Regla del tanto por cuanto II y regla de mezcla: aplicaciones comerciales, mezcla homogénea y precio medio

1.1. Los elementos de una compra-venta

En los problemas comerciales aparecen varias palabras que no significan lo mismo. Conviene definirlas desde el inicio.

• Precio de costo ($P_C$): es lo que el comerciante paga por adquirir el producto. También se le llama precio de compra.
• Precio fijado ($P_F$): es el precio que se coloca como referencia o lista. En el lenguaje cotidiano es el “precio de vitrina”.
• Precio de venta ($P_V$): es lo que finalmente el comprador paga al comerciante.
• Incremento ($I$): es lo que se le aumenta al costo para fijar el precio de lista. $$P_F = P_C + I$$
• Descuento ($D$): es la rebaja que se hace sobre el precio fijado. $$P_V = P_F - D$$
• Ganancia bruta ($G_B$): es la diferencia entre el precio de venta y el precio de costo. $$P_V = P_C + G_B$$
• Gastos adicionales ($G_0$): son los gastos que el comerciante asume además del precio de costo: transporte, embalaje, almacenamiento, etc.
• Ganancia neta ($G_N$): es la ganancia bruta menos los gastos. $$G_B = G_N + G_0$$ También puede verse como: $$P_V = P_C + G_N + G_0$$
• Pérdida ($P$): si el precio de venta es menor que el costo, hay pérdida. $$P_V = P_C - P$$

Una gráfica ayuda a entender el orden típico en una venta con aumento, descuento y ganancia:

Ejemplo rápido

Si un comerciante compra un artículo en $S/ 100$, lo fija en $S/ 150$ y luego hace un descuento de $S/ 20$:

• $P_C = 100$
• $P_F = 150$
• $D = 20$
• $P_V = 130$
• $G_B = 130 - 100 = 30$

Si además gastó $S/ 5$ en transporte, su ganancia neta es: $$G_N = 30 - 5 = 25$$

1.2. ¿Porcentaje de qué? La base de la ganancia

Este es el punto más importante del tema. Decir “ganancia del 20%” no es suficiente: hay que saber sobre qué se calcula ese porcentaje.

Ganancia sobre el precio de costo

Es lo más frecuente. Si se dice que un artículo se vende ganando el $x\%$ del costo, entonces:

$$G = x\% P_C$$

De aquí se deduce:

$$P_V = P_C + G = P_C + x\% P_C = (100+x)\% P_C$$

Es decir, si se gana $x\%$ del costo, el precio de venta es $(100+x)\%$ del precio de costo.

Ganancia sobre el precio de venta

Algunos problemas indican que la ganancia es un porcentaje del precio de venta. En ese caso:

$$G = x\% P_V$$

Pero como $P_V = P_C + G$, se tiene:

$$P_C = P_V - x\% P_V = (100-x)\% P_V$$

Equivalentemente:

$$P_V = \frac{P_C}{1-\dfrac{x}{100}}$$

Ejemplo comparativo

Supongamos que un artículo cuesta $S/ 200$.

• Si se desea ganar $25\%$ del costo: $$P_V = 125\% \cdot 200 = 250$$

• Si se desea ganar $25\%$ del precio de venta: $$P_C = 75\% P_V$$ luego $$200 = 0{,}75 P_V \Rightarrow P_V = \frac{200}{0{,}75} = 266{,}67$$

La diferencia es notable. Por eso, antes de plantear una ecuación, debes leer si la ganancia es “sobre el costo” o “sobre el precio de venta”.

1.3. Pérdida

Si el precio de venta es menor que el precio de costo, hay pérdida.

• Si la pérdida es $x\%$ del costo: $$P_V = (100-x)\% P_C$$

• Si la pérdida es $x\%$ de la venta: $$P_C = (100+x)\% P_V$$

La lógica es análoga a la ganancia, pero en sentido contrario.

1.4. Fijar un precio, hacer un descuento y aún ganar

Un tipo de problema muy común pide determinar el precio fijado si, después de un descuento, todavía se gana un porcentaje. El esquema es:

$$P_F \xrightarrow{\text{descuento } d\%} P_V$$

$$P_C \xrightarrow{\text{ganancia } g\%} P_V$$

Relacionando ambas cadenas:

$$P_V = (100-d)\% P_F$$

y además

$$P_V = (100+g)\% P_C$$

Por tanto:

$$(100-d)\% P_F = (100+g)\% P_C$$

De aquí se despeja $P_F$:

$$P_F = \frac{100+g}{100-d}\cdot P_C$$

Ejemplo

Un artículo cuesta $S/ 240$. Se desea fijar su precio de tal manera que, haciendo un descuento del $20\%$, todavía se gane el $25\%$ del costo.

Primero hallamos el precio de venta: $$P_V = 125\%\cdot 240 = 300$$

Como ese precio de venta es el $80\%$ del precio fijado: $$0{,}80 P_F = 300$$ $$P_F = 375$$

Por lo tanto, debe fijarse en $S/ 375$.

Observa que aumentar $25\%$ al costo daría $300$, pero si fijamos en $300$ y descontamos $20\%$, el precio de venta sería $240$ y no se ganaría nada. Por eso el precio fijado debe ser mayor que el precio de venta.

2.1. ¿Qué es una mezcla homogénea?

En aritmética comercial, una mezcla es la unión de dos o más sustancias o ingredientes que pueden ser de la misma clase, en cantidades determinadas. Se llama mezcla homogénea cuando los componentes se distribuyen de manera uniforme y una parte cualquiera de la mezcla tiene la misma proporción de ingredientes.

Aquí no estudiamos reacciones químicas. Los ingredientes conservan su naturaleza, pero al unirse en un solo recipiente pierden su identidad separada: el arroz barato y el arroz caro se convierten en “una sola partida de arroz” con un precio medio.

Ejemplos de mezclas homogéneas

• Dos tipos de arroz.
• Tres calidades de quinua.
• Aceites de diferentes precios.
• Chocolate con distinto porcentaje de cacao.
• Alcohol puro con agua.
• Harinas de diferentes precios.

2.2. Precio medio de una mezcla

El problema central es: si mezclamos cantidades de ingredientes con precios distintos, ¿cuánto cuesta una unidad de la mezcla?

Ese costo por unidad se llama precio medio ($P_m$). No es un precio de venta, no incluye ganancia. Es simplemente el costo unitario de la mezcla, lo que se habría pagado en promedio por cada kilogramo, litro o gramo.

Deducción

Supongamos que se mezclan dos ingredientes:

El costo total de la mezcla es: $$\text{Costo total} = P_1C_1 + P_2C_2$$

La cantidad total es: $$C_1 + C_2$$

El costo de una unidad de mezcla se obtiene dividiendo: $$P_m = \frac{P_1C_1 + P_2C_2}{C_1+C_2}$$

Para $n$ ingredientes:

$$\boxed{P_m = \frac{P_1C_1 + P_2C_2 + \cdots + P_nC_n}{C_1+C_2+\cdots+C_n}}$$

Esto es exactamente un promedio ponderado de los precios, donde los pesos son las cantidades de cada ingrediente.

Ejemplo ilustrativo

Se mezclan $30$ kg de café de $S/ 10$ el kg con $20$ kg de café de $S/ 15$ el kg.

El costo total es: $$30\cdot 10 + 20\cdot 15 = 300 + 300 = 600$$

La cantidad total es: $$30 + 20 = 50$$

El precio medio es: $$P_m = \frac{600}{50} = 12$$

Un kilogramo de la mezcla cuesta $S/ 12$.

Propiedad importante

El precio medio siempre se encuentra entre el menor y el mayor de los precios unitarios:

$$P_{\min} \le P_m \le P_{\max}$$

En el ejemplo anterior, $10 \le 12 \le 15$.

2.3. Relación entre cantidades para dos ingredientes

Cuando se conocen los precios de dos ingredientes y el precio medio de la mezcla, se puede hallar directamente la relación entre las cantidades.

Sean:

• $C_1$: cantidad del ingrediente de precio $P_1$
• $C_2$: cantidad del ingrediente de precio $P_2$
• $P_m$: precio medio de la mezcla

Sabemos que: $$P_m = \frac{P_1C_1+P_2C_2}{C_1+C_2}$$

Multiplicando en forma cruzada y ordenando:

$$P_m(C_1+C_2)=P_1C_1+P_2C_2$$

$$P_mC_1+P_mC_2=P_1C_1+P_2C_2$$

$$P_mC_1-P_1C_1 = P_2C_2-P_mC_2$$

$$C_1(P_m-P_1)=C_2(P_2-P_m)$$

De donde:

$$\boxed{\frac{C_1}{C_2} = \frac{P_2-P_m}{P_m-P_1}}$$

siempre que $P_1 < P_m < P_2$.

Esta fórmula se llama a veces método del aspa o método de las diferencias, y se usa para mezclas de dos ingredientes.

Interpretación práctica

Supongamos que el precio medio es $P_m$.

• En cada unidad del ingrediente barato, el comerciante “recupera” o “gana” $P_m - P_1$ respecto de venderla al precio medio.
• En cada unidad del ingrediente caro, el comerciante “pierde” $P_2 - P_m$.

Para que la mezcla no produzca ni ganancia ni pérdida, la ganancia aparente total debe ser igual a la pérdida aparente total:

$$C_1(P_m-P_1)=C_2(P_2-P_m)$$

Esta es la misma ecuación anterior.

Ejemplo breve

Se mezcla arroz de $S/ 5$ el kg con arroz de $S/ 8$ el kg, y el precio medio es $S/ 6$. Hallemos la relación de cantidades.

$$\frac{C_1}{C_2} = \frac{8-6}{6-5} = \frac{2}{1}$$

Entonces hay el doble de arroz barato que de arroz caro.

2.4. Mezclas con un ingrediente sin costo

Algunas mezclas incluyen un ingrediente que no cuesta, por ejemplo agua. El agua se mezcla con alcohol puro y no tiene costo.

En ese caso, simplemente se considera: $$P_{\text{agua}} = 0$$

El agua “no aporta costo”, pero sí aporta cantidad, por lo que reduce el precio medio de la mezcla.

Ejemplo breve

Si se mezclan $50$ L de alcohol puro de $S/ 16{,}50$ con agua, y el precio medio resultante debe ser $S/ 15$, entonces:

Costo total del alcohol: $$50 \cdot 16{,}50 = 825$$

Si $x$ es la cantidad de agua, la cantidad total de mezcla es $50+x$. Como el agua no cuesta:

$$P_m = \frac{825}{50+x}$$

Si $P_m = 15$: $$15 = \frac{825}{50+x}$$ $$50+x = 55$$ $$x = 5$$

Por lo tanto, hay $5$ L de agua.

En la práctica, los problemas de San Marcos suelen combinar mezcla y ganancia. Un esquema resuelve la mayoría:

Paso 1: Identificar el precio de venta unitario

Si te dan el ingreso total por una cantidad de mezcla, divide:

$$P_V = \frac{\text{ingreso total}}{\text{cantidad total}}$$

Paso 2: Retirar la ganancia para obtener el precio medio

• Si la ganancia es $g\%$ del costo: $$P_m = \frac{P_V}{1+\dfrac{g}{100}}$$

• Si la ganancia es $g\%$ del precio de venta: $$P_m = \left(1-\frac{g}{100}\right)P_V$$

El precio medio $P_m$ es el costo por unidad de mezcla.

Paso 3: Plantear la ecuación de la mezcla

Usa:

$$P_m = \frac{\sum P_iC_i}{\sum C_i}$$

o su equivalente:

$$P_m\cdot \text{cantidad total} = \sum P_iC_i$$

A partir de aquí se despeja la incógnita pedida.

Si las cantidades de los ingredientes están en proporción, por ejemplo:

$$C_1:C_2:C_3 = 5:3:2$$

entonces se escribe:

$$C_1 = 5k,\quad C_2 = 3k,\quad C_3 = 2k$$

Al plantear el precio medio, $k$ se cancela porque está en todas las cantidades, y se puede trabajar con los números de la relación directamente.

Ejemplo breve

Se mezclan tres tipos de quinua cuyos precios por kg son $S/ 8$, $S/ 10$ y $S/ 12$, en la relación $3:2:1$. Hallemos el precio medio.

$$P_m = \frac{3\cdot 8 + 2\cdot 10 + 1\cdot 12}{3+2+1}$$

$$P_m = \frac{24+20+12}{6} = \frac{56}{6} = 9{,}333\ldots$$

No importa cuántos kilos hay exactamente; solo importa la proporción.

1.1. Los elementos de una compra-venta

En los problemas comerciales aparecen varias palabras que no significan lo mismo. Conviene definirlas desde el inicio.

• Precio de costo ($P_C$): es lo que el comerciante paga por adquirir el producto. También se le llama precio de compra.
• Precio fijado ($P_F$): es el precio que se coloca como referencia o lista. En el lenguaje cotidiano es el “precio de vitrina”.
• Precio de venta ($P_V$): es lo que finalmente el comprador paga al comerciante.
• Incremento ($I$): es lo que se le aumenta al costo para fijar el precio de lista. $$P_F = P_C + I$$
• Descuento ($D$): es la rebaja que se hace sobre el precio fijado. $$P_V = P_F - D$$
• Ganancia bruta ($G_B$): es la diferencia entre el precio de venta y el precio de costo. $$P_V = P_C + G_B$$
• Gastos adicionales ($G_0$): son los gastos que el comerciante asume además del precio de costo: transporte, embalaje, almacenamiento, etc.
• Ganancia neta ($G_N$): es la ganancia bruta menos los gastos. $$G_B = G_N + G_0$$ También puede verse como: $$P_V = P_C + G_N + G_0$$
• Pérdida ($P$): si el precio de venta es menor que el costo, hay pérdida. $$P_V = P_C - P$$

Una gráfica ayuda a entender el orden típico en una venta con aumento, descuento y ganancia:

Ejemplo rápido

Si un comerciante compra un artículo en $S/ 100$, lo fija en $S/ 150$ y luego hace un descuento de $S/ 20$:

• $P_C = 100$
• $P_F = 150$
• $D = 20$
• $P_V = 130$
• $G_B = 130 - 100 = 30$

Si además gastó $S/ 5$ en transporte, su ganancia neta es: $$G_N = 30 - 5 = 25$$

1.2. ¿Porcentaje de qué? La base de la ganancia

Este es el punto más importante del tema. Decir “ganancia del 20%” no es suficiente: hay que saber sobre qué se calcula ese porcentaje.

Ganancia sobre el precio de costo

Es lo más frecuente. Si se dice que un artículo se vende ganando el $x\%$ del costo, entonces:

$$G = x\% P_C$$

De aquí se deduce:

$$P_V = P_C + G = P_C + x\% P_C = (100+x)\% P_C$$

Es decir, si se gana $x\%$ del costo, el precio de venta es $(100+x)\%$ del precio de costo.

Ganancia sobre el precio de venta

Algunos problemas indican que la ganancia es un porcentaje del precio de venta. En ese caso:

$$G = x\% P_V$$

Pero como $P_V = P_C + G$, se tiene:

$$P_C = P_V - x\% P_V = (100-x)\% P_V$$

Equivalentemente:

$$P_V = \frac{P_C}{1-\dfrac{x}{100}}$$

Ejemplo comparativo

Supongamos que un artículo cuesta $S/ 200$.

• Si se desea ganar $25\%$ del costo: $$P_V = 125\% \cdot 200 = 250$$

• Si se desea ganar $25\%$ del precio de venta: $$P_C = 75\% P_V$$ luego $$200 = 0{,}75 P_V \Rightarrow P_V = \frac{200}{0{,}75} = 266{,}67$$

La diferencia es notable. Por eso, antes de plantear una ecuación, debes leer si la ganancia es “sobre el costo” o “sobre el precio de venta”.

1.3. Pérdida

Si el precio de venta es menor que el precio de costo, hay pérdida.

• Si la pérdida es $x\%$ del costo: $$P_V = (100-x)\% P_C$$

• Si la pérdida es $x\%$ de la venta: $$P_C = (100+x)\% P_V$$

La lógica es análoga a la ganancia, pero en sentido contrario.

1.4. Fijar un precio, hacer un descuento y aún ganar

Un tipo de problema muy común pide determinar el precio fijado si, después de un descuento, todavía se gana un porcentaje. El esquema es:

$$P_F \xrightarrow{\text{descuento } d\%} P_V$$

$$P_C \xrightarrow{\text{ganancia } g\%} P_V$$

Relacionando ambas cadenas:

$$P_V = (100-d)\% P_F$$

y además

$$P_V = (100+g)\% P_C$$

Por tanto:

$$(100-d)\% P_F = (100+g)\% P_C$$

De aquí se despeja $P_F$:

$$P_F = \frac{100+g}{100-d}\cdot P_C$$

Ejemplo

Un artículo cuesta $S/ 240$. Se desea fijar su precio de tal manera que, haciendo un descuento del $20\%$, todavía se gane el $25\%$ del costo.

Primero hallamos el precio de venta: $$P_V = 125\%\cdot 240 = 300$$

Como ese precio de venta es el $80\%$ del precio fijado: $$0{,}80 P_F = 300$$ $$P_F = 375$$

Por lo tanto, debe fijarse en $S/ 375$.

Observa que aumentar $25\%$ al costo daría $300$, pero si fijamos en $300$ y descontamos $20\%$, el precio de venta sería $240$ y no se ganaría nada. Por eso el precio fijado debe ser mayor que el precio de venta.

2.1. ¿Qué es una mezcla homogénea?

En aritmética comercial, una mezcla es la unión de dos o más sustancias o ingredientes que pueden ser de la misma clase, en cantidades determinadas. Se llama mezcla homogénea cuando los componentes se distribuyen de manera uniforme y una parte cualquiera de la mezcla tiene la misma proporción de ingredientes.

Aquí no estudiamos reacciones químicas. Los ingredientes conservan su naturaleza, pero al unirse en un solo recipiente pierden su identidad separada: el arroz barato y el arroz caro se convierten en “una sola partida de arroz” con un precio medio.

Ejemplos de mezclas homogéneas

• Dos tipos de arroz.
• Tres calidades de quinua.
• Aceites de diferentes precios.
• Chocolate con distinto porcentaje de cacao.
• Alcohol puro con agua.
• Harinas de diferentes precios.

2.2. Precio medio de una mezcla

El problema central es: si mezclamos cantidades de ingredientes con precios distintos, ¿cuánto cuesta una unidad de la mezcla?

Ese costo por unidad se llama precio medio ($P_m$). No es un precio de venta, no incluye ganancia. Es simplemente el costo unitario de la mezcla, lo que se habría pagado en promedio por cada kilogramo, litro o gramo.

Deducción

Supongamos que se mezclan dos ingredientes:

El costo total de la mezcla es: $$\text{Costo total} = P_1C_1 + P_2C_2$$

La cantidad total es: $$C_1 + C_2$$

El costo de una unidad de mezcla se obtiene dividiendo: $$P_m = \frac{P_1C_1 + P_2C_2}{C_1+C_2}$$

Para $n$ ingredientes:

$$\boxed{P_m = \frac{P_1C_1 + P_2C_2 + \cdots + P_nC_n}{C_1+C_2+\cdots+C_n}}$$

Esto es exactamente un promedio ponderado de los precios, donde los pesos son las cantidades de cada ingrediente.

Ejemplo ilustrativo

Se mezclan $30$ kg de café de $S/ 10$ el kg con $20$ kg de café de $S/ 15$ el kg.

El costo total es: $$30\cdot 10 + 20\cdot 15 = 300 + 300 = 600$$

La cantidad total es: $$30 + 20 = 50$$

El precio medio es: $$P_m = \frac{600}{50} = 12$$

Un kilogramo de la mezcla cuesta $S/ 12$.

Propiedad importante

El precio medio siempre se encuentra entre el menor y el mayor de los precios unitarios:

$$P_{\min} \le P_m \le P_{\max}$$

En el ejemplo anterior, $10 \le 12 \le 15$.

2.3. Relación entre cantidades para dos ingredientes

Cuando se conocen los precios de dos ingredientes y el precio medio de la mezcla, se puede hallar directamente la relación entre las cantidades.

Sean:

• $C_1$: cantidad del ingrediente de precio $P_1$
• $C_2$: cantidad del ingrediente de precio $P_2$
• $P_m$: precio medio de la mezcla

Sabemos que: $$P_m = \frac{P_1C_1+P_2C_2}{C_1+C_2}$$

Multiplicando en forma cruzada y ordenando:

$$P_m(C_1+C_2)=P_1C_1+P_2C_2$$

$$P_mC_1+P_mC_2=P_1C_1+P_2C_2$$

$$P_mC_1-P_1C_1 = P_2C_2-P_mC_2$$

$$C_1(P_m-P_1)=C_2(P_2-P_m)$$

De donde:

$$\boxed{\frac{C_1}{C_2} = \frac{P_2-P_m}{P_m-P_1}}$$

siempre que $P_1 < P_m < P_2$.

Esta fórmula se llama a veces método del aspa o método de las diferencias, y se usa para mezclas de dos ingredientes.

Interpretación práctica

Supongamos que el precio medio es $P_m$.

• En cada unidad del ingrediente barato, el comerciante “recupera” o “gana” $P_m - P_1$ respecto de venderla al precio medio.
• En cada unidad del ingrediente caro, el comerciante “pierde” $P_2 - P_m$.

Para que la mezcla no produzca ni ganancia ni pérdida, la ganancia aparente total debe ser igual a la pérdida aparente total:

$$C_1(P_m-P_1)=C_2(P_2-P_m)$$

Esta es la misma ecuación anterior.

Ejemplo breve

Se mezcla arroz de $S/ 5$ el kg con arroz de $S/ 8$ el kg, y el precio medio es $S/ 6$. Hallemos la relación de cantidades.

$$\frac{C_1}{C_2} = \frac{8-6}{6-5} = \frac{2}{1}$$

Entonces hay el doble de arroz barato que de arroz caro.

2.4. Mezclas con un ingrediente sin costo

Algunas mezclas incluyen un ingrediente que no cuesta, por ejemplo agua. El agua se mezcla con alcohol puro y no tiene costo.

En ese caso, simplemente se considera: $$P_{\text{agua}} = 0$$

El agua “no aporta costo”, pero sí aporta cantidad, por lo que reduce el precio medio de la mezcla.

Ejemplo breve

Si se mezclan $50$ L de alcohol puro de $S/ 16{,}50$ con agua, y el precio medio resultante debe ser $S/ 15$, entonces:

Costo total del alcohol: $$50 \cdot 16{,}50 = 825$$

Si $x$ es la cantidad de agua, la cantidad total de mezcla es $50+x$. Como el agua no cuesta:

$$P_m = \frac{825}{50+x}$$

Si $P_m = 15$: $$15 = \frac{825}{50+x}$$ $$50+x = 55$$ $$x = 5$$

Por lo tanto, hay $5$ L de agua.

En la práctica, los problemas de San Marcos suelen combinar mezcla y ganancia. Un esquema resuelve la mayoría:

Paso 1: Identificar el precio de venta unitario

Si te dan el ingreso total por una cantidad de mezcla, divide:

$$P_V = \frac{\text{ingreso total}}{\text{cantidad total}}$$

Paso 2: Retirar la ganancia para obtener el precio medio

• Si la ganancia es $g\%$ del costo: $$P_m = \frac{P_V}{1+\dfrac{g}{100}}$$

• Si la ganancia es $g\%$ del precio de venta: $$P_m = \left(1-\frac{g}{100}\right)P_V$$

El precio medio $P_m$ es el costo por unidad de mezcla.

Paso 3: Plantear la ecuación de la mezcla

Usa:

$$P_m = \frac{\sum P_iC_i}{\sum C_i}$$

o su equivalente:

$$P_m\cdot \text{cantidad total} = \sum P_iC_i$$

A partir de aquí se despeja la incógnita pedida.

Si las cantidades de los ingredientes están en proporción, por ejemplo:

$$C_1:C_2:C_3 = 5:3:2$$

entonces se escribe:

$$C_1 = 5k,\quad C_2 = 3k,\quad C_3 = 2k$$

Al plantear el precio medio, $k$ se cancela porque está en todas las cantidades, y se puede trabajar con los números de la relación directamente.

Ejemplo breve

Se mezclan tres tipos de quinua cuyos precios por kg son $S/ 8$, $S/ 10$ y $S/ 12$, en la relación $3:2:1$. Hallemos el precio medio.

$$P_m = \frac{3\cdot 8 + 2\cdot 10 + 1\cdot 12}{3+2+1}$$

$$P_m = \frac{24+20+12}{6} = \frac{56}{6} = 9{,}333\ldots$$

No importa cuántos kilos hay exactamente; solo importa la proporción.