Numeración II: Cambio de bases, cambio de base especial y propiedades

Además de descomponer cifra por cifra, muchas veces conviene agrupar las cifras en bloques y tratarlas como si fueran un solo numeral.

Idea básica

Si en un numeral separamos dos bloques, el bloque de la izquierda vale como bloque multiplicado por la base elevada a la cantidad de cifras del bloque de la derecha.

Ejemplo:

$$\overline{abcpq}_n = \overline{abc}_n \cdot n^2 + \overline{pq}_n.$$

¿Por qué? Porque el bloque $abc$ está dos posiciones a la izquierda del bloque $pq$, entonces su valor se multiplica por $n^2$.

Ejemplos

En base 10:

$$\overline{232323} = \overline{23} \cdot 10^4 + \overline{23} \cdot 10^2 + \overline{23}.$$

Como $\overline{23}=23$, obtenemos:

$$\overline{232323} = 23 \cdot 10^4 + 23 \cdot 10^2 + 23 = 23\left(10^4+10^2+1\right).$$

En base 8:

$$\overline{ab0cd}_8 = \overline{ab}_8 \cdot 8^3 + \overline{cd}_8.$$

Observa que el bloque $\overline{ab}_8$ no vale $ab$ en decimal, sino $a \cdot 8 + b$. Por ejemplo,

$$\overline{25}_8 = 2 \cdot 8 + 5 = 21.$$

La descomposición por bloques es útil cuando un numeral tiene cifras repetidas o cuando hay que separar una parte numérica de una parte literal.

Para entender cuánto vale un numeral escrito en una base $m$, lo más natural es llevarlo a base 10 mediante la descomposición polinómica.

Método 1: Descomposición polinómica

Ejemplo 1. Expresa $\overline{374}_8$ en base 10.

$$\overline{374}_8 = 3 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8 + 4.$$

Calculamos:

$$3 \cdot 64 + 7 \cdot 8 + 4 = 192 + 56 + 4 = 252.$$

Por lo tanto,

$$\overline{374}_8 = 252.$$

Ejemplo 2. Si la base es mayor que 10, se usan símbolos o paréntesis para representar cifras mayores que 9. Por ejemplo, en base 15 la cifra $12$ puede escribirse como $(12)$ o con la letra $C$.

Sea $\overline{2(12)5}_{15}$. Su valor en base 10 es:

$$2 \cdot 15^2 + 12 \cdot 15 + 5 = 2 \cdot 225 + 180 + 5 = 450 + 180 + 5 = 635.$$

Método 2: Ruffini

Este método es más rápido cuando hay muchas cifras. Consiste en multiplicar por la base y sumar la siguiente cifra.

Ejemplo 3. Expresa $\overline{632}_7$ en base 10.

Escribimos las cifras:

$$6, \ 3, \ 2.$$

Aplicamos:

• Empezamos con $6$.
• Multiplicamos por $7$ y sumamos $3$: $6 \cdot 7 + 3 = 45$.
• Multiplicamos por $7$ y sumamos $2$: $45 \cdot 7 + 2 = 315 + 2 = 317$.

Entonces,

$$\overline{632}_7 = 317.$$

Ambos métodos dan el mismo resultado: la cantidad decimal representada por el numeral.

Ahora el camino inverso: tenemos una cantidad en base 10 y queremos representarla en una base $m$.

Método: divisiones sucesivas

Se divide el número entre $m$ sucesivamente, y se toman los residuos como cifras. El primer residuo es la cifra de menor orden, y el último cociente es la cifra de mayor orden.

Ejemplo 1. Expresa $978$ en base 5.

$$978 \div 5 = 195 \quad \text{residuo } 3$$

$$195 \div 5 = 39 \quad \text{residuo } 0$$

$$39 \div 5 = 7 \quad \text{residuo } 4$$

$$7 \div 5 = 1 \quad \text{residuo } 2$$

$$1 \div 5 = 0 \quad \text{residuo } 1$$

Los residuos, leídos de abajo hacia arriba, son $1,2,4,0,3$. Por tanto,

$$978 = \overline{12403}_5.$$

Ejemplo 2. Expresa $35$ en base 3.

Podemos usar divisiones sucesivas o, si el número es pequeño, buscar directamente las potencias.

Las potencias de 3 son:

$$3^0=1, \quad 3^1=3, \quad 3^2=9, \quad 3^3=27.$$

Entonces,

$$35 = 1 \cdot 27 + 0 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1.$$

Por lo tanto,

$$35 = \overline{1022}_3.$$

La suma de sus cifras es:

$$1+0+2+2=5.$$

Ejemplo 3. Si la base es mayor que 10, algunos residuos pueden ser mayores que 9. Por ejemplo, para expresar $271$ en base 12:

$$271 \div 12 = 22 \quad \text{residuo } 7$$

$$22 \div 12 = 1 \quad \text{residuo } 10$$

$$1 \div 12 = 0 \quad \text{residuo } 1$$

El residuo $10$ se escribe como una sola cifra, por ejemplo $A$. Entonces,

$$271 = \overline{1A7}_{12}.$$

Cuando ninguna de las bases es 10, lo más seguro es usar un puente:

$$\text{base } m \longrightarrow \text{base } 10 \longrightarrow \text{base } n.$$

Primero se aplica descomposición polinómica para pasar a base 10 y luego divisiones sucesivas para pasar a la base $n$.

Ejemplo. Expresa $\overline{542}_7$ en base 8.

Paso 1: de base 7 a base 10.

$$\overline{542}_7 = 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7 + 2 = 5 \cdot 49 + 28 + 2 = 245 + 28 + 2 = 275.$$

Paso 2: de base 10 a base 8.

$$275 \div 8 = 34 \quad \text{residuo } 3$$

$$34 \div 8 = 4 \quad \text{residuo } 2$$

$$4 \div 8 = 0 \quad \text{residuo } 4$$

Leemos los residuos de abajo hacia arriba:

$$275 = \overline{423}_8.$$

Por lo tanto,

$$\overline{542}_7 = \overline{423}_8.$$

Este procedimiento siempre funciona. Sin embargo, cuando una base es potencia de la otra existe un camino mucho más corto.

Si dos bases están relacionadas como $n$ y $n^k$, el cambio de base se vuelve mecánico.

5.1 De base $n$ a base $n^k$

Regla: se separan las cifras del numeral en bloques de $k$ desde la derecha hacia la izquierda. Si el último bloque queda incompleto, se completa con ceros a la izquierda. Luego, cada bloque se convierte en una sola cifra en base $n^k$.

Ejemplo 1. Expresa $\overline{101110}_2$ en base 8.

Como $8=2^3$, agrupamos de 3 en 3 desde la derecha:

$$101 | 110.$$

Convertimos cada bloque:

$$101_2 = 5, \qquad 110_2 = 6.$$

Por lo tanto,

$$\overline{101110}_2 = \overline{56}_8.$$

Ejemplo 2. Expresa $\overline{1101011}_2$ en base 16.

Como $16=2^4$, agrupamos de 4 en 4 desde la derecha:

$$110 | 1011.$$

El bloque izquierdo tiene solo 3 cifras; agregamos un cero:

$$0110 | 1011.$$

Convertimos:

$$0110_2 = 6, \qquad 1011_2 = 11.$$

La cifra $11$ en base 16 se escribe como $B$. Entonces,

$$\overline{1101011}_2 = \overline{6B}_{16}.$$

5.2 De base $n^k$ a base $n$

Regla inversa: cada cifra del numeral en base $n^k$ se reemplaza por $k$ cifras en base $n$, completando con ceros a la izquierda si hace falta.

Ejemplo 3. Expresa $\overline{56}_8$ en base 2.

Como $8=2^3$, cada cifra octal se convierte en 3 cifras binarias:

$$5 = 101_2, \qquad 6 = 110_2.$$

Por lo tanto,

$$\overline{56}_8 = \overline{101110}_2.$$

Ejemplo 4. Expresa $\overline{1B}_{16}$ en base 4.

Sabemos que $16=4^2$, entonces cada cifra hexadecimal se convierte en 2 cifras en base 4.

$$1 = 01_4, \qquad B = 11 = 23_4.$$

Por lo tanto,

$$\overline{1B}_{16} = \overline{0123}_4 = \overline{123}_4.$$

Verifiquemos en base 10:

$$\overline{1B}_{16} = 1 \cdot 16 + 11 = 27,$$

y

$$\overline{123}_4 = 1 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 3 = 16+8+3=27.$$

5.3 Caso intermedio: dos bases que son potencias de una misma base

A veces las bases no son directamente potencia una de la otra, pero ambas son potencias de una base común. Por ejemplo, base 4 y base 8 son ambas potencias de 2. En ese caso se puede usar base 2 como puente.

Ejemplo 5. Expresa $\overline{123}_4$ en base 8.

Primero, de base 4 a base 2. Como $4=2^2$, cada cifra se convierte en 2 cifras binarias:

$$1 = 01_2, \qquad 2 = 10_2, \qquad 3 = 11_2.$$

Entonces,

$$\overline{123}_4 = \overline{011011}_2.$$

Luego, de base 2 a base 8 agrupando de 3 en 3:

$$011 | 011.$$

Convertimos:

$$011_2 = 3, \qquad 011_2 = 3.$$

Por lo tanto,

$$\overline{123}_4 = \overline{33}_8.$$

Este método especial es muy rápido, pero solo debe usarse cuando las bases son potencias de una misma base. Para cualquier otra situación, se usa el método general de pasar por base 10.

6.1 Numeral de cifras máximas

En una base $n$, la cifra máxima es $n-1$. Si un numeral de $k$ cifras tiene todas sus cifras iguales a la máxima, entonces es el mayor numeral de $k$ cifras en esa base.

El valor de ese numeral es:

$$\overline{(n-1)(n-1)\ldots(n-1)}_{n} = n^k - 1.$$

Justificación. El siguiente número después de este numeral es $\overline{100\ldots 0}_n$, que tiene $k$ ceros y vale $n^k$. Por lo tanto, el mayor de $k$ cifras es $n^k - 1$.

Ejemplos.

En base 10:

$$\overline{999} = 10^3 - 1 = 999.$$

En base 7:

$$\overline{666}_7 = 7^3 - 1 = 342.$$

En base 5:

$$\overline{4444}_5 = 5^4 - 1 = 624.$$

En base $n^2$, el mayor numeral de tres cifras es:

$$\overline{(n^2-1)(n^2-1)(n^2-1)}_{n^2} = (n^2)^3 - 1 = n^6 - 1.$$

La suma de sus cifras sería:

$$3(n^2-1).$$

Esta propiedad es muy útil cuando se pide el mayor numeral de cierta cantidad de cifras en una base.

6.2 Intervalo de un numeral según su cantidad de cifras

Si un numeral tiene $k$ cifras en base $n$, entonces su valor en base 10 cumple:

$$n^{k-1} \le \overline{a b c \ldots d}_n < n^k.$$

Es decir, el menor numeral de $k$ cifras es

$$\overline{100\ldots 0}_n = n^{k-1},$$

y el mayor es

$$\overline{(n-1)(n-1)\ldots(n-1)}_n = n^k - 1.$$

Ejemplo 1. ¿Cuántas cifras tiene $500$ en base 7?

Calculamos potencias de 7:

$$7^3 = 343, \qquad 7^4 = 2401.$$

Como

$$343 \le 500 < 2401,$$

entonces $500$ tiene 4 cifras en base 7.

En efecto:

$$500 = 1 \cdot 343 + 3 \cdot 49 + 1 \cdot 7 + 3 = \overline{1313}_7.$$

Ejemplo 2. ¿Cuántos números se escriben con exactamente 4 cifras en base 9?

El menor es $9^3 = 729$ y el mayor es $9^4 - 1 = 6560$. La cantidad es:

$$6560 - 729 + 1 = 5832.$$

Este tipo de conteo aparece mucho en problemas sobre sistemas de numeración.

6.3 Numerales con cifras iguales

Un caso particular muy común es el numeral formado solo por la cifra $1$ repetida $k$ veces:

$$\overline{111\ldots 1}_{n}$$

con $k$ cifras. Su valor es:

$$\overline{111\ldots 1}_{n} = \frac{n^k - 1}{n-1}.$$

Justificación. Por descomposición polinómica:

$$\overline{111}_n = n^2 + n + 1.$$

Y se cumple:

$$(n-1)(n^2+n+1) = n^3 - 1.$$

Por eso,

$$n^2+n+1 = \frac{n^3-1}{n-1}.$$

Generalizando a $k$ cifras se obtiene la fórmula.

Si el numeral tiene la cifra $a$ repetida $k$ veces, entonces:

$$\overline{aaa\ldots a}_{n} = a \cdot \frac{n^k - 1}{n-1}.$$

Ejemplo. Calcula el valor de $\overline{2222}_3$.

$$\overline{2222}_3 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3-1} = 2 \cdot \frac{81-1}{2} = 80.$$

También se puede ver como $3^4 - 1 = 80$, porque en base 3 la cifra máxima es $2$.