anual capitalizable cuatrimestralmente significa que en cada cuatrimestre se aplica una tasa proporcional del 10% (porque hay 3 cuatrimestres en un año).

La tasa efectiva anual (TEA) es la tasa que realmente se gana o se paga en un año, considerando la capitalización de intereses. Para calcularla, se toma un capital de referencia (por comodidad, S/100) y se calcula el monto al cabo de un año.

Ejemplo. Para una tasa nominal del 30% anual capitalizable cuatrimestralmente:

• Tasa por período: 10% cuatrimestral.
• Número de períodos en un año: 3.
• Monto de S/100 al año: $M = 100(1+0.10)^3 = 100(1.331) = 133.1$.
• Ganancia: $133.1 - 100 = 33.1\%$. Por tanto, la TEA es 33.1%.

En general, si una tasa nominal anual $r\%$ se capitaliza $m$ veces al año, la tasa por período es $i = r/m$ (expresada en decimal) y la TEA es: $$\text{TEA} = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1$$ expresada en porcentaje multiplicando por 100.

Observación: La TEA es mayor que la tasa nominal cuando la capitalización es más frecuente que una vez al año, porque los intereses se capitalizan antes y generan nuevos intereses.

1.3. Tasas equivalentes en interés compuesto

Dos tasas son equivalentes si, aplicadas al mismo capital durante el mismo tiempo, producen el mismo monto. Por ejemplo, la tasa efectiva anual del 33.1% es equivalente a la tasa nominal del 30% capitalizable cuatrimestralmente.

Para convertir una tasa efectiva anual a una tasa efectiva periódica, se usa: $$i_p = (1 + \text{TEA})^{1/m} - 1$$ donde $m$ es el número de períodos en un año. Para problemas de admisión, la mayoría de veces basta con usar tasas proporcionales cuando se trabaja con interés simple o con descuento simple, pero en interés compuesto se debe usar la equivalencia compuesta.

1.4. Interés compuesto con períodos no enteros

Si el tiempo no es un número entero de períodos de capitalización, se puede aplicar el método mixto: se capitaliza a interés compuesto durante los períodos enteros y luego se aplica interés simple sobre el monto obtenido por la fracción restante. Este procedimiento no suele aparecer en San Marcos, pero es útil conocerlo.

1.5. Interés continuo (mención breve)

Cuando la capitalización se hace infinitas veces al año, se obtiene el interés continuo. El monto es: $$M = C e^{r t}$$ donde $r$ es la tasa anual como decimal, $t$ el tiempo en años y $e \approx 2.71828$. Este tema es más frecuente en exámenes de la UNI, pero conviene conocer la fórmula. Para San Marcos, lo esencial es dominar la capitalización discreta y el descuento.

La operación de descuento es la inversa de la capitalización. En la capitalización, a partir de un valor presente se calcula un valor futuro agregando intereses. En el descuento, a partir de un valor futuro se calcula un valor presente, rebajando un descuento.

Imagina que hoy te deben S/5000, pero el pago se hará recién dentro de 3 meses. Si necesitas ese dinero hoy, puedes vender esa deuda a un banco. El banco no te dará los S/5000 completos; te dará una cantidad menor, es decir, te descontará los intereses correspondientes al adelanto. Esa rebaja es el descuento.

Esta operación es común en el Perú con letras de cambio y pagarés, que son documentos en los que consta una promesa de pago futuro. También aparece en préstamos con descuento simple, donde los intereses se deducen por adelantado del valor nominal.

2.1. Elementos de la regla de descuento

Los elementos son:

• Letra de cambio: orden escrita de una persona (girador) a otra (girado) para pagar cierta cantidad a un tercero en una fecha futura.
• Valor nominal $(V_n)$: es la cantidad escrita en el documento, es decir, el valor futuro que se debe pagar al vencimiento.
• Valor actual $(V_a)$: es el efectivo que se recibe o paga hoy por adelantar el documento.
• Descuento $(D)$: es la diferencia entre el valor nominal y el valor actual: $D = V_n - V_a$.
• Tiempo $(t)$: tiempo que falta desde la fecha en que se descuenta el documento hasta su vencimiento.
• Tasa de descuento $(r\%)$: tanto por ciento que se aplica por cada período sobre el valor de referencia.

2.2. Los dos tipos principales de descuento

Existen dos maneras de calcular el descuento simple, según cuál sea el capital de referencia:

• Descuento comercial $(D_c)$: el descuento se calcula como un interés simple sobre el valor nominal.
• Descuento racional $(D_r)$: el descuento se calcula como un interés simple sobre el valor actual.

Esta diferencia es crucial: en el descuento comercial, el descuento se aplica sobre el valor futuro; en el racional, sobre el valor presente. Como el valor nominal es mayor que el valor actual, el descuento comercial es mayor que el racional para una misma letra, tasa y tiempo.

3.1. Definición y fórmulas

En el descuento comercial simple, el descuento $D_c$ es el interés simple calculado sobre el valor nominal $V_n$. Por tanto: $$D_c = V_n \times i \times t$$ donde $i$ es la tasa de descuento por período y $t$ el tiempo expresado en esos períodos. Esta es la manera más cómoda de trabajar.

Si se usa una tasa anual $r\%$ y el tiempo en años, la fórmula se escribe: $$D_c = \frac{V_n \cdot r \cdot t}{100}$$ Si $t$ está en meses: $$D_c = \frac{V_n \cdot r \cdot t}{1200}$$ Si $t$ está en días (año comercial de 360 días): $$D_c = \frac{V_n \cdot r \cdot t}{36000}$$ La razón de los denominadores es simple: 100 para años, 1200 para meses (100×12), 36000 para días (100×360).

El valor actual es: $$V_a = V_n - D_c$$ Sustituyendo $D_c$, se obtiene: $$V_a = V_n \left(1 - \frac{r \cdot t}{100}\right)$$ para $t$ en años, o en general: $$V_a = V_n (1 - i \cdot t)$$ donde $i$ es la tasa por período y $t$ el número de períodos.

Ejemplo breve. Una letra de valor nominal S/2000 se descuenta al 5% trimestral, 2 trimestres antes de su vencimiento. Entonces: $$D_c = 2000 \times 0.05 \times 2 = 200$$ $$V_a = 2000 - 200 = 1800$$ El tenedor de la letra recibe hoy S/1800 y el banco ganará S/200 al cobrar S/2000 al vencimiento.

3.2. Conversión de tasas y tiempos

La regla de oro: la tasa y el tiempo deben estar expresados en las mismas unidades. Si la tasa es trimestral, el tiempo va en trimestres; si la tasa es anual, el tiempo va en años, meses o días según la fórmula que elijas.

Ejemplo. Tasa del 1,5% trimestral. Para usar tiempos en meses, se puede convertir a mensual: 1,5% trimestral = 0,5% mensual, porque hay 3 meses en un trimestre. Si el tiempo es 4 meses, entonces: $$D_c = V_n \times 0.005 \times 4 = 0.02 V_n$$ que equivale a un 2% del valor nominal.

También se puede convertir el tiempo a trimestres: 4 meses = 4/3 trimestres, y usar la tasa trimestral 0.015. El resultado es el mismo.

3.3. Aplicación: préstamos con descuento simple

En un préstamo con descuento simple, la entidad financiera entrega una cantidad igual al valor nominal menos el descuento calculado por el plazo total. Si el deudor desea cancelar anticipadamente, se le descuenta el interés correspondiente al tiempo que falta para el vencimiento.

Ejemplo. Un préstamo de S/4800 a un año con tasa de descuento simple del 1,5% trimestral. Si se cancela a los 8 meses, faltan 4 meses para el vencimiento, es decir, 4/3 trimestres. El descuento por esos 4 meses es: $$D = 4800 \times 0.015 \times \frac{4}{3} = 96$$ Por tanto, se paga: $$4800 - 96 = 4704$$

3.4. Cálculo de la tasa de descuento

De la fórmula $D_c = V_n \cdot i \cdot t$, se puede despejar la tasa por período: $$i = \frac{D_c}{V_n \cdot t}$$ y luego expresarla en el período pedido.

Ejemplo breve. Si una letra de S/5200 se descuenta a 7 meses antes de su vencimiento y el descuento es S/1456, para hallar la tasa cuatrimestral, primero expresamos el tiempo en cuatrimestres: $t = 7/4$. Luego: $$i = \frac{1456}{5200 \times 7/4} = \frac{1456}{9100} = 0.16$$ Es decir, 16% cuatrimestral.

3.5. Relación entre valor nominal y valor actual

A partir de $V_a = V_n(1 - i \cdot t)$, se puede escribir: $$\frac{V_n}{V_a} = \frac{1}{1 - i \cdot t}$$ Esta relación es muy útil cuando se conocen $V_n$ y $V_a$ como una proporción, o cuando se da el descuento y la relación entre ambos valores.

Ejemplo breve. Si $V_n = 240k$ y $V_a = 233k$, entonces el descuento es $D = 7k$. Si además se sabe que $D = 350$, entonces $k = 50$, y $V_a = 233 \times 50 = 11650$. Pero también se puede combinar con la fórmula de descuento para hallar tasas o tiempos.

4.1. Idea y fórmula

En el descuento racional simple, también llamado descuento matemático o verdadero, el descuento se calcula como el interés simple sobre el valor actual. Es decir, el descuento racional es exactamente el interés que tendría que ganar el valor actual para convertirse en el valor nominal al cabo del tiempo que falta.

Si $V_a$ es el valor actual, $r\%$ anual y $t$ en años, entonces: $$D_r = \frac{V_a \cdot r \cdot t}{100}$$ El valor nominal es: $$V_n = V_a + D_r = V_a \left(1 + \frac{r \cdot t}{100}\right)$$ De aquí se despeja el valor actual: $$V_a = \frac{V_n}{1 + \frac{r \cdot t}{100}}$$ Y el descuento racional también puede escribirse: $$D_r = \frac{V_n \cdot r \cdot t}{100 + r \cdot t}$$ porque $D_r = V_n - V_a$.

En forma general con tasa $i$ por período y tiempo $t$ en períodos: $$V_n = V_a(1 + i \cdot t)$$ $$D_r = V_a \cdot i \cdot t$$

Ejemplo breve. Una letra de S/3300 vence dentro de 2 meses y se descuenta racionalmente al 10% mensual. El valor actual es: $$V_a = \frac{3300}{1 + 0.10 \times 2} = \frac{3300}{1.20} = 2750$$ El descuento racional es: $$D_r = 3300 - 2750 = 550$$ Esto equivale a $D_r = 2750 \times 0.10 \times 2 = 550$.

4.2. Comparación con el descuento comercial

Para la misma letra, tasa y tiempo, el descuento comercial es mayor que el racional, porque el comercial toma como base el valor nominal (mayor) y el racional toma el valor actual (menor). Por lo tanto: $$D_c > D_r$$ y consecuentemente: $$V_a^{(\text{comercial})} < V_a^{(\text{racional})}$$ Esta diferencia será estudiada a fondo en el siguiente tema, donde se relacionan $D_c$ y $D_r$ de una misma letra.

Ejemplo comparativo. Para $V_n = 2000$, tasa 10% mensual, $t=2$ meses:

• Comercial: $D_c = 2000 \times 0.10 \times 2 = 400$; $V_a = 1600$.
• Racional: $V_a = 2000 / 1.20 = 1666.67$; $D_r = 333.33$.

Se observa que el descuento comercial es mayor en 66.67.

5.1. ¿Qué es amortizar con letras?

Cuando una persona compra un bien y no paga todo al contado, puede pagar una cuota inicial y firmar letras de cambio que vencen en el futuro. El vendedor o financiera, para saber si esas letras cubren exactamente el saldo, descuenta cada letra desde su fecha de vencimiento hasta el presente. La suma de los valores actuales de todas las letras debe ser igual al saldo por financiar.

Esta operación se llama amortización porque la deuda se va cubriendo con los pagos futuros de las letras. En el examen de San Marcos, suele usarse descuento comercial simple para calcular el valor actual de cada letra.

5.2. Planteamiento general

Supongamos que una deuda actual $S$ (saldo pendiente) se debe cubrir con $n$ letras de valores nominales $V_1, V_2, \ldots, V_n$, que vencen en $t_1, t_2, \ldots, t_n$ períodos respectivamente, y la tasa de descuento es $i$ por período. Entonces, en descuento comercial: $$V_{a_k} = V_k (1 - i \cdot t_k)$$ y se debe cumplir: $$S = V_{a_1} + V_{a_2} + \cdots + V_{a_n}$$ Si todas las letras tienen el mismo valor nominal $V$, se factoriza: $$S = V \left[(1 - i \cdot t_1) + (1 - i \cdot t_2) + \cdots + (1 - i \cdot t_n)\right]$$ y se despeja $V$.

5.3. Procedimiento paso a paso

1. Hallar el saldo pendiente: precio al contado menos cuota inicial.
2. Convertir la tasa de descuento al período en que vencen las letras (por ejemplo, si las letras son mensuales, usar tasa mensual).
3. Escribir el valor actual de cada letra según el tiempo que falta para su vencimiento.
4. Igualar la suma de valores actuales al saldo.
5. Despejar el valor nominal de las letras.

Ejemplo breve. Una laptop cuesta S/4200 al contado. Se paga una cuota inicial de S/2730 y el saldo se financia con tres letras mensuales de igual valor nominal, con una tasa de descuento del 3% trimestral. La tasa mensual es 1% (3% / 3). El saldo es: $$S = 4200 - 2730 = 1470$$ Las letras vencen en 1, 2 y 3 meses; sus valores actuales son: $$V(1 - 0.01 \cdot 1), \quad V(1 - 0.01 \cdot 2), \quad V(1 - 0.01 \cdot 3)$$ $$0.99V + 0.98V + 0.97V = 2.94V$$ Igualando: $$2.94V = 1470 \Rightarrow V = 500$$ Cada letra tiene un valor nominal de S/500.

5.4. Caso de letras con vencimientos no consecutivos

Si las letras vencen en tiempos distintos, se aplica la misma lógica: cada valor actual se descuenta por el tiempo que falta desde su vencimiento hasta el presente. Por ejemplo, una letra que vence en 4 meses se descuenta por 4 meses; una que vence en 7 meses, por 7 meses. La suma de todos los valores actuales se iguala al saldo.

En muchos problemas, en lugar de dar $V_n$ y $V_a$ por separado, se da su relación. Esto permite manejar incógnitas sin conocer los valores absolutos.

6.1. Fórmula básica

Del descuento comercial: $$V_a = V_n(1 - i \cdot t)$$ se deduce: $$\frac{V_n}{V_a} = \frac{1}{1 - i \cdot t}$$ También se puede escribir: $$\frac{V_a}{V_n} = 1 - i \cdot t$$ Esta última es muy práctica: el factor $1 - i \cdot t$ es justamente la proporción entre valor actual y valor nominal.

6.2. Uso con el descuento

El descuento comercial es: $$D_c = V_n - V_a$$ Si se conoce la razón $V_n : V_a = a : b$, entonces: $$\frac{V_n}{V_a} = \frac{a}{b}$$ y se puede escribir $V_n = a k$, $V_a = b k$, de modo que: $$D_c = (a - b)k$$ Además, de la fórmula $D_c = V_n \cdot i \cdot t$ se puede despejar cualquier incógnita.

Ejemplo breve. Si $V_n : V_a = 240 : 233$ y el descuento es 350, entonces $V_n = 240k$, $V_a = 233k$, y $D = 7k = 350$, por lo que $k = 50$. Así, $V_n = 12000$ y $V_a = 11650$. Si además se da la tasa y el tiempo, se puede verificar con la fórmula del descuento.

1.1. Período de capitalización

En el interés simple, los intereses no se suman al capital. En el interés compuesto, sí: al final de cada período de capitalización, el interés generado se suma al capital y, en el siguiente período, se ganan intereses sobre el nuevo capital.

Ejemplo introductorio. Si se depositan S/4000 al 60% anual capitalizable bimestralmente durante 6 meses, primero convertimos la tasa a bimestres: 60% anual equivale a 10% bimestral (porque un año tiene 6 bimestres). El tiempo 6 meses equivale a 3 bimestres.

Entonces:

• Primer bimestre: $I_1 = 10\%(4000) = 400$, capital nuevo: 4400.
• Segundo bimestre: $I_2 = 10\%(4400) = 440$, capital nuevo: 4840.
• Tercer bimestre: $I_3 = 10\%(4840) = 484$, monto final: 5324.

La fórmula general es: $$M = C(1+i)^n$$ donde $i$ es la tasa de interés por período de capitalización y $n$ el número de períodos.

Importante: En interés compuesto, siempre hay que ubicar primero el período de capitalización (anual, semestral, trimestral, bimestral, mensual, etcétera) y luego convertir la tasa y el tiempo a esas unidades.

1.2. Tasa nominal y tasa efectiva anual (TEA)

Una tasa nominal es la tasa convenida en la operación, expresada generalmente en forma anual, pero que puede capitalizarse en períodos menores. Por ejemplo, 30% anual capitalizable cuatrimestralmente significa que en cada cuatrimestre se aplica una tasa proporcional del 10% (porque hay 3 cuatrimestres en un año).

La tasa efectiva anual (TEA) es la tasa que realmente se gana o se paga en un año, considerando la capitalización de intereses. Para calcularla, se toma un capital de referencia (por comodidad, S/100) y se calcula el monto al cabo de un año.

Ejemplo. Para una tasa nominal del 30% anual capitalizable cuatrimestralmente:

• Tasa por período: 10% cuatrimestral.
• Número de períodos en un año: 3.
• Monto de S/100 al año: $M = 100(1+0.10)^3 = 100(1.331) = 133.1$.
• Ganancia: $133.1 - 100 = 33.1\%$. Por tanto, la TEA es 33.1%.

En general, si una tasa nominal anual $r\%$ se capitaliza $m$ veces al año, la tasa por período es $i = r/m$ (expresada en decimal) y la TEA es: $$\text{TEA} = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1$$ expresada en porcentaje multiplicando por 100.

Observación: La TEA es mayor que la tasa nominal cuando la capitalización es más frecuente que una vez al año, porque los intereses se capitalizan antes y generan nuevos intereses.

1.3. Tasas equivalentes en interés compuesto

Dos tasas son equivalentes si, aplicadas al mismo capital durante el mismo tiempo, producen el mismo monto. Por ejemplo, la tasa efectiva anual del 33.1% es equivalente a la tasa nominal del 30% capitalizable cuatrimestralmente.

Para convertir una tasa efectiva anual a una tasa efectiva periódica, se usa: $$i_p = (1 + \text{TEA})^{1/m} - 1$$ donde $m$ es el número de períodos en un año. Para problemas de admisión, la mayoría de veces basta con usar tasas proporcionales cuando se trabaja con interés simple o con descuento simple, pero en interés compuesto se debe usar la equivalencia compuesta.

1.4. Interés compuesto con períodos no enteros

Si el tiempo no es un número entero de períodos de capitalización, se puede aplicar el método mixto: se capitaliza a interés compuesto durante los períodos enteros y luego se aplica interés simple sobre el monto obtenido por la fracción restante. Este procedimiento no suele aparecer en San Marcos, pero es útil conocerlo.

1.5. Interés continuo (mención breve)

Cuando la capitalización se hace infinitas veces al año, se obtiene el interés continuo. El monto es: $$M = C e^{r t}$$ donde $r$ es la tasa anual como decimal, $t$ el tiempo en años y $e \approx 2.71828$. Este tema es más frecuente en exámenes de la UNI, pero conviene conocer la fórmula. Para San Marcos, lo esencial es dominar la capitalización discreta y el descuento.

La operación de descuento es la inversa de la capitalización. En la capitalización, a partir de un valor presente se calcula un valor futuro agregando intereses. En el descuento, a partir de un valor futuro se calcula un valor presente, rebajando un descuento.

Imagina que hoy te deben S/5000, pero el pago se hará recién dentro de 3 meses. Si necesitas ese dinero hoy, puedes vender esa deuda a un banco. El banco no te dará los S/5000 completos; te dará una cantidad menor, es decir, te descontará los intereses correspondientes al adelanto. Esa rebaja es el descuento.

Esta operación es común en el Perú con letras de cambio y pagarés, que son documentos en los que consta una promesa de pago futuro. También aparece en préstamos con descuento simple, donde los intereses se deducen por adelantado del valor nominal.

2.1. Elementos de la regla de descuento

Los elementos son:

• Letra de cambio: orden escrita de una persona (girador) a otra (girado) para pagar cierta cantidad a un tercero en una fecha futura.
• Valor nominal $(V_n)$: es la cantidad escrita en el documento, es decir, el valor futuro que se debe pagar al vencimiento.
• Valor actual $(V_a)$: es el efectivo que se recibe o paga hoy por adelantar el documento.
• Descuento $(D)$: es la diferencia entre el valor nominal y el valor actual: $D = V_n - V_a$.
• Tiempo $(t)$: tiempo que falta desde la fecha en que se descuenta el documento hasta su vencimiento.
• Tasa de descuento $(r\%)$: tanto por ciento que se aplica por cada período sobre el valor de referencia.

2.2. Los dos tipos principales de descuento

Existen dos maneras de calcular el descuento simple, según cuál sea el capital de referencia:

• Descuento comercial $(D_c)$: el descuento se calcula como un interés simple sobre el valor nominal.
• Descuento racional $(D_r)$: el descuento se calcula como un interés simple sobre el valor actual.

Esta diferencia es crucial: en el descuento comercial, el descuento se aplica sobre el valor futuro; en el racional, sobre el valor presente. Como el valor nominal es mayor que el valor actual, el descuento comercial es mayor que el racional para una misma letra, tasa y tiempo.

3.1. Definición y fórmulas

En el descuento comercial simple, el descuento $D_c$ es el interés simple calculado sobre el valor nominal $V_n$. Por tanto: $$D_c = V_n \times i \times t$$ donde $i$ es la tasa de descuento por período y $t$ el tiempo expresado en esos períodos. Esta es la manera más cómoda de trabajar.

Si se usa una tasa anual $r\%$ y el tiempo en años, la fórmula se escribe: $$D_c = \frac{V_n \cdot r \cdot t}{100}$$ Si $t$ está en meses: $$D_c = \frac{V_n \cdot r \cdot t}{1200}$$ Si $t$ está en días (año comercial de 360 días): $$D_c = \frac{V_n \cdot r \cdot t}{36000}$$ La razón de los denominadores es simple: 100 para años, 1200 para meses (100×12), 36000 para días (100×360).

El valor actual es: $$V_a = V_n - D_c$$ Sustituyendo $D_c$, se obtiene: $$V_a = V_n \left(1 - \frac{r \cdot t}{100}\right)$$ para $t$ en años, o en general: $$V_a = V_n (1 - i \cdot t)$$ donde $i$ es la tasa por período y $t$ el número de períodos.

Ejemplo breve. Una letra de valor nominal S/2000 se descuenta al 5% trimestral, 2 trimestres antes de su vencimiento. Entonces: $$D_c = 2000 \times 0.05 \times 2 = 200$$ $$V_a = 2000 - 200 = 1800$$ El tenedor de la letra recibe hoy S/1800 y el banco ganará S/200 al cobrar S/2000 al vencimiento.

3.2. Conversión de tasas y tiempos

La regla de oro: la tasa y el tiempo deben estar expresados en las mismas unidades. Si la tasa es trimestral, el tiempo va en trimestres; si la tasa es anual, el tiempo va en años, meses o días según la fórmula que elijas.

Ejemplo. Tasa del 1,5% trimestral. Para usar tiempos en meses, se puede convertir a mensual: 1,5% trimestral = 0,5% mensual, porque hay 3 meses en un trimestre. Si el tiempo es 4 meses, entonces: $$D_c = V_n \times 0.005 \times 4 = 0.02 V_n$$ que equivale a un 2% del valor nominal.

También se puede convertir el tiempo a trimestres: 4 meses = 4/3 trimestres, y usar la tasa trimestral 0.015. El resultado es el mismo.

3.3. Aplicación: préstamos con descuento simple

En un préstamo con descuento simple, la entidad financiera entrega una cantidad igual al valor nominal menos el descuento calculado por el plazo total. Si el deudor desea cancelar anticipadamente, se le descuenta el interés correspondiente al tiempo que falta para el vencimiento.

Ejemplo. Un préstamo de S/4800 a un año con tasa de descuento simple del 1,5% trimestral. Si se cancela a los 8 meses, faltan 4 meses para el vencimiento, es decir, 4/3 trimestres. El descuento por esos 4 meses es: $$D = 4800 \times 0.015 \times \frac{4}{3} = 96$$ Por tanto, se paga: $$4800 - 96 = 4704$$

3.4. Cálculo de la tasa de descuento

De la fórmula $D_c = V_n \cdot i \cdot t$, se puede despejar la tasa por período: $$i = \frac{D_c}{V_n \cdot t}$$ y luego expresarla en el período pedido.

Ejemplo breve. Si una letra de S/5200 se descuenta a 7 meses antes de su vencimiento y el descuento es S/1456, para hallar la tasa cuatrimestral, primero expresamos el tiempo en cuatrimestres: $t = 7/4$. Luego: $$i = \frac{1456}{5200 \times 7/4} = \frac{1456}{9100} = 0.16$$ Es decir, 16% cuatrimestral.

3.5. Relación entre valor nominal y valor actual

A partir de $V_a = V_n(1 - i \cdot t)$, se puede escribir: $$\frac{V_n}{V_a} = \frac{1}{1 - i \cdot t}$$ Esta relación es muy útil cuando se conocen $V_n$ y $V_a$ como una proporción, o cuando se da el descuento y la relación entre ambos valores.

Ejemplo breve. Si $V_n = 240k$ y $V_a = 233k$, entonces el descuento es $D = 7k$. Si además se sabe que $D = 350$, entonces $k = 50$, y $V_a = 233 \times 50 = 11650$. Pero también se puede combinar con la fórmula de descuento para hallar tasas o tiempos.

4.1. Idea y fórmula

En el descuento racional simple, también llamado descuento matemático o verdadero, el descuento se calcula como el interés simple sobre el valor actual. Es decir, el descuento racional es exactamente el interés que tendría que ganar el valor actual para convertirse en el valor nominal al cabo del tiempo que falta.

Si $V_a$ es el valor actual, $r\%$ anual y $t$ en años, entonces: $$D_r = \frac{V_a \cdot r \cdot t}{100}$$ El valor nominal es: $$V_n = V_a + D_r = V_a \left(1 + \frac{r \cdot t}{100}\right)$$ De aquí se despeja el valor actual: $$V_a = \frac{V_n}{1 + \frac{r \cdot t}{100}}$$ Y el descuento racional también puede escribirse: $$D_r = \frac{V_n \cdot r \cdot t}{100 + r \cdot t}$$ porque $D_r = V_n - V_a$.

En forma general con tasa $i$ por período y tiempo $t$ en períodos: $$V_n = V_a(1 + i \cdot t)$$ $$D_r = V_a \cdot i \cdot t$$

Ejemplo breve. Una letra de S/3300 vence dentro de 2 meses y se descuenta racionalmente al 10% mensual. El valor actual es: $$V_a = \frac{3300}{1 + 0.10 \times 2} = \frac{3300}{1.20} = 2750$$ El descuento racional es: $$D_r = 3300 - 2750 = 550$$ Esto equivale a $D_r = 2750 \times 0.10 \times 2 = 550$.

4.2. Comparación con el descuento comercial

Para la misma letra, tasa y tiempo, el descuento comercial es mayor que el racional, porque el comercial toma como base el valor nominal (mayor) y el racional toma el valor actual (menor). Por lo tanto: $$D_c > D_r$$ y consecuentemente: $$V_a^{(\text{comercial})} < V_a^{(\text{racional})}$$ Esta diferencia será estudiada a fondo en el siguiente tema, donde se relacionan $D_c$ y $D_r$ de una misma letra.

Ejemplo comparativo. Para $V_n = 2000$, tasa 10% mensual, $t=2$ meses:

• Comercial: $D_c = 2000 \times 0.10 \times 2 = 400$; $V_a = 1600$.
• Racional: $V_a = 2000 / 1.20 = 1666.67$; $D_r = 333.33$.

Se observa que el descuento comercial es mayor en 66.67.

5.1. ¿Qué es amortizar con letras?

Cuando una persona compra un bien y no paga todo al contado, puede pagar una cuota inicial y firmar letras de cambio que vencen en el futuro. El vendedor o financiera, para saber si esas letras cubren exactamente el saldo, descuenta cada letra desde su fecha de vencimiento hasta el presente. La suma de los valores actuales de todas las letras debe ser igual al saldo por financiar.

Esta operación se llama amortización porque la deuda se va cubriendo con los pagos futuros de las letras. En el examen de San Marcos, suele usarse descuento comercial simple para calcular el valor actual de cada letra.

5.2. Planteamiento general

Supongamos que una deuda actual $S$ (saldo pendiente) se debe cubrir con $n$ letras de valores nominales $V_1, V_2, \ldots, V_n$, que vencen en $t_1, t_2, \ldots, t_n$ períodos respectivamente, y la tasa de descuento es $i$ por período. Entonces, en descuento comercial: $$V_{a_k} = V_k (1 - i \cdot t_k)$$ y se debe cumplir: $$S = V_{a_1} + V_{a_2} + \cdots + V_{a_n}$$ Si todas las letras tienen el mismo valor nominal $V$, se factoriza: $$S = V \left[(1 - i \cdot t_1) + (1 - i \cdot t_2) + \cdots + (1 - i \cdot t_n)\right]$$ y se despeja $V$.

5.3. Procedimiento paso a paso

1. Hallar el saldo pendiente: precio al contado menos cuota inicial.
2. Convertir la tasa de descuento al período en que vencen las letras (por ejemplo, si las letras son mensuales, usar tasa mensual).
3. Escribir el valor actual de cada letra según el tiempo que falta para su vencimiento.
4. Igualar la suma de valores actuales al saldo.
5. Despejar el valor nominal de las letras.

Ejemplo breve. Una laptop cuesta S/4200 al contado. Se paga una cuota inicial de S/2730 y el saldo se financia con tres letras mensuales de igual valor nominal, con una tasa de descuento del 3% trimestral. La tasa mensual es 1% (3% / 3). El saldo es: $$S = 4200 - 2730 = 1470$$ Las letras vencen en 1, 2 y 3 meses; sus valores actuales son: $$V(1 - 0.01 \cdot 1), \quad V(1 - 0.01 \cdot 2), \quad V(1 - 0.01 \cdot 3)$$ $$0.99V + 0.98V + 0.97V = 2.94V$$ Igualando: $$2.94V = 1470 \Rightarrow V = 500$$ Cada letra tiene un valor nominal de S/500.

5.4. Caso de letras con vencimientos no consecutivos

Si las letras vencen en tiempos distintos, se aplica la misma lógica: cada valor actual se descuenta por el tiempo que falta desde su vencimiento hasta el presente. Por ejemplo, una letra que vence en 4 meses se descuenta por 4 meses; una que vence en 7 meses, por 7 meses. La suma de todos los valores actuales se iguala al saldo.

En muchos problemas, en lugar de dar $V_n$ y $V_a$ por separado, se da su relación. Esto permite manejar incógnitas sin conocer los valores absolutos.

6.1. Fórmula básica

Del descuento comercial: $$V_a = V_n(1 - i \cdot t)$$ se deduce: $$\frac{V_n}{V_a} = \frac{1}{1 - i \cdot t}$$ También se puede escribir: $$\frac{V_a}{V_n} = 1 - i \cdot t$$ Esta última es muy práctica: el factor $1 - i \cdot t$ es justamente la proporción entre valor actual y valor nominal.

6.2. Uso con el descuento

El descuento comercial es: $$D_c = V_n - V_a$$ Si se conoce la razón $V_n : V_a = a : b$, entonces: $$\frac{V_n}{V_a} = \frac{a}{b}$$ y se puede escribir $V_n = a k$, $V_a = b k$, de modo que: $$D_c = (a - b)k$$ Además, de la fórmula $D_c = V_n \cdot i \cdot t$ se puede despejar cualquier incógnita.

Ejemplo breve. Si $V_n : V_a = 240 : 233$ y el descuento es 350, entonces $V_n = 240k$, $V_a = 233k$, y $D = 7k = 350$, por lo que $k = 50$. Así, $V_n = 12000$ y $V_a = 11650$. Si además se da la tasa y el tiempo, se puede verificar con la fórmula del descuento.