MCD - MCM

Tomemos los números 12 y 18.

Divisores de 12:
$$1; 2; 3; 4; 6; 12$$

Divisores de 18:
$$1; 2; 3; 6; 9; 18$$

Los divisores que se repiten, es decir, los divisores comunes, son:
$$1; 2; 3; 6$$ El mayor de ellos es $6$. Ese será el MCD.

Múltiplos positivos de 12:
$$12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; \ldots$$

Múltiplos positivos de 18:
$$18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; \ldots$$

Los múltiplos comunes son:
$$36; 72; 108; 144; \ldots$$ El menor de ellos es $36$. Ese será el MCM.

Hay una observación clave que se usará muchísimo:

• Los divisores comunes de 12 y 18 son exactamente los divisores de $6$, su MCD.
  $$\text{Divisores de }6: 1; 2; 3; 6$$
• Los múltiplos comunes de 12 y 18 son exactamente los múltiplos de $36$, su MCM.
  $$36; 72; 108; \ldots$$

Esta propiedad permite reducir problemas de “números comunes” a problemas de un solo número: el MCD o el MCM.

Definición

Dados dos o más enteros positivos, su máximo común divisor es el mayor de los divisores comunes positivos de todos ellos.

Se denota así: $$\operatorname{MCD}(A;B) = d$$ O para varios números: $$\operatorname{MCD}(A;B;C) = d$$

Ejemplo.
$$\operatorname{MCD}(24;36) = 12$$ porque los divisores comunes de 24 y 36 son: $$1; 2; 3; 4; 6; 12$$ y el mayor es 12.

El MCD está contenido en los números

Si $d = \operatorname{MCD}(A;B)$, entonces $d$ divide a $A$ y a $B$. Por lo tanto, podemos escribir:

$$A = d \times p$$ $$B = d \times q$$

donde $p$ y $q$ son enteros positivos.

Condición importante: $p$ y $q$ deben ser PESI.

¿Por qué?
Si $p$ y $q$ tuvieran un divisor común $k > 1$, entonces $d \times k$ dividiría a ambos números: $$A = d \times p = d \times k \times p'$$ $$B = d \times q = d \times k \times q'$$ Así, $d \times k$ sería un divisor común mayor que $d$, lo cual contradice que $d$ es el máximo. Por eso, $p$ y $q$ no tienen divisores comunes mayores que 1.

Ejemplo.
$$\operatorname{MCD}(24;54) = 6$$ Entonces: $$24 = 6 \times 4$$ $$54 = 6 \times 9$$ Aquí $4$ y $9$ son PESI.

Este hecho es la base de muchas preguntas de admisión.

Divisores comunes = divisores del MCD

Cuando hablamos de todos los divisores comunes de varios números, no hace falta listar los divisores de cada uno. Basta calcular el MCD y luego hallar los divisores de ese MCD.

$$\text{Divisores comunes de }A \text{ y }B = \text{Divisores de }\operatorname{MCD}(A;B)$$

Ejemplo.
Para 12 y 18: $$\operatorname{MCD}(12;18) = 6$$ Los divisores comunes son los divisores de 6: $$1; 2; 3; 6$$ Coinciden con los que listamos inicialmente.

Esto también permite calcular cuántos divisores comunes hay: se descompone canónicamente el MCD y se usa la fórmula del número de divisores.

Ejemplo.
Si $\operatorname{MCD}(A;B;C) = 540$, ¿cuántos divisores comunes tienen $A, B$ y $C$?

Descomponemos: $$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$$ Entonces: $$\text{Número de divisores} = (2+1)(3+1)(1+1) = 24$$ Por lo tanto, $A, B$ y $C$ tienen 24 divisores comunes.

Definición

Dados dos o más enteros positivos, su mínimo común múltiplo es el menor de los múltiplos comunes positivos de todos ellos.

Se denota: $$\operatorname{MCM}(A;B) = m$$ o $$\operatorname{MCM}(A;B;C) = m$$

Ejemplo.
Hallamos antes: $$\operatorname{MCM}(12;18) = 36$$ porque 36 es el primer múltiplo positivo que está en las listas de múltiplos de 12 y de 18.

El MCM contiene a los números

Si $m = \operatorname{MCM}(A;B)$, entonces $m$ es múltiplo de $A$ y de $B$. Por tanto: $$m = A \times p$$ $$m = B \times q$$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos.

Además, $p$ y $q$ resultan PESI.
Esto se debe a que si $p$ y $q$ compartieran un factor, entonces $m$ no sería el mínimo múltiplo común: podríamos dividir entre ese factor y obtener un múltiplo común más pequeño.

Ejemplo.
$$\operatorname{MCM}(12;18) = 36$$ $$36 = 12 \times 3$$ $$36 = 18 \times 2$$ Los cocientes $3$ y $2$ son PESI.

Múltiplos comunes = múltiplos del MCM

Todos los múltiplos comunes de un grupo de números son exactamente los múltiplos de su MCM.

$$\text{Múltiplos comunes de }A\text{ y }B = \text{Múltiplos de }\operatorname{MCM}(A;B)$$

Ejemplo.
Para 12 y 18, su MCM es 36. Los múltiplos comunes: $$36; 72; 108; 144; \ldots$$ son precisamente los múltiplos de 36.

Esto es muy útil para problemas de coincidencias.

Hay varios métodos. Todos llegan al mismo resultado, pero conviene elegir según el problema.

1. Por descomposición canónica

Es el método más formal y el que mejor muestra por qué funcionan las reglas.

Para calcular el MCD:

1. Se descompone cada número en factores primos.
2. Se toman solo los factores primos comunes a todos.
3. Cada factor se eleva al menor exponente con que aparece.

Para calcular el MCM:

1. Se descompone cada número en factores primos.
2. Se toman todos los factores primos, comunes y no comunes.
3. Cada factor se eleva al mayor exponente con que aparece.

Ejemplo.
Calculemos MCD y MCM de 180, 240 y 300.

$$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$$ $$240 = 2^4 \times 3 \times 5$$ $$300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$$

MCD:
Factores comunes: $2, 3, 5$.
Menores exponentes:

• $2$: menor exponente $2$
• $3$: menor exponente $1$
• $5$: menor exponente $1$

$$\operatorname{MCD}(180;240;300) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$$

MCM:
Todos los factores: $2, 3, 5$.
Mayores exponentes:

• $2$: mayor exponente $4$
• $3$: mayor exponente $2$
• $5$: mayor exponente $2$

$$\operatorname{MCM}(180;240;300) = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 3600$$

La lógica es clara:

• Para que un número divida a todos, sus exponentes no pueden ser mayores que los de ninguno.
• Para que un número sea múltiplo de todos, sus exponentes deben ser al menos los mayores de todos.

2. Por descomposición simultánea

Es un método práctico y rápido.

Para el MCD

Se colocan los números en una fila. Se dividen únicamente por factores primos que sean divisores comunes de todos los números al mismo tiempo. Se detiene cuando los cocientes ya no tienen un factor común; es decir, cuando son PESI. El MCD es el producto de los factores usados.

Ejemplo.
Calculemos el MCD de 70, 56 y 42.

$$\begin{array}{c|c} 70 & \\ 56 & \\ 42 & \\ \end{array}$$

Primero, el factor común $2$: $$70; 56; 42 \div 2 \rightarrow 35; 28; 21$$

Luego, el factor común $7$: $$35; 28; 21 \div 7 \rightarrow 5; 4; 3$$

Ahora $5;4;3$ son PESI. Entonces: $$\operatorname{MCD}(70;56;42) = 2 \times 7 = 14$$

Para el MCM

Se colocan los números en una fila. Se dividen por cualquier factor primo que divida exactamente al menos a uno de ellos, aunque no divida a los demás. Los números no divisibles se bajan sin cambios. Se continúa hasta que todos lleguen a 1. El MCM es el producto de todos los factores usados.

Ejemplo.
Calculemos el MCM de 70, 56 y 42.

$$70; 56; 42 \div 2 \rightarrow 35; 28; 21$$ $$35; 28; 21 \div 7 \rightarrow 5; 4; 3$$ $$5; 4; 3 \div 2 \rightarrow 5; 2; 3$$ $$5; 2; 3 \div 2 \rightarrow 5; 1; 3$$ $$5; 1; 3 \div 3 \rightarrow 5; 1; 1$$ $$5; 1; 1 \div 5 \rightarrow 1; 1; 1$$

El producto es: $$2 \times 7 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 840$$ Por lo tanto: $$\operatorname{MCM}(70;56;42) = 840$$

3. Algoritmo de Euclides o divisiones sucesivas

Para calcular el MCD de dos números, sobre todo cuando son grandes, el algoritmo de Euclides es muy eficiente.

Se basa en una idea simple:

Si $A > B$ y dividimos $A$ entre $B$: $$A = B \times q + r$$ donde $r$ es el residuo, entonces: $$\operatorname{MCD}(A;B) = \operatorname{MCD}(B;r)$$

Es decir, el MCD no cambia si reemplazamos el número mayor por el residuo de la división.

Repetimos el proceso hasta obtener residuo 0. El último residuo distinto de 0 es el MCD.

Ejemplo.
Calculemos $\operatorname{MCD}(66;24)$.

$$66 = 24 \times 2 + 18$$ Reemplazamos: $$\operatorname{MCD}(66;24) = \operatorname{MCD}(24;18)$$ $$24 = 18 \times 1 + 6$$ $$\operatorname{MCD}(24;18) = \operatorname{MCD}(18;6)$$ $$18 = 6 \times 3 + 0$$

Cuando el residuo es 0, el MCD es el divisor: $$\operatorname{MCD}(66;24) = 6$$

El proceso se puede organizar así:

$$66 \div 24 \quad \text{cociente }2,\quad \text{residuo }18$$ $$24 \div 18 \quad \text{cociente }1,\quad \text{residuo }6$$ $$18 \div 6 \quad \text{cociente }3,\quad \text{residuo }0$$

El último residuo no nulo fue 6.

Ejemplo.
Calculemos $\operatorname{MCD}(6432;132)$.

$$6432 = 132 \times 48 + 96$$ $$132 = 96 \times 1 + 36$$ $$96 = 36 \times 2 + 24$$ $$36 = 24 \times 1 + 12$$ $$24 = 12 \times 2 + 0$$

Por lo tanto: $$\operatorname{MCD}(6432;132) = 12$$

Veamos las propiedades que más se usan en problemas.

1. PESI

Si $A$ y $B$ son PESI, entonces: $$\operatorname{MCD}(A;B) = 1$$ $$\operatorname{MCM}(A;B) = A \times B$$

Ejemplo.
Para 8 y 9: $$\operatorname{MCD}(8;9) = 1$$ $$\operatorname{MCM}(8;9) = 72 = 8 \times 9$$

2. Cuando un número es múltiplo del otro

Si $A$ es múltiplo de $B$, es decir $A = B \times k$, entonces: $$\operatorname{MCD}(A;B) = B$$ $$\operatorname{MCM}(A;B) = A$$

Ejemplo.
Para 36 y 12: $$\operatorname{MCD}(36;12) = 12$$ $$\operatorname{MCM}(36;12) = 36$$

3. Estructura de dos números a partir de su MCD

Si: $$\operatorname{MCD}(A;B) = d$$ entonces existen $p$ y $q$ PESI tales que: $$A = d \times p$$ $$B = d \times q$$

Además: $$\operatorname{MCM}(A;B) = d \times p \times q$$

Esta fórmula es fundamental.

Ejemplo.
Si $A = 24$ y $B = 54$: $$\operatorname{MCD}(24;54) = 6$$ Entonces: $$24 = 6 \times 4$$ $$54 = 6 \times 9$$ $4$ y $9$ son PESI.
Luego: $$\operatorname{MCM}(24;54) = 6 \times 4 \times 9 = 216$$

4. Producto del MCD y el MCM de dos números

Para dos números $A$ y $B$: $$\operatorname{MCD}(A;B) \times \operatorname{MCM}(A;B) = A \times B$$

Esto surge directamente de la propiedad anterior: $$d \times (d p q) = (d p) \times (d q)$$

Ejemplo.
Para 24 y 54: $$\operatorname{MCD}(24;54) = 6$$ $$\operatorname{MCM}(24;54) = 216$$ $$6 \times 216 = 1296$$ $$24 \times 54 = 1296$$

Advertencia importante: esta relación solo vale para dos números. No se cumple para tres o más.

Contraejemplo con 4, 6 y 8: $$\operatorname{MCD}(4;6;8) = 2$$ $$\operatorname{MCM}(4;6;8) = 24$$ $$2 \times 24 = 48$$ Pero: $$4 \times 6 \times 8 = 192$$ No son iguales.

5. Los números son divisores del MCM

Si $m = \operatorname{MCM}(A;B)$, entonces tanto $A$ como $B$ son divisores de $m$.

Esto es evidente, porque $m$ es múltiplo de ambos.
Esta idea es útil para buscar posibles valores de $A$ y $B$.

6. Factor común en MCD y MCM

Si multiplicamos todos los números por un mismo entero positivo $n$, tanto el MCD como el MCM quedan multiplicados por $n$.

$$\operatorname{MCD}(nA;nB) = n \times \operatorname{MCD}(A;B)$$ $$\operatorname{MCM}(nA;nB) = n \times \operatorname{MCM}(A;B)$$

Esto también vale para varios números.

Ejemplo.
Sabemos: $$\operatorname{MCD}(12;20) = 4$$ Entonces: $$\operatorname{MCD}(36;60) = 3 \times 4 = 12$$ porque $36 = 3 \times 12$ y $60 = 3 \times 20$.

Análogamente, si dividimos todos los números exactamente entre $n$, el MCD y el MCM también se dividen entre $n$.

También se cumple para potencias: $$\operatorname{MCD}(A^n;B^n) = [\operatorname{MCD}(A;B)]^n$$ $$\operatorname{MCM}(A^n;B^n) = [\operatorname{MCM}(A;B)]^n$$

7. Propiedades complementarias

Algunas propiedades aparecen en problemas más elaborados.

a) MCD de un número y una combinación

$$\operatorname{MCD}(A;B) = \operatorname{MCD}(A; A+B)$$ $$\operatorname{MCD}(A;B) = \operatorname{MCD}(B; A-B)$$

Es decir, se puede sumar o restar uno de los números al otro sin cambiar el MCD.

Ejemplo.
$$\operatorname{MCD}(24;16) = \operatorname{MCD}(24; 24+16) = \operatorname{MCD}(24;40) = 8$$

b) MCD de números de la forma $N^a - 1$

Si trabajamos con números de la forma $N^a - 1$ y $N^b - 1$: $$\operatorname{MCD}(N^a - 1; N^b - 1) = N^{\operatorname{MCD}(a;b)} - 1$$

Ejemplo.
$$\operatorname{MCD}(2^4 - 1; 2^6 - 1) = 2^{\operatorname{MCD}(4;6)} - 1 = 2^2 - 1 = 3$$ Verificando: $2^4 - 1 = 15$, $2^6 - 1 = 63$, y efectivamente $\operatorname{MCD}(15;63) = 3$.

c) Restos iguales

Si un número $N$ al ser dividido entre $a, b, c$ deja siempre el mismo residuo $r$, entonces: $$N = \operatorname{MCM}(a;b;c) \times k + r$$

Es decir, $N - r$ es un múltiplo común de $a, b, c$.

Ejemplo.
Hallemos el menor número positivo que dividido entre 12, 18 y 20 deja residuo 7.

$$\operatorname{MCM}(12;18;20) = 180$$ El menor número es: $$N = 180 \times 1 + 7 = 187$$

Uno de los principales retos no es calcular, sino reconocer cuándo corresponde usar cada uno.

Palabras y situaciones que sugieren MCD

• Repartir en partes iguales.
• Cortar en trozos de igual longitud.
• Formar grupos iguales.
• Agrupar en bolsas iguales.
• Dividir sin que sobre.
• “El mayor tamaño posible”, “la mayor longitud posible”.
• Cubrir una superficie rectangular con piezas cuadradas enteras.

En todos estos casos se busca un divisor común; si piden el mayor, es el MCD.

Ejemplo.
Se tienen 36 lápices rojos y 48 lápices azules. Se desea armar la mayor cantidad de paquetes iguales, sin que sobren lápices y usando todos.
$$\operatorname{MCD}(36;48) = 12$$ Se pueden armar 12 paquetes, cada uno con $36/12=3$ rojos y $48/12=4$ azules.

Palabras y situaciones que sugieren MCM

• Coincidir nuevamente.
• Volver a salir juntos.
• “Cada ciertos minutos/horas/días”.
• Buscar un múltiplo común mínimo.
• Llenar cajas cúbicas con bloques rectangulares.
• Problemas de restos iguales.
• Homogeneizar denominadores de fracciones.

En estos casos se busca un múltiplo común.

Ejemplo.
Tres agentes salen de un mismo punto y sus recorridos duran 18, 24 y 36 minutos. Si salen juntos, volverán a coincidir en un tiempo múltiplo común; el primero será: $$\operatorname{MCM}(18;24;36) = 72 \text{ minutos}$$